| Глава первая. О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ |
| | § 1. | Произведение двух или трех множителей не зависит от порядка, в котором производится умножение |
| | § 2. | Произведение любого числа множителей |
| | § 3. | Понятие о делимости одного числа на другое |
| | § 4. | Общий наибольший делитель двух чисел |
| | § 5. | Числа взаимно простые |
| | § 6. | Общий наибольший делитель нескольких чисел |
| | § 7. | Наименьшее кратное нескольких чисел |
| | § 8. | Числа простые и составные; разложение составных чисел на простые множители. Число простых чисел бесконечно велико |
| | § 9. | Нахождение всех делителей числа, если известны все его простые множители. Число и сумма этих делителей |
| | § 10. | Нахождение общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного нескольких чисел, если даны разложения этих чисел на простые множители |
| | § 11. | Определение числа phi(m), которое показывает, сколько существует чисел в ряду 1, 2, 3, ..., m, взаимно простых с m |
| | § 12. | Доказательство теоремы phi(mm') = phi (m) x phi (m'), если m и m' -- числа взаимно простые |
| | § 13. | Доказательство теоремы sum phi(n) = m, где знак суммы относится ко всем делителям n числа m |
| | § 14. | Другое доказательство той же теоремы |
| | § 15. | Определение наивысшей степени простого числа, входящей в произведение 1 x 2 x 3 ... m. Следствия |
| | § 16. | Общее заключение |
| Глава вторая. О СРАВНЕНИЯХ |
| | § 17. | Понятие о сравнимости двух чисел по отношению к третьему. Простейшие свойства сравнений |
| | §18. | Полная система вычетов по отношению к данному модулю |
| | §19. | Доказательство обобщенной теоремы Ферма |
| | §20. | Другое доказательство той же теоремы |
| | §21. | Сравнения, содержащие неизвестные величины; степень таких сравнений |
| | §22. | Сравнения первой степени с одним неизвестным; условие их возможности; первый способ решения таких сравнений |
| | §23. | Об алгорифме Эйлера |
| | §24. | Второй способ решения сравнений первой степени с одним неизвестным |
| | §25. | Решение задачи: найти все числа, которые при делении на данные числа дают данные остатки |
| | §26. | Сравнение с одним неизвестным при простом модуле не может иметь несравнимых корней более, нежели единиц в его степени |
| | §27. | Вывод теоремы Вильсона из теоремы Ферма |
| | §28. | Степенные вычеты; показатель, к которому принадлежит данное число |
| | §29. | Если p -- число простое и delta -- делительр p--1, то к показателю delta принадлежит phi(delta) чисел, не сравнимых по модулю p |
| | §30. | Первообразные корни простого числа. Индексы. Третий способ решения сравнений первой степени |
| | §31. | Двучленные сравнения, модуль которых простое число. Условие их возможности; число корней |
| Глава третья. О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ |
| | §32. | Квадратичные вычеты и невычеты |
| | §33. | Если модуль p -- число простое и нечетное, то совокупность чисел, не делящихся на p, распадается на одинаковое число вычетов и невычетов. Характер произведения нескольких множителей. Символ Лежандра |
| | §34. | Элементарное доказательство предыдущей теоремы, а также теорем Ферма и Вильсона |
| | §35. | Случай, когда модуль есть степень простого нечетного числа |
| | §36. | Случай, когда модуль есть степень двух |
| | §37. | Случай, когда модуль есть какое угодно число |
| | §38. | Обобщенная теорема Вильсона |
| | §39. | Приведение задачи нахождения всех модулей, для которых данное число есть квадратичный вычет, к трем случаям |
| | §40. | Число --1 есть квадратичный вычет всех простых чисел вида 4n + 1 и невычет всех простых чисел вида 4n + 3 |
| | §41. | Число 2 есть квадратичный вычет всех простых чисел вида и 8n + 1 и 8n + 7 и невычет всех простых чисел вида 8n + З и 8n + 5 |
| | §42. | Закон взаимности |
| | §43. | Первая часть доказательства этого закона; видоизменение предыдущего критерия для определения характера данного числа. Новое доказательство теоремы для числа 2 |
| | §44. | Вторая часть доказательства |
| | §45. | Применение закона взаимности к решению задачи определения характера заданного числа по отношению к данному простому числу |
| | §46. | Символ Якоби как обобщение символа Лежандра. Обобщенный закон взаимности |
| | §47. | Применение этого закона к определению значения символа Якоби |
| | §48. | Второе доказательство закона взаимности; предварительные замечания |
| | §49. | Первая часть доказательства |
| | §50. | Лемма: если q есть простое число вида 8n + 1, то существует по крайней мере одно простое нечетное число, меньшее 2sqrt(q) + 1, по отношению к которому q есть квадратичный невычет |
| | §51. | Вторая часть доказательства закона взаимности |
| | §52. | Определение линейных форм, в которых содержатся все простые числа, по отношению к которым данное число есть квадратичный вычет или невычет |
| Глава четвертая. О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ |
| | §53. | Бинарные квадратичные формы; их коэфициенты и переменные; их детерминант. Исключение форм, детерминант которых является точным квадратом |
| | §54. | Преобразование форм. Собственные и несобственные подстановки |
| | §55. | Соединенные подстановки |
| | §56. | Собственная и несобственная эквивалентность форм |
| | §57. | Формы, не собственно эквивалентные самим себе |
| | §58. | Двусторонние форяы. Каждая форма, несобственно эквивалентная самой себе, эквивалентна некоторой двусторонней форме |
| | §59. | Распределение всех форм с определенным детерминантом по классам; полная система неэквивалентных форм. Две основные проблемы учения об эквивалентности |
| | §60. | Собственное представление чисел посредством квадратичных форм; корни сравнений, к которым принадлежат представления. Сведение к двум основным проблемам |
| | §61. | Приведение второй проблемы: из одной заданной подстановки, посредством которой форма переходите эквивалентную ей форму, найти все подобные подстановки, - к случаю, в котором обе формы тождественны. Делители форм и классов |
| | §62. | Приведение проблемы: найти все подстановки, посредством которых форма переходит сама в себя, - к задаче полного разрешения уравнения Пелля. Решение этого уравнения для случая отрицательного детерминанта |
| | §63. | Постановка первой проблемы в учении об эквивалентности: решить, эквивалентны ли две формы одинакового детерминанта или нет, и в первом случае найти подстановку, посредством которой одна из обеих форм переходит в другую. Соседние формы |
| | §64. | Отрицательные детерминанты. Положительные формы. Приведенные формы. Каждая форма эквивалентна некоторой приведенной форме |
| | §65. | Исключительные случаи, когда две нетождественные приведенные формы эквивалентны |
| | §66. | Эквивалентность или неэквивалентность двух форм одинакового отрицательного детерминанта узнается путем сравнения их с приведенными формами |
| | §67. | Число классов форм для отрицательного детерминанта конечно |
| | §68. | Разложение чисел на сумму двух точных квадратов |
| | §69. | Разложение чисел на сумму точного квадрата и удвоенного точного квадрата |
| | §70. | Представление чисел посредством форм x2 + Зу2 и 2x2 + 2хy + 2y2 |
| | §71. | Представление чисел посредством форм х2 + 5y2 и 2x2 + 2хy + 3y2 |
| | §72. | Положительные детерминанты. Первый и второй корни формы |
| | §73. | Соотношения между одноименными или разноименными корнями двух собственно или несобственно эквивалентных форм. Соседние формы |
| | §74. | Приведенные формы с положительным детерминантом; свойства их корней |
| | §75. | Существует лишь конечное число приведенных форм с данным положительным детерминантом |
| | §76. | Каждая форма с положительным детерминантом эквивалентна некоторой приведенной форме |
| | §77. | Каждая приведенная форма с положительным детерминанюм имеет одну и только одну соседнюю справа приведенною форму и точно так же одну и только одну соседнюю слева приведенную форму |
| | §78. | Распределение приведенных форм с положительным детерминантом на периоды с одинаковым числом членов |
| | §79. | Разложение корней приведенных форм с положительным детерминантом в периодические непрерывные дроби |
| | §80. | Отступление, касающееся преобразования неправильных непрерывных дробей в правильные |
| | §81. | Лемма из теории непрерывных дробей |
| | §82. | Две любые эквивалентные приведенные формы с положительным детерминантом принадлежат к одному и тому же периоду. Окончание решения проблемы об эквивалентности двух форм с одинаковым положительным детерминантом.....* |
| | §83. | Решение уравнения Пелля в положительных числах для положительных детерминантов путем рассмотрения периодов приведенных форм |
| | §84. | Наименьшее положительное решение уравнения Пелля |
| | §85. | Представление всех решений уравнения Пелля, посредством его наименьшего положительного решения |
| Глава пятая. | ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КЛАССОВ, НА КОТОРЫЕ РАСПАДАЮТСЯ БИНАРНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ С ЗАДАННЫМ ДЕТЕРМИНАНТОМ |
| | §86. | Установление области чисел, которые могут быть собственно представлены посредством полной системы начальных форм первого или второго вида |
| | §87. | Число этих представлений в случае отрицательного детерминанта; в случае положительного детерминанта число представлений приводится к конечному посредством новых ограничений, налагаемых на представляющие числа |
| | §88. | Краткое обозрение. Два способа получения одной и той же области чисел. Фундаментальное уравнение |
| | §89. | Преобразование его правой части |
| | §90. | Фундаментальное уравнение преобразуется так, что допускаются и несобственные представления |
| | §91. | Отступление, касающееся числа всех представлений некоторого числа посредством системы форм. Применение к разложению чисел на сумму двух точных квадратов |
| | §92. | Отступление, касающееся некоторых бесконечных рядов, встречающихся в теории эллиптических функций |
| | §93. | Ограничения, налагаемые на формы, являющиеся представителями классов форм |
| | §94. | Распределение пар представляющих чисел на определенное число двойных арифметических прогрессий |
| | §95. | Предельное значение левой части фундаментального уравнения в случае отрицательного детерминанта |
| | §96. | Выражение числа классов для отрицательного детерминанта в виде предельного значения некоторого бесконечного ряда |
| | §97. | Соотношение между числом классов форм первого вида и числом классов форм второго вида для отрицательного детерминанта |
| | §98. | Предельное значение левой части фундаментального уравнения в случае положительного детерминанта; выражение числа классов в виде предельного значения некоторого бесконечного ряда |
| | § 99. | Соотношение между числом классов форм первого вида и числом классов форм второго вида для положительного детерминанта |
| | §100. | Приведение определения числа классов к случаю, когда детерминант не делится ни на какой квадрат |
| | §101. | Исследование сходимости и непрерывности подлежащих рассмотрению бесконечных рядов |
| | §102. | Особое рассмотрение первого главного случая, в котором детерминант имеет вид 4n + 1 |
| | §103. | Суммирование бесконечного ряда в этом случае |
| | §104. | Окончательный результат в этом случае |
| | §105. | Суммирование бесконечного ряда в остальных случаях |
| | §106. | Сводка формул, посредством которых определяется число классов |
| | §107. | Рассмотрение формул, соответствующих положительным детерминантам; преобразование окончательного результата в случае D tozhd 1 (mod 4) |
| | §108. | Преобразование в случае D tozhd 3 (mod 4) |
| | §109. | Преобразование в случае D tozhd 2 (mod 8) |
| | §110. | Преобразование в случае D tozhd 6 (mod 8) |
| ДОПОЛНЕНИЯ |
| I. | О некоторых теоремах из гауссовой теории деления окружности |
| | §111. | Лемма из теории рядов Фурье |
| | §112. | Определение значения суммы phi(h, n) в случае, когда n = 0 (mod 4) и h = 1 |
| | §113. | Общие теоремы относительно сумм phi(h, n) |
| | §114. | Определение phi(1, n) |
| | §115. | Определение phi(h, n), когда n есть нечетное простое число; третье доказательство закона взаимности и теорем относительно характера чисел --1 и 2 |
| | §116. | Доказательство одной теоремы, использованной в § 103, 105 |
| II. | О предельном значении одного бесконечного ряда |
| | §117. | Доказательство одной теоремы из теории гармонических рядов |
| | §118. | Формулировка и истолкование более общего предложения |
| | §119. | Его доказательство |
| III. | Об одном геометрическом предложении |
| | §120. | Соотношение между величиной площади плоской фигуры и числом точек числовой решетки, лежащих внутри этой фигуры |
| IV. | О родах, на которые распадаются классы квадратичных форм с определенным детерминантом |
| | §121. | Предложения относительно характера всех чисел, представимых посредством одной и той же квадратичной формы |
| | §122. | Распределение квадратичных форм по родам |
| | §123. | Доказательство того, что половине возможных полных характеров не соответствует действительно существующих форм |
| | §124. | Вывод некоторого равенства между двумя произведениями из двух бесконечных рядов каждое |
| | §125. | Доказательство того, что половине возможных полных характеров соответствуют действительно существующие роды и что каждый из этих родов содержит одинаковое число классов форм |
| | §126. | Завершение этого доказательства |
| V. | Теория степенных вычетов для составных модулей |
| | §127. | Третье доказательство обобщенной теоремы Ферма (§ 19) |
| | §128. | Доказательство существования первообразных корней для модуля, являющегося произвольной степенью нечетного простого числа |
| | §129. | Теория индексов для таких модулей |
| | §130. | Случай, когда модуль равен степени числа 2; индексы |
| | §131. | Случай, когда модуль есть произвольное составное число; индексы |
| VI. | Доказательство теоремы, что всякая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой суть целые числа, не имеющие общего множителя, содержит бесконечно много простых чисел |
| | §132. | Доказательство одного общего равенства между некоторым бесконечным произведением и некоторым бесконечным рядом |
| | §133. | Уточнение этого предложения; распределение рядов L по трем классам L1, L2, L3 |
| | §134. | Предельные значения этих рядов |
| | §135. | Доказательство того, что предельные значения рядов L2 отличны от нуля; связь с теорией квадратичных форм |
| | §136. | Доказательство того, что предельные значения рядов L3 отличны от нуля |
| | §137. | Доказательство теоремы об арифметической прогрессии |
| VII. | О некоторых предложениях из теории деления окружности |
| | §138. | Доказательство одного свойства выражения phi(m) |
| | §139. | Построение уравнения, корни которого являются первообразными корнями m-й степени из единицы; разложение левой части его на два множителя в случае, когда m есть нечетное число P, не делящееся ни на какой квадрат |
| | §140. | Вычисление коэфициентов этих множителей |
| VIII. | Об уравнении Пелля |
| | §141. | Предложение о рациональных приближенных значениях для квадратного корня из положительного числа D, не являющегося квадратом |
| | §142. | Доказательство предложения, что уравнение t2 -- Du2 = 1 всегда разрешимо в целых числах t, u, из которых последнее, u, отлично от нуля |
| IX. | О сходимости и непрерывности некоторых бесконечных рядов |
| | §143. | Метод частного суммирования |
| | §144. | Свойства рядов Дирихле |
| X. | О композиции бинарных квадратичных форм |
| | §145. | Лемма относительно сравнений второй степени |
| | §146. | Композиция двух согласных форм. Фундаментальная теорема |
| | §147. | Композиция двух или большего числа согласных классов |
| | §148. | Важнейшие частные случаи композиции |
| | §149. | Периоды и группы начальных классов первого вида |
| | §150. | Сравнение числа классов произвольного делителя с числом начальных классов первого вида |
| | §151. | Результат этого сравнения |
| | §152. | Композиция родов |
| | §153. | Число двусторонних начальных классов первого вида |
| | §154. | Четвертое доказательство закона взаимности |
| | §155. | О числе действительно существующих родов |
| | §156. | Получение всех решений уравнения ах2 + by2 + cz2 = 0 из одного заданного |
| | §157. | Основная теорема о разрешимости этого уравнения |
| | §158. | Каждый класс главного рода получается посредством сдваивания |
Дирихле Петер Густав Лежён 