Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства Изд. 2

2021. 552 с.

Серия: Физико-математическое наследие: математика (геометрия)

Типографская бумага

Мягкая обложка
Твердый переплет 2 варианта от 1499 р. ››

Аннотация

Настоящая книга представляет собой систематическое изложение как классических неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана любого числа измерений, так и любых проективных метрик. Изложение классических геометрий начинается с обзора доказательств V постулата Евклида с учетом новых исследований в этой области. Изучаются группы движений неевклидовых пространств, геометрия многомерных плоскостей, сфер, эквидистант, орисфер и квадрик общего... (Подробнее)

Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ				3
Предисловие к первому изданию				8
Глава первая. Евклидова геометрия и предыстория неевклидовой геометрии				13
§ 1. Евклидово пространство				13
1.1.1. Евклидово n-пространство				13
1.1.2. Расстояния				15
1.1.3. Непрерывность				16
1.1.4. Движения				23
1.1.5. Топологические группы и группы Ли				23
1.1.6. Однородные пространства				29
1.1.7. Аксиомы Евклида				31
1.1.8. Аксиомы Гильберта				33
1.1.9. Структуры геометрии				36
§ 2. Предыстория неевклидовой геометрии				37
1.2.1. V постулат Евклида				37
1.2.2. Параллельные линии в школе Архимеда				38
1.2.3. Сумма углов треугольника и четырехугольника				40
1.2.4. Неявные предположения, эквивалентные V постулату				43
1.2.5. Постулат подобия				45
1.2.6. Открытие неевклидовой геометрии				46
Глава вторая. Эллиптическое пространство				49
§ 1. Эллиптическая геометрия как геометрия сферы с отождествленными точками				49
2.1.1. Эллиптическое n-пространство				49
2.1.2. Расстояния				51
2.1.3. Тригонометрия и площадь треугольника				51
2.1.4. Координаты				52
2.1.5. Объемы				53
§ 2. Проективная интерпретация				54
2.2.1. Проективное n-пространство				54
2.2.2. Проективная интерпретация эллиптического пространства				56
2.2.3. Плоскости				57
2.2.4. Угол между плоскостями				58
2.2.5. Выражение расстояний и углов с помощью абсолюта				59
2.2.6. Принцип двойственности				60
§ 3. Геометрия m-плоскостей				61
2.3.1. Операторные координаты m-плоскостей				61
2.3.2. Полярные m-плоскость и (n – m – 1)-плоскость				63
2.3.3. Перпендикуляр, опущенный из точки на m-плоскость				64
2.3.4. Отражение от m-плоскости				66
2.3.5. Общие перпендикуляры двух m-плоскостей				67
2.3.6. Паратактические m-плоскости и прямые				69
§ 4. Сферы и многогранники				70
2.4.1. Сферы				70
2.4.2. Шары				72
2.4.3. Симплексы				73
2.4.4. Правильные соты				75
§ 5. Движения				78
2.5.1. Группа движений				78
2.5.2. Классификация движений				81
2.5.3. Паратактические сдвиги				84
2.5.4. Движения 2-плоскости и 3-пространства				85
2.5.5. Односторонность и двусторонность пространства				88
§ 6. Квадрики				89
2.6.1. Квадрики				89
2.6.2. Эквидистанты m-плоскостей				91
2.6.3. Поверхности Клиффорда				93
2.6.4. Обобщение поверхности Клиффорда				96
§ 7. Конформная интерпретация				100
2.7.1. Конформное n-пространство				100
2.7.2. Конформные преобразования эллиптического пространства				101
2.7.3. Конформная интерпретация эллиптического пространства				101
2.7.4. Выражение расстояний в конформной интерпретации\|105
§ 8. Интерпретации 3-пространства				108
2.8.1. 3-пространство как группа движений 2-плоскости				108
2.8.2. Плюк-керовы координаты				110
2.8.3. Интерпретация Фубини				112
Глава третья. Пространство Лобачевского				116
§ 1. Псевдоевклидовы пространства				116
3.1.1. Псевдоевклидовы n-пространства				116
3.1.2. Расстояния и движения				117
3.1.3. Прямые, плоскости и сферы				118
§ 2. Пространство Лобачевского как полусфера мнимого радиуса и его проективная интерпретация				119
3.2.1. n-пространство Лобачевского				119
3.2.2. Проективная интерпретация пространства Лобачевского				121
3.2.3. Аксиомы пространства Лобачевского				122
3.2.4. Параллельные и расходящиеся прямые				123
3.2.5. Расстояния				126
3.2.6. Тригонометрия и угол параллельности				128
3.2.7. Площадь треугольника				130
3.2.8. Координаты				134
§ 3. Расширенное пространство Лобачевского				136
3.3.1. Абсолют и идеальные точки				136
3.3.2. Объем расширенного пространства				139
3.3.3. Плоскости				140
3.3.4. Выражение расстояний и углов с помощью абсолюта				144
§ 4. Геометрия m-плоскостей				146
3.4.1. Операторные координаты m-плоскостей				146
3.4.2. Перпендикуляр, опущенный из точки на m-плоскость				147
3.4,3. Общие перпендикуляры двух m-плоскостей				148
§ 5. Сферы и многогранники				150
3.5.1. Сферы и эквидистанты				150
3.5.2. Шары				154
3.5.3. Длина дуги эквидистанты прямой				155
3.5.4. Орисферы				156
3.5.5. Симплексы				158
3.5.6. Правильные соты				164
§ 6. Движения				166
3.6.1. Группа движений				166
3.6.2. Классификация движений				168
3.6.3. Движения 2-плоскости и 3-пространства				173
§ 7. Квадрики				176
3.7.1. Квадрики				176
3.7.2. Сферы, эквидистанты и орисферы				177
3.7.3. Классификация квадрик				179
3.7.4. Эквидистанты m-плоскостей				183
3.7.5. Эквидистантная бочка				183
§ 8. Конформные интерпретации				184
3.8.1. Конформная интерпретация Клейна				184
3.8.2. Интерпретация Гессе				186
3.8.3. Обобщения интерпретации Гессе				187
3.8.4. Конформные преобразования пространства Лобачевского				188
3.8.5. Конформная интерпретация Пуанкаре				190
3.8.6. Выражение расстояний в интерпретации Пуанкаре				195
3.8.7. Конформная интерпретация пространства Лобачевского на его плоскости				198
3.8.8. Интерпретации, промежуточные между проективными и конформными				199
§ 9. Интерпретация 3-пространства				204
3.9.1. Комплексные пространства				204
3.9.2. Плюккеровы координаты				205
3.9.3. Интерпретация Котельникова				206
Глава четвертая. Гиперболические и симплектическое пространства				210
§ 1. Гиперболические пространства				210
4.1.1. Гиперболические n-пространства				210
4.1.2. Координаты				213
4.1.3. Плоскости				214
4.1.4. Классификация эллиптических и гиперболических метрик				215
§ 2. Геометрия m-плоскостей				217
4.2.1. Эллиптические m-плоскости				217
4.2.2. Гиперболические m-плоскости				219
4.2.3. Паратактичные m-плоскости				221
§ 3. Движения				222
4.3.1. Группы движений				222
4.3.2. Классификация движений				225
4.3.3. Движения 3-пространства				230
§ 4. Квадрики				235
4.4.1. Квадрики				235
4.4.2. Сферы и орисферы				236
4.4.3. Эквидистанты m-плоскостей и т-орисферы				238
§ 5. Конформные интерпретации				239
4.5.1. Псевдоконформные n-пространства				239
4.5.2. Конформная интерпретация Клейна				240
4.5.3. Конформная интерпретация Пуанкаре				240
§ 6. Симплектическое пространство				242
4.6.1. Симплектическое (2n+1)-пространство				242
4.6.2. Симплектические преобразования				243
4.6.3. Нулевые m-плоскости				244
4.6.4. Симплектический инвариант двух прямых				245
§ 7. Интерпретации 3-пространств				247
4.7.1. Интерпретация Плюккера				247
4.7.2. 3-пространство как группа движений 2-плоскости				251
4.7.3. Интерпретация Фубини				254
4.7.4. Интерпретация симплектического 3-пространства				258
Глава пятая. Проективные метрики				262
§ 1. Евклидовы и псевдоевклидовы пространства				262
5.1.1. Евклидовы и псевдоевклидовы пространства как предельные случаи эллиптических и гиперболических				262
5.1.2. Конформные интерпретации				266
5.1.3. Проективные интерпретации				266
5.1.4. Получение абсолютов с помощью предельных переходов				268
§ 2. Коевклидовы и копсевдоевклидовы пространства				270
5.2.1. Применение принципа двойственности к евклидову и псевдоевклидовым пространствам				270
5.2.2. Расстояния между точками				271
5.2.3. Углы между плоскостями				275
5.2.4. Тригонометрия				276
5.2.5. Площадь треугольника				278
5.2.6. Движения				281
§ 3. Квазиэллиптические и квазигиперболические пространства				283
5.3.1, Абсолюты				283
5.3.2. Расстояния между точками				286
5.3.3. Углы между плоскостями				288
5.3.4. Полярная плоскость и полюс				289
5.3.5. Движения				290
5.3.6. Кодвижения				293
§ 4. Галилеево, псевдогалилеевы и флаговое пространства				295
5.4.1. Галилеево и псевдогалилеевы пространства				295
5.4.2. Флаговое пространство				297
5.4.3. Движения				298
5.4.4. Углы между плоскостями и кодвижения флагового пространства				301
5.4.5. Флаговая 2-плоскость				303
5.4.6. Тригонометрия флаговой 2-плоскости				305
5.4.7. Площадь треугольника на флаговой 2-плоскости				307
§ 5. Общие проективные метрики				308
5.5.1. Абсолюты				308
5.5.2. Расстояния между точками				312
5.5.3. Углы между плоскостями				313
5.5.4. Классификация проективных метрик				315
5.5.5. Полярная плоскость и полюс				318
5.5.6. Движения				319
5.5.7. Кодвижения				322
§ 6. Квадрики				324
5.6.1. Центры квадрик				324
5.6.2. Метрические инварианты квадрик				327
5.6.3. Классификация квадрик				332
§ 7. Геометрия m-плоскостей				335
5.7.1. Параболические и непараболические т-плоскости				335
5.7.2. Опера торные координаты				336
5.7.3. Полярные m-плоскость и (n-m-1)-плоскость				337
5.7.4. Перпендикуляр, опущенный из точки на m-плоскость				339
5.7.5. Общие перпендикуляры двух m-плоскостей				341
5.7.6. Параболические общие перпендикуляры двух m-плоскостей				343
5.7.7. Геометрия m₀-плоскостей квазиэллиптических и квазигиперболическнх пространств				346
5.7.8. Паратактичные m-плоскости и прямые				348
5.7.9. Геометрия m-плоскостей флагового пространства				348
§ 8. Циклы и конформные преобразования				353
5.8.1. Сферы				353
5.8.2. Циклы				355
5.8.3. Циклы на флаговой плоскости				358
5.8.4. Степень точки относительно цикла				359
5.8.5. Конформные преобразования				360
5.8.6. Инверсия относительно цикла				365
§ 9. Квазисимплектические и полусимплектические пространства				366
5.9.1. Квазисимплектические пространства				366
5.9.2. Полусимплектические пространства				369
§ 10. Интерпретации 3-пространств				371
5.10.1. Квазиэллиптическое 3-пространство как группа движений евклидовой 2-плоскости				371
5.10.2. Паратактические сдвиги 3-пространств а				373
5.10.3. Интерпретация многообразия прямых квазиэллиптического 3-прост-ранства				375
5.10.4. Отражение от пары поляризованных параболических прямых				377
5.10.5. Метрические квадрики и нуль-системы				378
5.10.6. Квазигиперболическое 3-пространство как группа движений псевдоевклидовой 2-плоскости				380
5.10.7. Интерпретация многообразия прямых квазигиперболического 3-пространства на паре 2-плоскостей				382
5.10.8. Интерпретация многообразия прямых квазигиперболического 3-пространства на комплексной 2-плоскости				384
5.10.9. Изотропное 3-пространство как группа движений флаговой 2-плоскости				386
5.10.10. Интерпретация квазисимплектического 3-пространства				388
Глава шестая. Дифференциальная геометрия неевклидовых пространств				390
§ 1. Римановы, псевдоримаыовы и полуримановы пространства				390
6.1.1. Дифференцируемые пространства				390
6.1.2. Пространства аффинной связности				392
6.1.3. Римановы и псевдоримановы пространства				394
6.1.4. Кривизна римановых и псевдоримановых пространств				397
6.1.5. Полуримановы и квазиримановы пространства				400
6.1.6. Кривизна полуримановых пространств				402
§ 2. Дифференциальная геометрия линий				404
6.2.1. Линии и касательные				404
6.2.2. Соприкасающиеся m-плоскости				404
6.2.3. Сопровождающий базис и натуральный параметр				406
6.2.4. Формулы Френе в эллиптическом пространстве				408
6.2.5. Формулы Френе в гиперболических пространствах				409
6.2.6. Формулы Френе в полуэллиптических и полугиперболических пространствах				411
§ 3. Дифференциальная геометрия поверхностей				414
6.3.1. Поверхности и касательные плоскости				414
6.3.2. Первые квадратичные формы поверхности				416
6.3.3. Нормальная кривизна линии на поверхности				417
6.3.4. Внешние кривизны поверхности				419
6.3.5. Риманова и псевдориманова геометрии на поверхностях эллиптического и гиперболических пространств				421
6.3.6. Полуриманова геометрия на поверхностях полуэллиптических и полугиперболических пространств				422
6.3.7. Главные кривизны				426
6.3.8. Геометрия на m-орисферах				428
Глава седьмая. Простые и квазипростые группы Ли и образы симметрии				431
§ 1. Простые и квазипростые группы Ли				431
7.1.1. Группы Ли как дифференцируемые пространства				431
7.1.2. Алгебры Ли				433
7.1.3. Разрешимые и полупростые группы Ли				436
7.1.4. Компактные простые группы Ли				438
7.1.5. Некомпактные простые группы Ли				445
7.1.6. Квазипростые группы Ли				448
§ 2. Симметрические пространства				450
7.2.1. Инвариантная аффинная связность в группах Ли				450
7.2.2. Симметрические пространства аффинной связности				456
7.2.3. Группы Ли как симметрические пространства аффинной связности				458
7.2.4. Свойства симметрических пространств				460
7.2.5. Инвариантная риманова и псевдориманова метрика в группах Ли				463
7.2.6. Римановы и псевдоримановы симметрические пространства				465
7.2.7. Ранг риманова и псевдориманова симметрических пространств и инварианты их точек				466
7.2.8. Римановы и псевдоримановы симметрические пространства нулевой кривизны				467
7.2.9. Инвариантная квазириманова метрика в группах Ли и квазиримановы симметрические пространства				469
§ 3. Образы симметрии				470
7.3.1. Образы симметрии				470
7.3.2. Образы симметрии евклидовых и псевдоевклидовых пространств				471
7.3.3. Образы симметрии эллиптических и гиперболических пространств				472
7.3.4. Образы симметрии и косимметрии проективного пространства				475
7.3.5. Образы симметрии симплектического пространства				478
7.3.6. Образы симметрии и косимметрии квазиэллиптического и квазигиперболических пространств				479
§ 4. Семейства образов симметрии				482
7.4.1. Пространства образов симметрии				482
7.4.2. Пространства m-плоскостей				485
7.4.3. Семейства образов симметрии				487
7.4.4. Конгруэнции m-плоскостей				490
Примечания				493
Библиография				513
Именной указатель				528
Предметный указатель				533

Об авторе

Розенфельд Борис Абрамович

Выдающийся советский математик, историк математики, педагог и переводчик. Доктор физико-математических наук. Родился в Петрограде, в семье инженера-экономиста. После окончания средней школы поступил в Московский энергетический институт, а с сентября 1936 г. дополнительно стал заниматься на 3-м курсе мехмата МГУ. В 1940 г. окончил четыре с половиной курса Московского энергетического института. Ранее, в 1939 г., окончил экстерном мехмат МГУ и был принят в аспирантуру на кафедру дифференциальной геометрии, где изучал теорию групп Ли, многомерную дифференциальную геометрию и геометрию симметрических пространств под руководством П. К. Рашевского. В 1942 г. защитил кандидатскую, а в 1947 г. — докторскую диссертацию. В 1943–1955 гг. преподавал на кафедре высшей математики МВТУ. В 1950–1955 гг. — профессор кафедры геометрии Азербайджанского университета в Баку. В 1964–1990 гг. работал старшим и ведущим научным сотрудником Института истории естествознания и техники АН СССР. В 1990 г. переехал в США. В 1990–1995 гг. — профессор Пенсильванского университета; читал лекции по геометрии групп Ли и истории математики.

Автор около 450 научных работ. Развивал идеи Э. Картана, с которым встречался в Москве в 1945 г. Помимо математических достижений, Б. А. Розенфельд широко известен переводами и работами по истории математики — он занимался историей математики на средневековом Востоке и перевел на русский язык с арабского и персидского трактаты ат-Туси, Омара Хайяма, ал-Каши, ал-Хорезми, ал-Фаргани, Сабита ибн Корры, Ибн ал-Хайсама, ал-Бируни, Улугбека. Вместе с А. П. Юшкевичем написал разделы по истории математики в Средние века, эпоху Возрождения и по истории геометрии в трехтомной «Истории математики с древнейших времен до начала XIX столетия» (1970–1972, под ред. А. П. Юшкевича), а также по истории геометрии — в книге «Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций» (1981, под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича).