Обложка Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства
Id: 268344
1083 руб.

Неевклидовы пространства Изд. 2

URSS. 2021. 552 с. ISBN 978-5-9710-8413-6.
Типографская бумага

Аннотация

Настоящая книга представляет собой систематическое изложение как классических неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана любого числа измерений, так и любых проективных метрик. Изложение классических геометрий начинается с обзора доказательств V постулата Евклида с учетом новых исследований в этой области. Изучаются группы движений неевклидовых пространств, геометрия многомерных плоскостей, сфер, эквидистант, орисфер и квадрик общего... (Подробнее)


Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ3
Предисловие к первому изданию8
Глава первая. Евклидова геометрия и предыстория неевклидовой геометрии13
§ 1. Евклидово пространство13
1.1.1. Евклидово n-пространство13
1.1.2. Расстояния15
1.1.3. Непрерывность16
1.1.4. Движения23
1.1.5. Топологические группы и группы Ли23
1.1.6. Однородные пространства29
1.1.7. Аксиомы Евклида31
1.1.8. Аксиомы Гильберта33
1.1.9. Структуры геометрии36
§ 2. Предыстория неевклидовой геометрии37
1.2.1. V постулат Евклида37
1.2.2. Параллельные линии в школе Архимеда38
1.2.3. Сумма углов треугольника и четырехугольника 40
1.2.4. Неявные предположения, эквивалентные V постулату43
1.2.5. Постулат подобия45
1.2.6. Открытие неевклидовой геометрии 46
Глава вторая. Эллиптическое пространство49
§ 1. Эллиптическая геометрия как геометрия сферы с отождествленными точками49
2.1.1. Эллиптическое n-пространство49
2.1.2. Расстояния51
2.1.3. Тригонометрия и площадь треугольника51
2.1.4. Координаты52
2.1.5. Объемы53
§ 2. Проективная интерпретация54
2.2.1. Проективное n-пространство54
2.2.2. Проективная интерпретация эллиптического пространства56
2.2.3. Плоскости57
2.2.4. Угол между плоскостями58
2.2.5. Выражение расстояний и углов с помощью абсолюта59
2.2.6. Принцип двойственности 60
§ 3. Геометрия m-плоскостей61
2.3.1. Операторные координаты m-плоскостей61
2.3.2. Полярные m-плоскость и (n – m – 1)-плоскость63
2.3.3. Перпендикуляр, опущенный из точки на m-плоскость64
2.3.4. Отражение от m-плоскости66
2.3.5. Общие перпендикуляры двух m-плоскостей67
2.3.6. Паратактические m-плоскости и прямые69
§ 4. Сферы и многогранники70
2.4.1. Сферы70
2.4.2. Шары72
2.4.3. Симплексы73
2.4.4. Правильные соты75
§ 5. Движения78
2.5.1. Группа движений78
2.5.2. Классификация движений81
2.5.3. Паратактические сдвиги84
2.5.4. Движения 2-плоскости и 3-пространства85
2.5.5. Односторонность и двусторонность пространства 88
§ 6. Квадрики89
2.6.1. Квадрики89
2.6.2. Эквидистанты m-плоскостей91
2.6.3. Поверхности Клиффорда93
2.6.4. Обобщение поверхности Клиффорда 96
§ 7. Конформная интерпретация100
2.7.1. Конформное n-пространство100
2.7.2. Конформные преобразования эллиптического пространства101
2.7.3. Конформная интерпретация эллиптического пространства101
2.7.4. Выражение расстояний в конформной интерпретации|105
§ 8. Интерпретации 3-пространства108
2.8.1. 3-пространство как группа движений 2-плоскости108
2.8.2. Плюк-керовы координаты110
2.8.3. Интерпретация Фубини 112
Глава третья. Пространство Лобачевского116
§ 1. Псевдоевклидовы пространства116
3.1.1. Псевдоевклидовы n-пространства116
3.1.2. Расстояния и движения117
3.1.3. Прямые, плоскости и сферы 118
§ 2. Пространство Лобачевского как полусфера мнимого радиуса и его проективная интерпретация119
3.2.1. n-пространство Лобачевского119
3.2.2. Проективная интерпретация пространства Лобачевского121
3.2.3. Аксиомы пространства Лобачевского122
3.2.4. Параллельные и расходящиеся прямые123
3.2.5. Расстояния126
3.2.6. Тригонометрия и угол параллельности128
3.2.7. Площадь треугольника130
3.2.8. Координаты 134
§ 3. Расширенное пространство Лобачевского136
3.3.1. Абсолют и идеальные точки136
3.3.2. Объем расширенного пространства139
3.3.3. Плоскости140
3.3.4. Выражение расстояний и углов с помощью абсолюта 144
§ 4. Геометрия m-плоскостей146
3.4.1. Операторные координаты m-плоскостей146
3.4.2. Перпендикуляр, опущенный из точки на m-плоскость147
3.4,3. Общие перпендикуляры двух m-плоскостей 148
§ 5. Сферы и многогранники150
3.5.1. Сферы и эквидистанты150
3.5.2. Шары154
3.5.3. Длина дуги эквидистанты прямой155
3.5.4. Орисферы156
3.5.5. Симплексы158
3.5.6. Правильные соты 164
§ 6. Движения166
3.6.1. Группа движений166
3.6.2. Классификация движений168
3.6.3. Движения 2-плоскости и 3-пространства 173
§ 7. Квадрики176
3.7.1. Квадрики176
3.7.2. Сферы, эквидистанты и орисферы177
3.7.3. Классификация квадрик179
3.7.4. Эквидистанты m-плоскостей183
3.7.5. Эквидистантная бочка 183
§ 8. Конформные интерпретации184
3.8.1. Конформная интерпретация Клейна184
3.8.2. Интерпретация Гессе186
3.8.3. Обобщения интерпретации Гессе187
3.8.4. Конформные преобразования пространства Лобачевского188
3.8.5. Конформная интерпретация Пуанкаре190
3.8.6. Выражение расстояний в интерпретации Пуанкаре195
3.8.7. Конформная интерпретация пространства Лобачевского на его плоскости198
3.8.8. Интерпретации, промежуточные между проективными и конформными 199
§ 9. Интерпретация 3-пространства204
3.9.1. Комплексные пространства204
3.9.2. Плюккеровы координаты205
3.9.3. Интерпретация Котельникова 206
Глава четвертая. Гиперболические и симплектическое пространства210
§ 1. Гиперболические пространства210
4.1.1. Гиперболические n-пространства210
4.1.2. Координаты213
4.1.3. Плоскости214
4.1.4. Классификация эллиптических и гиперболических метрик215
§ 2. Геометрия m-плоскостей217
4.2.1. Эллиптические m-плоскости217
4.2.2. Гиперболические m-плоскости219
4.2.3. Паратактичные m-плоскости 221
§ 3. Движения222
4.3.1. Группы движений222
4.3.2. Классификация движений225
4.3.3. Движения 3-пространства 230
§ 4. Квадрики235
4.4.1. Квадрики235
4.4.2. Сферы и орисферы236
4.4.3. Эквидистанты m-плоскостей и т-орисферы 238
§ 5. Конформные интерпретации239
4.5.1. Псевдоконформные n-пространства239
4.5.2. Конформная интерпретация Клейна240
4.5.3. Конформная интерпретация Пуанкаре 240
§ 6. Симплектическое пространство242
4.6.1. Симплектическое (2n+1)-пространство242
4.6.2. Симплектические преобразования243
4.6.3. Нулевые m-плоскости244
4.6.4. Симплектический инвариант двух прямых 245
§ 7. Интерпретации 3-пространств247
4.7.1. Интерпретация Плюккера247
4.7.2. 3-пространство как группа движений 2-плоскости251
4.7.3. Интерпретация Фубини254
4.7.4. Интерпретация симплектического 3-пространства 258
Глава пятая. Проективные метрики262
§ 1. Евклидовы и псевдоевклидовы пространства262
5.1.1. Евклидовы и псевдоевклидовы пространства как предельные случаи эллиптических и гиперболических262
5.1.2. Конформные интерпретации266
5.1.3. Проективные интерпретации266
5.1.4. Получение абсолютов с помощью предельных переходов 268
§ 2. Коевклидовы и копсевдоевклидовы пространства270
5.2.1. Применение принципа двойственности к евклидову и псевдоевклидовым пространствам270
5.2.2. Расстояния между точками271
5.2.3. Углы между плоскостями275
5.2.4. Тригонометрия276
5.2.5. Площадь треугольника278
5.2.6. Движения 281
§ 3. Квазиэллиптические и квазигиперболические пространства283
5.3.1, Абсолюты283
5.3.2. Расстояния между точками286
5.3.3. Углы между плоскостями288
5.3.4. Полярная плоскость и полюс289
5.3.5. Движения290
5.3.6. Кодвижения 293
§ 4. Галилеево, псевдогалилеевы и флаговое пространства295
5.4.1. Галилеево и псевдогалилеевы пространства295
5.4.2. Флаговое пространство297
5.4.3. Движения298
5.4.4. Углы между плоскостями и кодвижения флагового пространства301
5.4.5. Флаговая 2-плоскость303
5.4.6. Тригонометрия флаговой 2-плоскости305
5.4.7. Площадь треугольника на флаговой 2-плоскости 307
§ 5. Общие проективные метрики308
5.5.1. Абсолюты308
5.5.2. Расстояния между точками312
5.5.3. Углы между плоскостями313
5.5.4. Классификация проективных метрик 315
5.5.5. Полярная плоскость и полюс318
5.5.6. Движения319
5.5.7. Кодвижения 322
§ 6. Квадрики324
5.6.1. Центры квадрик324
5.6.2. Метрические инварианты квадрик327
5.6.3. Классификация квадрик 332
§ 7. Геометрия m-плоскостей335
5.7.1. Параболические и непараболические т-плоскости335
5.7.2. Опера торные координаты336
5.7.3. Полярные m-плоскость и (n-m-1)-плоскость337
5.7.4. Перпендикуляр, опущенный из точки на m-плоскость339
5.7.5. Общие перпендикуляры двух m-плоскостей 341
5.7.6. Параболические общие перпендикуляры двух m-плоскостей 343
5.7.7. Геометрия m0-плоскостей квазиэллиптических и квазигиперболическнх пространств346
5.7.8. Паратактичные m-плоскости и прямые348
5.7.9. Геометрия m-плоскостей флагового пространства 348
§ 8. Циклы и конформные преобразования353
5.8.1. Сферы353
5.8.2. Циклы355
5.8.3. Циклы на флаговой плоскости358
5.8.4. Степень точки относительно цикла359
5.8.5. Конформные преобразования360
5.8.6. Инверсия относительно цикла 365
§ 9. Квазисимплектические и полусимплектические пространства366
5.9.1. Квазисимплектические пространства366
5.9.2. Полусимплектические пространства 369
§ 10. Интерпретации 3-пространств371
5.10.1. Квазиэллиптическое 3-пространство как группа движений евклидовой 2-плоскости371
5.10.2. Паратактические сдвиги 3-пространств а373
5.10.3. Интерпретация многообразия прямых квазиэллиптического 3-прост-ранства375
5.10.4. Отражение от пары поляризованных параболических прямых377
5.10.5. Метрические квадрики и нуль-системы378
5.10.6. Квазигиперболическое 3-пространство как группа движений псевдоевклидовой 2-плоскости380
5.10.7. Интерпретация многообразия прямых квазигиперболического 3-пространства на паре 2-плоскостей382
5.10.8. Интерпретация многообразия прямых квазигиперболического 3-пространства на комплексной 2-плоскости384
5.10.9. Изотропное 3-пространство как группа движений флаговой 2-плоскости386
5.10.10. Интерпретация квазисимплектического 3-пространства 388
Глава шестая. Дифференциальная геометрия неевклидовых пространств390
§ 1. Римановы, псевдоримаыовы и полуримановы пространства390
6.1.1. Дифференцируемые пространства390
6.1.2. Пространства аффинной связности392
6.1.3. Римановы и псевдоримановы пространства 394
6.1.4. Кривизна римановых и псевдоримановых пространств 397
6.1.5. Полуримановы и квазиримановы пространства400
6.1.6. Кривизна полуримановых пространств 402
§ 2. Дифференциальная геометрия линий404
6.2.1. Линии и касательные404
6.2.2. Соприкасающиеся m-плоскости404
6.2.3. Сопровождающий базис и натуральный параметр406
6.2.4. Формулы Френе в эллиптическом пространстве408
6.2.5. Формулы Френе в гиперболических пространствах409
6.2.6. Формулы Френе в полуэллиптических и полугиперболических пространствах 411
§ 3. Дифференциальная геометрия поверхностей414
6.3.1. Поверхности и касательные плоскости414
6.3.2. Первые квадратичные формы поверхности416
6.3.3. Нормальная кривизна линии на поверхности417
6.3.4. Внешние кривизны поверхности419
6.3.5. Риманова и псевдориманова геометрии на поверхностях эллиптического и гиперболических пространств421
6.3.6. Полуриманова геометрия на поверхностях полуэллиптических и полугиперболических пространств422
6.3.7. Главные кривизны426
6.3.8. Геометрия на m-орисферах 428
Глава седьмая. Простые и квазипростые группы Ли и образы симметрии431
§ 1. Простые и квазипростые группы Ли431
7.1.1. Группы Ли как дифференцируемые пространства431
7.1.2. Алгебры Ли433
7.1.3. Разрешимые и полупростые группы Ли436
7.1.4. Компактные простые группы Ли438
7.1.5. Некомпактные простые группы Ли445
7.1.6. Квазипростые группы Ли 448
§ 2. Симметрические пространства450
7.2.1. Инвариантная аффинная связность в группах Ли450
7.2.2. Симметрические пространства аффинной связности456
7.2.3. Группы Ли как симметрические пространства аффинной связности458
7.2.4. Свойства симметрических пространств460
7.2.5. Инвариантная риманова и псевдориманова метрика в группах Ли463
7.2.6. Римановы и псевдоримановы симметрические пространства465
7.2.7. Ранг риманова и псевдориманова симметрических пространств и инварианты их точек466
7.2.8. Римановы и псевдоримановы симметрические пространства нулевой кривизны467
7.2.9. Инвариантная квазириманова метрика в группах Ли и квазиримановы симметрические пространства 469
§ 3. Образы симметрии470
7.3.1. Образы симметрии470
7.3.2. Образы симметрии евклидовых и псевдоевклидовых пространств471
7.3.3. Образы симметрии эллиптических и гиперболических пространств472
7.3.4. Образы симметрии и косимметрии проективного пространства475
7.3.5. Образы симметрии симплектического пространства478
7.3.6. Образы симметрии и косимметрии квазиэллиптического и квазигиперболических пространств 479
§ 4. Семейства образов симметрии482
7.4.1. Пространства образов симметрии482
7.4.2. Пространства m-плоскостей485
7.4.3. Семейства образов симметрии487
7.4.4. Конгруэнции m-плоскостей 490
Примечания493
Библиография513
Именной указатель528
Предметный указатель533

Об авторе
Розенфельд Борис Абрамович
Видный советский математик, историк математики, педагог и переводчик. Доктор физико-математических наук. Родился в Петрограде, в семье инженера-экономиста. После окончания средней школы поступил в Московский энергетический институт, а с сентября 1936 г. дополнительно стал заниматься на 3-м курсе мехмата МГУ. В 1940 г. окончил четыре с половиной курса Московского энергетического института. Ранее, в 1939 г., окончил экстерном мехмат МГУ и был принят в аспирантуру на кафедру дифференциальной геометрии, где изучал теорию групп Ли, многомерную дифференциальную геометрию и геометрию симметрических пространств под руководством П. К. Рашевского. В 1942 г. защитил кандидатскую, а в 1947 г. — докторскую диссертацию. В 1943–1955 гг. преподавал на кафедре высшей математики МВТУ. В 1950–1955 гг. — профессор кафедры геометрии Азербайджанского университета в Баку. В 1964–1990 гг. работал старшим и ведущим научным сотрудником Института истории естествознания и техники АН СССР. В 1990 г. переехал с женой в США. В 1990–1995 гг. — профессор Пенсильванского университета; читал лекции по геометрии групп Ли и истории математики.

Автор около 450 научных работ. Развивал идеи Э. Картана, с которым встречался в Москве в 1945 г. Помимо математических достижений, Б. А. Розенфельд широко известен переводами и работами по истории математики — он занимался историей математики на средневековом Востоке и перевел на русский язык с арабского и персидского трактаты ат-Туси, Омара Хайяма, ал-Каши, ал-Хорезми, ал-Фаргани, Сабита ибн Корры, Ибн ал-Хайсама, ал-Бируни, Улугбека. Вместе с А. П. Юшкевичем написал разделы по истории математики в Средние века, эпоху Возрождения и по истории геометрии в трехтомной «Истории математики с древнейших времен до начала XIX столетия» (1970–1972, под ред. А. П. Юшкевича), а также по истории геометрии — в книге «Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций» (1981, под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича).