Формалев В.Ф. Уравнения математической физики

2021. 648 с.

Типографская бумага

Мягкая обложка
Твердый переплет 1914 ₽ ››

Аннотация

В учебнике представлен вывод основных уравнений механики сплошных сред, подробно изложены постановки и методы решения задач для уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов с граничными условиями всех родов. Кроме стандартных глав по математической физике в учебник включены главы по уравнениям в частных производных первого порядка, интегральным уравнениям и методам интегральных преобразований, включая конечные... (Подробнее)

Содержание

Предисловие				14
Глава 1. Основные определения				16
Упражнения				19
Глава 2. Основные уравнения в частных производных математической физики, их вывод				20
2.1. Вывод уравнения теплопроводности				21
2.1.1. Уравнение теплопроводности в изотропной среде				21
2.1.2. Уравнение теплопроводности в анизотропной среде				24
2.1.3. Волновое уравнение теплопроводности				27
2.2. Уравнения Лапласа и Пуассона				28
2.2.1. Стационарное температурное поле				29
2.2.2. Безвихревое течение идеальной несжимаемой жидкости				29
2.2.3. Центральное поле тяготения				31
2.3. Уравнение малых колебаний струны. Волновое уравнение				32
2.3.1. Продольные колебания струны				34
2.3.2. Поперечные колебания струны				35
2.4. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны				37
2.5. Уравнения движения линейной упругой среды				39
2.6. Уравнения гидродинамики				46
2.6.1. Уравнения движения идеальной жидкости или газа				46
2.6.2. Уравнение неразрывности				49
2.6.3. Уравнение состояния				50
2.6.4. Уравнение энергии				51
2.6.5. Полная система уравнений гидродинамики идеальной жидкости				54
2.7. Уравнения математической физики в криволинейных координатах				55
Глава 3. Линейные уравнения второго порядка. Классификация. Постановка задач математической физики				63
3.1. Линейные уравнения в частных производных второго порядка, их классификация, приведение к канонической форме				63
Упражнения				76
3.2. Постановка задач математической физики. Начальные и граничные условия				76
3.2.1. Начальные и граничные условия				77
3.2.2. Постановка задач для уравнений математической физики				79
Упражнения				94
3.3. Существование решений задач математической физики				95
Глава 4. Методы решения нестационарных задач математической физики для уравнений параболического типа в неограниченных, полуограниченных и ограниченных областях				99
4.1. Задача о нагреве неограниченного тонкого стержня с начальным распределением температуры и источником теплоты				100
4.1.1. Метод применения интеграла Фурье				100
4.1.2. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Дельта-функция Дирака. Функция источника				103
4.2. Начально-краевые задачи на полубесконечной прямой для уравнения теплопроводности. Метод продолжения. Функция ошибок				108
4.2.1. Задача о распределении температуры в полубесконечном стержне с неоднородным начальным и граничным условиями первого и второго родов				108
4.2.2. Функция ошибок и ее модификации				115
4.2.3. Задача о нагреве полубесконечного стержня при нулевом начальном распределении и наличии тепловых потоков на границе				117
4.2.4. Задача о распределении температур в полубесконечном стержне в условиях теплообмена с окружающей средой. Полностью неоднородная третья начально-краевая задача теплопроводности				121
4.3. Задачи теории теплопроводности в ограниченных одномерных областях в случаях, когда границы поддерживаются при заданных температурах. Метод разделения переменных				128
4.3.1. Задача о распределении температур в конечном стержне без источника теплоты с начальным распределением и нулевыми температурами на концах стержня. Задача на собственные значения и собственные функции				128
4.3.2. Задача о нагреве конечного стержня при наличии внутренних источников теплоты, нулевых начального и граничных значений температуры				133
4.3.3. Задача о нагреве конечного стержня при наличии внутренних источников теплоты, начального распределения температуры, когда концы стержня поддерживаются при нулевой температуре				136
4.3.4. Задача о нагреве конечного стержня при наличии источников теплоты и начального распределения, когда концы стержня поддерживаются при заданных температурах				138
4.4. Задача о нагреве конечного стержня при наличии начального распределения температуры, когда на границах заданы тепловые потоки				141
4.4.1. На одной из границ стержня задан тепловой поток, другая граница поддерживается при заданной температуре				141
4.4.2. Случай задания тепловых потоков на обеих границах конечного стержня				144
4.5.1. Задача на собственные значения и собственные функции				153
4.6. Теорема Дюамеля				160
4.7. Принцип максимального значения и следствия из него. Единственность и устойчивость решения первой начально-краевой задачи для уравнения параболического типа				164
4.7.1. Принцип максимального значения				164
4.7.2. Теорема о единственности решения задачи теплопроводности				167
4.7.3. Следствия из принципа максимального значения				169
4.7.4. Теорема о корректности решения задачи теплопроводности				170
Упражнения				171
Глава 5. Методы решения задач для уравнений гиперболического типа в неограниченных, полуограниченных и ограниченных областях				173
5.1. Задачи о свободных и вынужденных колебаниях неограниченной струны с начальными отклонением и скоростью. Решение Даламбера. Метод применения интеграла Фурье				173
5.1.1. Решение Даламбера о свободных колебаниях бесконечной струны с начальными отклонением и скоростью				174
5.1.2. Применение интеграла Фурье к решению задач о свободных и вынужденных колебаниях бесконечной струны при наличии начального отклонения и начальной скорости				177
5.2. Свободные и вынужденные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью. Метод продолжения				183
5.2.1. Свободные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда левый конец зажат или свободен				183
5.2.2. Свободные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда левый конец движется по заданному закону или к нему приложено ненулевое усилие				187
5.2.3. Вынужденные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда к левому концу приложено усилие, пропорциональное перемещению				195
5.3. Вынужденные колебания ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы ее движутся по заданному закону. Полностью неоднородная задача для уравнения малых колебаний. Метод разделения переменных				200
5.3.1. Задача о свободных колебаниях ограниченного стрежня с начальными отклонением и скоростью и зажатыми концами				200
5.3.2. Задача о вынужденных колебаниях ограниченного стержня с нулевыми начальным отклонением и скоростью, когда концы стержня зажаты				204
5.3.3. Задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы стержня зажаты				207
5.3.4. Полностью неоднородная задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы движутся по заданным законам				209
5.4. Малые колебания ограниченного стержня при наличии начальных отклонения и скорости, когда на обоих концах заданы усилия				211
5.5. Задача о малых колебаниях ограниченного стержня с начальными отклонением и скоростью, когда концы упруго закреплены и движутся под действием заданных сил				218
5.6. Теорема о единственности решения начально-краевой задачи для уравнения малых колебаний				226
5.7. Примеры				229
Упражнения				238
Глава 6. Стационарные задачи математической физики для уравнений эллиптического типа				240
6.1. Фундаментальные решения уравнения Лапласа со сферической и цилиндрической видами симметрии				241
6.1.1. Фундаментальное решение уравнения Лапласа со сферической симметрией				242
6.1.2. Фундаментальное решение уравнения Лапласа с цилиндрической симметрией				243
6.2. Метод разделения переменных в краевых задачах для уравнения Лапласа в простейших областях. Задачи Дирихле				244
6.2.1. Задача Дирихле в прямоугольнике. Метод разделения переменных				245
6.2.2. Задача Дирихле в круге. Метод разделения переменных. Интеграл Пуассона				252
6.3. Метод разделения переменных в краевых задачах для уравнения Лапласа с граничными условиями второго рода. Задачи Неймана				259
6.3.1. Задача Неймана в прямоугольнике. Метод разделения переменных				260
6.3.2. Задача Неймана в круге. Метод разделения переменных				266
6.4. Метод функций источника (Грина) решения задач для уравнений эллиптического типа				271
6.4.1. Формулы Грина. Интегральное представление гармонических функций				272
6.5. Основные свойства гармонических функций				277
6.6. Функции источника (Грина) для уравнения Лапласа с различными граничными условиями				281
6.6.1. Функция Грина первого рода				281
6.6.2. Физический смысл и свойства функции Грина первого рода				284
6.6.3. Функция Грина второго рода				287
6.6.4. Функции Грина третьего рода				291
6.7. Решение задач для уравнения Лапласа методом функции Грина в простейших областях				294
6.7.1. Задача Дирихле для полупространства				294
6.7.2. Задача Неймана для полупространства				297
6.7.3. Задача Дирихле для круга. Метод функции Грина				299
6.7.4. Задача Неймана для круга. Метод функции Грина				302
6.8. Примеры				304
Упражнения				311
Глава 7. Специальные функции				312
7.1. Гамма-функция, ее свойства				312
7.2. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя				315
7.3. Простейшие свойства функций Бесселя				321
7.4. Ортогональность функций Бесселя. Разложение функций в ряды Фурье—Бесселя				327
7.5. Задача о колебаниях круглой мембраны. Использование функций Бесселя				331
7.6. Задача о распространении теплоты в цилиндре конечных размеров. Использование функций Бесселя				341
7.7. Уравнение Лежандра. Полиномы Лежандра				350
7.7.1. Уравнение Лежандра, его ограниченные решения				350
7.7.2. Ограниченные решения двумерного уравнения Лапласа				354
7.7.3. Производящая функция для полиномов Лежандра				355
7.7.4. Основные свойства полиномов Лежандра				359
7.8. Уравнения сферических и присоединенных функций. Присоединенные, сферические и шаровые функции				364
7.8.1. Уравнение сферических функций. Присоединенные функции Лежандра				365
7.8.2. Определение присоединенных функций Лежандра				367
7.8.3. Сферические функции				370
7.8.4. Шаровые функции. Задача об остывании однородного шара				373
7.9. Примеры				379
Упражнения				387
Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка				389
8.1. Основные определения				389
8.2. Метод Лагранжа решения уравнений в частных производных первого порядка				392
8.3. Постановка и решение задач Коши для уравнений в частных производных первого порядка				397
8.4. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка в n-мерном пространстве				402
8.5. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка				404
8.5.1. Определение общего решения				404
8.5.2. Задача Коши				408
8.6. Общий метод введения параметра решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка				410
Упражнения				415
Глава 9. Интегральные уравнения				416
9.1. Основные определения и понятия				416
9.2. Интегральные уравнения Вольтерра. Методы их решения				419
9.2.1. Связь интегральных уравнений Вольтерра второго рода с дифференциальными уравнениями				419
9.2.2. Метод последовательных приближений				422
9.2.3. Резольвента интегрального уравнения Вольтерра. Решение интегрального уравнения с помощью резольвенты				425
9.2.4. Уравнение Вольтерра второго рода типа свертки				428
9.2.5. Уравнение Вольтерра второго рода с вырожденным ядром				430
9.3. Уравнение Вольтерра первого рода				432
Упражнения				435
9.4. Интегральные уравнения Фредгольма				438
9.4.1. Основные понятия				438
9.4.2. Итерированные ядра уравнения Фредгольма. Построение резольвенты с помощью итерированных ядер				440
9.4.3. Решение уравнений Фредгольма второго рода с вырожденным ядром				443
9.4.4. Метод Галеркина (моментов)				446
9.4.5. Метод конечных сумм				449
Упражнения				452
Глава 10. Методы интегральных преобразований решения задач математической физики				454
10.1. Общие сведения об интегральных преобразованиях				454
10.2. Интегральные преобразования с бесконечными пределами				456
10.3. Связь трансформант производных с трансформантами функций				459
10.4. Конечные интегральные преобразования				463
Глава 11. Интегральные преобразования при решении задач для уравнений параболического типа				468
11.1. Задача о нагреве полубесконечного стержня с начальной температурой и граничным условием первого рода				468
11.2. Задача о нагреве полубесконечного стержня с начальной температурой и тепловым потоком на границе				472
11.3. Задачи о нагреве полубесконечного тела при наличии источника теплоты, начальной температуры и граничных условий первого и второго родов				475
11.3.1. Полностью неоднородная первая начально-краевая задача теплопроводности на полупрямой				475
11.3.2. Полностью неоднородная вторая начально-краевая задача теплопроводности на полупрямой				477
11.4. Задача о нагреве полубесконечного тела при наличии теплообмена с окружающей средой на границе и начального распределения температуры				479
11.5. Конечные интегральные преобразования в задачах теории теплопроводности				482
11.5.1. Конечное интегральное преобразование в задаче теплопроводности в ограниченном стержне при наличии начального распределения и нулевых температурах на концах				482
11.5.2. Конечные интегральные преобразования в цилиндрических областях. Преобразование Ханкеля				485
11.5.3. Задача о распределении температуры в сплошном цилиндре с нулевой начальной температурой и распределением температуры на наружной границе				485
11.5.4. Задача о распределении температуры в полом цилиндре с заданной начальной температурой и нулевыми температурами на границах				490
11.6. Применение интегральных преобразований в задачах для уравнений теплопроводности, содержащих смешанные производные (анизотропные среды)				494
11.6.1. Применение интегральных преобразований Фурье и Лапласа к решению первой начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропной полосе				495
11.6.2. Применение интегральных преобразований к решению второй начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропной полосе				504
Упражнения				512
Глава 12. Интегральные преобразования в задачах для уравнений гиперболического типа				517
12.1. Применение интегральных преобразований в задачах для уравнений малых колебаний полуограниченной струны				518
12.1.1. Свободные колебания полуограниченной струны с нулевыми начальным отклонением и скоростью, когда левый конец движется по заданному закону				518
12.1.2. Случай задания усилия на левой границе полубесконечной струны				520
12.1.3. Случай задания усилия, пропорционального продольному смещению на левой границе полуограниченной струны				522
12.1.4. Свободные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда левый конец движется по заданному закону				524
12.1.5. Свободные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда на левом конце задано усилие				528
12.2. Применение конечных интегральных преобразований к решению задач о малых колебаниях ограниченной струны				531
12.2.1. Задача о свободных колебаниях ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы струны зажаты				531
12.2.2. Применение конечных интегральных преобразований к задачам о свободных колебаниях ограниченной струны с неоднородными начально-краевыми условиями				534
12.3. Свободные колебания очень большой тонкой мембраны				538
12.4. Случай вынужденных колебаний неограниченной мембраны				542
12.5. Колебания круглой ограниченной мембраны. Применение конечного преобразования Ханкеля				544
12.5.1. Свободные колебания ограниченной мембраны с начальными отклонением и скоростью				544
12.5.2. Вынужденные колебания ограниченной мембраны				546
12.6. Волновые явления теплопроводности				547
12.6.1. О законах и уравнениях волнового теплопереноса				547
12.6.2. Возникновение и распространение бегущих тепловых волн в полубесконечных средах				549
12.6.3. Теория солитонов волнового теплопереноса в ограниченных телах				557
Упражнения				566
Приложение 1. Элементы векторного анализа				568
П1.1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент скалярного поля				568
П1.2. Векторное поле. Работа векторного поля, ее вычисление				571
П1.2.1. Основные определения				571
П1.2.2. Работа векторного поля. Циркуляция векторного поля. Формула Грина				573
П1.3. Поток и дивергенция векторного поля. Формула Остроградского—Гаусса				576
П1.3.1. Поток векторного поля				576
П1.3.2. Формула Остроградского—Гаусса. Дивергенция векторного поля				577
П1.4. Понятие ротора (вихря) векторного поля. Формула Стокса				580
П1.4.1. Ротор векторного поля				580
П1.4.2. Формула Стокса				581
П1.5. Потенциальные векторные поля. Критерий потенциальности				582
Приложение 2. Ряды Фурье. Интеграл и преобразование Фурье				586
П2.1. Ортогональные системы функций. Ортогональные системы тригонометрических функций				586
П2.2. Система ортогональных тригонометрических функций				587
П2.3. Построение тригонометрического ряда Фурье				589
П2.4. Построение тригонометрических рядов Фурье для произвольных функций, заданных на произвольных промежутках				593
П2.4.1. Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций				593
П2.4.2. Тригонометрический ряд Фурье для произвольных (непериодических) функций				594
П2.4.3. Тригонометрический ряд Фурье для функций, заданных на произвольных конечных промежутках				596
П2.4.4. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье				597
П2.5. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье				598
Приложение 3. Специальные функции				603
П3.1. Гамма-функция				603
П3.2. Функции Бесселя				605
П3.3. Многочлены (полиномы) Лежандра				613
П3.4. Вырожденные гипергеометрические функции				618
Приложение 4. Основы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления				622
П4.1. Комплексные числа и действия над ними				622
П4.2. Функции комплексной переменной				624
П4.3. Нули аналитических функций. Особые точки ФКП				627
П4.4. Теория вычетов и ее применение				631
П4.5. Операционное исчисление				635
П4.5.1. Обратное преобразование Лапласа				638
П4.5.2. Связь с преобразованием Фурье				640
Список используемой литературы				645

Об авторе

Формалев Владимир Федорович

Доктор физико-математических наук, профессор Московского авиационного института (национального исследовательского университета). Заслуженный деятель науки РФ, заслуженный работник высшей школы РФ, пятикратный соросовский профессор, пятикратный победитель конкурса Правительства г. Москвы в области науки и образования, награжден медалью им. нобелевского лауреата П. Л. Капицы «За научное открытие». Признанный ученый в РФ и за рубежом в области математического моделирования тепломассопереноса в анизотропных телах, аналитических и численных методов решения задач теплопереноса в анизотропных телах, сопряженных задач теплообмена, волнового теплопереноса, обратных задач теплопереноса в анизотропных телах, дифференциальных уравнений, содержащих смешанные производные. Автор класса экономичных абсолютно устойчивых численных методов решения задач со смешанными производными. 12 лет занимался в НИИ и ОКБ математическим моделированием тепловой защиты скоростных и гиперзвуковых летательных аппаратов. Автор и соавтор свыше 400 научных публикаций, среди которых 22 книги (монографии, учебники, учебные пособия). Под руководством профессора В. Ф. Формалева защищено 10 кандидатских и 3 докторских диссертации по физико-математическим наукам.