От редакции |
Последний процент (Г.Г.Малинецкий) |
Предисловие |
Введение. Основные проблемы |
| В.1. | Критерии относительной степени упорядоченности различных неравновесных состояний в открытых системах |
| В.2. | Связь статистического и динамического описаний движения в открытых системах. Конструктивная роль динамической неустойчи-вости движения |
| В.3. | Переход от обратимых уравнений к необратимым. Ансамбль Гиббса в статистической теории неравновесных процессов |
| В.4. | Роль флуктуации на различных уровнях описания. Флуктуационно-диссипационные соотношения |
| В.5. | Броуновское движение в открытых системах. Молекулярные и турбулентные источники флуктуации |
| В.6. | Ламинарное и турбулентное движение |
Глава 1. | Эволюция энтропии и производство энтропии в открытых системах |
| 1.1. | Хаос и порядок. Управляющие параметры. Физический хаос. Эволюция и самоорганизация в открытых системах |
| 1.2. | Энтропия Больцмана — Гиббса — Шеннона |
| 1.3. | Функция распределения значений энтропии |
| 1.4. | Ансамбль Гиббса. Сглаживание по физически бесконечно малому объему. Энтропия с учетом флуктуации. Пространственные (вре-менные) и фазовые средние. Локальное условие эргодичности |
| 1.5. | Кинетическое уравнение Больцмана для статистического и сглаженного распределений. Физически бесконечно малые масштабы для газа Больцмана. Конструктивная роль динамической неустойчивости движения атомов газа |
| | 1.5.1. | Характерные параметры взаимодействия. |
| | 1.5.2. | Кинетическое уравнение Больцмана для статистического распределения. |
| | 1.5.3. | Кинетическое уравнение Больцмана для сглаженного распределения. |
| 1.6. | Роль неравновесных флуктуации в газе Больцмана. Молекулярные и турбулентные источники флуктуации |
| 1.7. | Кинетические уравнения для TV-частичных функций распределения. Уравнение Леонтовича |
| 1.8. | Н-теорема Больцмана для сглаженных (пульсирующих) и детерминированных распределений |
| 1.9. | Энтропия и производство энтропии для сглаженных и детерминированных распределений |
| | 1.9.1. | Энтропия и производство энтропии без учета крупномасштабных флуктуации. |
| | 1.9.2. | Производство энтропии с учетом крупно-масштабных — кинетических флуктуации. |
| 1.10. | Теорема Гиббса |
| 1.11. | Н-теорема для открытых систем. Энтропия Кульбака |
| 1.12. | Эволюция в пространстве управляющих параметров. S-теорема |
| 1.13. | S-теорема. Локальная формулировка |
| 1.14. | Сравнение относительной степени упорядоченности состояний открытых систем по S-теореме на основе экспериментальных данных |
| 1.15. | Динамическое и статистическое описание сложных движений.
К-энтропия, показатели Ляпунова. Нелинейные характеристики
расходимости траекторий |
| 1.16. | Критерии динамической неустойчивости движения в статистической теории |
| | 1.16.1. | Функция распределения расстояний между траекториями. |
| | 1.16.2. | К-энтропия и производство энтропии в статистической тео-рии. |
| 1.17. | Энтропия — мера разнообразия в процессах биологической эволюции |
| 1.18. | Принцип минимума производства энтропии в процессах самоорганизации |
Глава 2. | Переход от обратимых уравнений механики к необратимым уравнениям статистической теории |
| 2.1. | Два вида обратимых процессов. Свойства симметрии функций распределения |
| 2.2. | Уравнения Лиувилля и Власова. Приближение первых моментов и "бесстолкновительное" приближение |
| | 2.2.1. | Уравнение Лиувилля при разных определениях ансамбля
Гиббса. |
| | 2.2.2. | Недиссипативные и диссипативные цепочки уравнений для
последовательности функций распределения. |
| | 2.2.3. | Уравнения
Власова и Больцмана — Власова — приближения первых моментов. |
| 2.3. | Обратимые уравнения в квантовой статистической теории |
| | 2.3.1. | Чистый ансамбль. Микроскопическая матрица плотности. |
| | 2.3.2. | Смешанный ансамбль. Уравнение для матрицы плотности. |
| | 2.3.3. | Различные представления матрицы плотности. |
| 2.4. | Два типа диссипативных кинетических уравнений для N-частичных распределений |
| 2.5. | Мера неполноты статистического описания |
| 2.6. | Иерархия уравнений механики сплошной среды |
| | 2.6.1. | Кинетические уравнения. |
| | 2.6.2. | Уравнения гидродинамики. |
| | 2.6.3. | Н-теорема в гидродинамике. |
| | 2.6.4. | Диффузия. Н-теорема. |
| | 2.6.5. | Диффузия частиц в ограниченной системе. Фликкер-шум. |
Глава 3. | Флуктуационно-диссипационные соотношения |
| 3.1. | Примеры флуктуационно-диссипационных соотношений |
| | 3.1.1. | Простейшие примеры ФДС. Формулы Эйнштейна и Найквиста. |
| | 3.1.2. | Два квантовых обобщения классической формулы Найк-виста. |
| 3.2. | ФДС для TV-частичных функций распределения |
| | 3.2.1. | Двухвременной коррелятор флуктуации матрицы плотности. |
| | 3.2.2. | Спектральная плотность флуктуации. ФДС. "Бесстолкнови-тельное" приближение. |
| 3.3. | Термодинамическая форма ФДС. Формула Каллена — Вельтона |
| | 3.3.1. | Формула Каллена — Вельтона. |
| | 3.3.2. | Флуктуационная трактовка
формулы Каллена — Вельтона. |
| | 3.3.3. | Связь формулы Каллена — Вельтона с ФДС
для N-частичной функции распределения. |
| | 3.3.4. | Условия справедливости
"бесстолкновительного" приближения. |
| | 3.3.5. | Каково же происхождение диссипации
в формуле Каллена — Вельтона?. |
| | 3.3.6. | Следует ли квантовая формула Найквиста
из формулы Каллена — Вельтона? |
| 3.4. | ФДС для газа Больцмана. Флуктуационное представление интеграла столкновений Больцмана |
| | 3.4.1. | ФДС для флуктуации одночастичной матрицы плотности. |
| | 3.4.2. | ФДС для газа Больцмана. |
| | 3.4.3. | Флуктуационное представление интеграла столкновений Больцмана. |
| 3.5. | ФДС для крупномасштабных — кинетических флуктуации |
| 3.6. | Примеры ФДС для крупномасштабных флуктуации 153 |
| | 3.6.1. | ФДС для газа Больцмана. |
| | 3.6.2. | Система атомов,
взаимодействующих через флуктуационное электромагнитное поле. |
| | 3.6.3. | Равновесное электромагнитное излучение в полости. Формула Планка. |
| | 3.6.4. | Электрон в тепловом электромагнитном поле. |
| | 3.6.5. | Квантовая формула Найквиста
для плазменного — электрического контура. |
| | 3.6.6. | Равновесное
электромагнитное излучение в полости, заполненной средой. Формула Планка. |
| 3.7. | Система квантовых атомов-осцилляторов |
| | 3.7.1. | Линейное трение. Коэффициент диффузии и интенсивность шума. |
| | 3.7.2. | Коэффициент диффузии для системы атомов-осцилляторов с нелинейным
трением. |
| | 3.7.3. | Зависимость ширины спектральной линии квантовых генераторов
от энергии. |
| | 3.7.4. | Лэмбовский сдвиг и квантовая формула Найквиста. |
| 3.8. | Флуктуационно-диссипационные соотношения в гидродинамике |
| | 3.8.1. | Два способа описания гидродинамических флуктуации. |
| | 3.8.2. | Источники Ланжевена в уравнениях гидродинамики. ФДС. |
| 3.9. | Два способа определения кинетических коэффициентов |
| 3.10. | Молекулярный источник Ланжевена в уравнении диффузии |
| 3.11. | Связь интенсивностей источников Ланжевена с коррелятором флуктуации фазовой плотности |
| 3.12. | Фликкер-шум. ФДС для шума "1/f" |
Глава 4. | Броуновское движение |
| 4.1. | Уравнения Фоккера — Планка и Ланжевена |
| 4.2. | Три определения уравнений Ланжевена и Фоккера — Планка |
| 4.3. | Уравнения Фоккера — Планка в статистической теории неравновесных процессов |
| | 4.3.1. | Краткие итоги и ближайшие задачи. |
| | 4.3.2. | Два типа уравнений для
системы атомы — поле. Роль нулевых колебаний поля. |
| | 4.3.3. | Уравнение Фоккера
– Планка для плазмы. |
| | 4.3.4. | Уравнение Фоккера — Планка для газа Больцмана. |
| 4.4. | Связь уравнения Фоккера — Планка с уравнениями Смолуховского и Чепмена — Колмогорова |
| 4.5. | Источники Ланжевена в кинетических уравнениях |
| | 4.5.1. | Уравнение Ланжевена для одночастичной функции распределения. |
| | 4.5.2. | Связь метода функций распределения (метода момен-тов) с методом Ланжевена. |
| | 4.5.3. | Связь интенсивности источника Ланже-вена и производства энтропии. |
| | 4.5.4. | Флуктуации N-частичного распределения в газе Больцмана. |
| | 4.5.5. | Иерархия условий неполноты статистиче-ского описания. |
| 4.6. | Источники Ланжевена в уравнениях Фоккера — Планка и Эйнштейна — Смолуховского |
| 4.7. | Турбулентные источники Ланжевена и флуктуационно-диссипационные соотношения в гидродинамике |
| 4.8. | Броуновское движение в системах с переменным числом частиц |
Глава 5. | Энтропия Больцмана — Гиббса — Шеннона — критерий относительной степени упорядоченности в открытых системах |
| 5.1. | Генератор Ван дер Поля. |
| | 5.1.1. | Математическая модель. |
| | 5.1.2. | Н-теорема для генерато-ра Ван дер
Поля. |
| | 5.1.3. | S-теорема. Самоорганизация в генераторе Ван дер Поля. |
| | 5.1.4. | Локальная форма S-теоремы для генератора Ван дер Поля. |
| | 5.1.5. | Энтропии
Шеннона — "S-информация". |
| 5.2. | Генератор с инерционной нелинейностью |
| 5.3. | Инвариантные меры. Примеры распределений Гиббса для открытых систем |
| | 5.3.1. | Инвариантные меры — стационарные распределения. |
| | 5.3.2. | Распределения Гиббса для генератора Ван дер Поля. |
| | 5.3.3. | Распределение для состояния динамического хаоса. |
| 5.4. | Обобщенные генераторы Ван дер Поля. Бифуркации энергии предельного цикла и периода колебаний |
| | 5.4.1. | Генераторы с ветвлениями значений энергии предельного цикла. |
| | 5.4.2. | Генераторы в дискретном времени. Бифуркации энергии предельного цикла и периода колебаний. |
| | 5.4.3. | Функция распределения энергии для состояния "динамического хаоса". |
| 5.5. | Динамические и статистические распределения |
| | 5.5.1. | Генераторы с ветвлениями значений энергии предельного цикла. |
| | 5.5.2. | Скачок энтропии в критической точке. |
| | 5.5.3. | Динамиче-ские распределения. |
| | 5.5.4. | Уравнение Фоккера — Планка для генераторов в дискретном времени. Устойчивость стационарных решений по Н-теореме. |
| 5.6. | Сравнение степени упорядоченности в точках бифуркаций и в состоянии "динамического хаоса" |
| | 5.6.1. | Энтропия при каноническом и микроканоническом
распределениях Гиббса — иллюстрация к S-теореме. |
| | 5.6.2. | Обобщенный
генератор. Сравнение степени упорядоченности трех состояний: порог
генерации, точка ветвления, динамический хаос. |
| 5.7. | Эволюция энтропии в системах с двумя управляющими параметрами |
| | 5.7.1. | Генератор Ван дер Поля с мягким и жестким возбуждением. |
| | 5.7.2. | Генератор Ван дер Поля при внешнем резонансном воздейст-вии. |
| 5.8. | Среда из связанных генераторов |
| | 5.8.1. | Базовые математические модели теории самоорганизации — синергетики. |
| | 5.8.2. | Система взаимодействующих генераторов. Коге-рентная генерация. |
| 5.9. | Кинетический подход в теории химически реагирующих сред, фазовых переходов и в гидродинамике |
Глава 6. | Турбулентное движение. Структура хаоса |
| 6.1. | Характерные особенности турбулентного движения. Основные проблемы |
| 6.2. | Несжимаемая жидкость. Уравнение Рейнольдса. Напряжения Рейнольдса |
| 6.3. | Развитая турбулентность. Турбулентная вязкость |
| 6.4. | Полуэмпирическая теория турбулентности Прандтля — Кармана |
| 6.5. | Возникновение турбулентности при стационарных течениях Куэтта и Пуазейля |
| | 6.5.1. | Квазилинейное приближение. |
| | 6.5.2. | Устойчивость
стационарного ламинарного течения Куэтта. |
| | 6.5.3. | Возникновение
турбулентности при течении Пуазейля. |
| | 6.5.4. | Уравнение для профиля скорости в
критической области. |
| | 6.5.5. | Обобщение условия замыкания Кармана — Прандтля
на область перехода. |
| 6.6. | Производство энтропии при ламинарном и турбулентном течениях |
| 6.7. | Принцип наименьшей диссипации и принцип минимума производства энтропии в процессах самоорганизации |
| 6.8. | Эволюция энтропии при переходе от ламинарного течения к турбулентному |
Дополнение |
| Д.1. | Естественный фликкер-шум и сверхпроводимость |
| Д.2. | Кинетическое описание гидродинамического движения |
| Д.3. | Уравнения гидродинамики с учетом самодиффузии |
Заключение |
Список литературы |
Дополнение к основному списку литературы |
Список литературы к дополнению |
Книга, которую вы держите в руках, написана выдающимся физиком-теоретиком,
специалистом по статистической физике и термодинамике, работы которого
получили мировое признание, Юрием Львовичем Климонтовичем.
Мне посчастливилось много раз слушать доклады и выступления
Ю.Л.Климонтовича, обсуждать с ним разные задачи теории самоорганизации.
Обычно это происходило на Московском семинаре по синергетике на физическом
факультете МГУ. Одним из руководителей этого семинара в течение многих лет
был Юрий Львович. Первое ощущение от общения с ним – доброжелательность,
увлеченность наукой, глубина. Дальнейшее общение убеждало, что эти качества
присущи ему в превосходной степени.
Есть много путей в синергетику и много взглядов на нее. Взгляд Юрия Львовича
был связан со статистической физикой. Оглядываясь назад, можно сказать, что
на физическом факультете МГУ был своеобразный культ статистической физики.
И умудренные жизнью старшекурсники снисходительно объясняли "первокурам", как
нелегко будет сдать "кванты" и "статы". Судя по рассказам старых профессоров
и мемуарам, начало этой традиции было положено профессором физфака
А.А.Власовым (тем самым, который предложил уравнение Власова, ставшее
классическим и вошедшее почти во все учебники физики плазмы) и дискуссией
вокруг его работ, развернутой академиками-физиками.
Одной из самых популярных кафедр физфака в течение многих лет, да насколько
я знаю и теперь, является кафедра квантовой статистики. Многие лекторы,
излагавшие этот сложный раздел теоретической физики, читали его как "поэму
в прозе". Таков был, к примеру, курс профессора И.А.Квасникова, который мне
довелось слушать,
отличавшийся кристальной ясностью, удивительной четкостью, последовательностью,
гармоничностью. Одним из блестящих продолжателей традиции физфаковской
статистической физики был и Юрий Львович.
Работы Больцмана, Максвелла, Гиббса по статистической механике продвинули
эту область физики далеко вперед. Принято сетовать на трудность работы
в областях, где нет парадигмы, где многое приходится создавать "с чистого
листа". Но свои трудности есть и там, где уровень очень высок! В этих
областях происходит своеобразный отбор исследователей, способных
и воспринять огромный накопленный потенциал, и переосмыслить его, и двинуться
вперед. К таким ученым, безусловно, относился Юрий Львович.
Обычно он подводил итоги обсуждения доклада, прозвучавшего на семинаре. Это
оставляло огромное впечатление. Оказывалось обычно, что проблемы,
рассмотренные докладчиком, уже ставились и решались в статистической физике.
Иногда их рассматривали с тех же, а иногда с других позиций. И то, и другое
бывало очень интересно и поучительно.
Неудивительно, что при таком "научном обаянии" у Юрия Львовича было много
учеников и очень высокий авторитет. Его исследования высоко ценили немецкие
коллеги и, в частности, один из создателей синергетики Герман Хакен. Его
учеником является Вернер Эбелинг, с книгами и многократными выступлениями
которого во многом связано распространение синергетических идей в нашей
стране.
Многие классические труды строятся как попытка ответить на один очень
простой, на первый взгляд, вопрос. Так геометрия Евклида строится как
теория, призванная выяснить, каковы выпуклые многогранники с равными
сторонами и углами и сколько их. Удивительный результат – теория Платоновых
тел – убеждал современников Евклида, да и современных математиков, в красоте
и гармонии мироздания. Центром этой книги являются два вопроса. Что такое
самоорганизация? Какое движение более упорядоченно – ламинарное или
турбулентное?
Естественно, отвечая на них, Юрий Львович предлагает взглянуть на эти
проблемы с вершины статистической физики. Глубина и оригинальность ответов
на эти вопросы, предлагаемая автором, думаю, не оставит равнодушными многих
физиков и математиков, начиная со старшекурсников и кончая профессорами.
В свое время академик Яков Борисович Зельдович, возглавляя отдел астрофизики
Института прикладной математики, любил на своих семинарах примерно так
говорить о науке: "Трудно в каждой области осваиваются первые 10%,
заниматься следующими 80% – одно удовольствие, оставшиеся 9% идут
тяжело, а когда вы дошли до последнего 1%, то надо менять область!" Мне
кажется, Юрий Львович относился к исследователям, которых волновал этот
самый трудный и волнующий последний процент. И, как показывает эта книга,
этот процент заслуживает и огромного труда, и вдохновения, и радости
прикосновения к тайнам природы.
Председатель редколлегии серии "Синергетика: от прошлого к будущему"
Г.Г.Малинецкий