|
Содержание
 Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к первому изданию.................. 5
I. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
1. Гладкие предмногообразия................ 9
2. Гладкие многообразия.................. 12
3. Открытые подмногообразия, ^-свойство......... 15
4. Векторные поля..................... 23
5. Векторные поля на координатных окрестностях...... 25
6. Векторы......................... 30
7. Линейные дифференциальные формы........... 34
8. Ковекторы........................ 37
9. Тензорные поля..................... 40
10. Тензоры. Умножение тензоров и тензорных полей .... 43
11. Свертывание тензоров и тензорных полей........ 47
12. Кривые и поверхности.................. 49
13. Продолжение тензорных полей.............. 54
14. Подмногообразия............,...,...«, 58
15. Произведения многообразий............... 65
II. ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
1. Аффинные связности................... 68
2. Тензоры кривизны и кручения.............. 70
3. Ковариантное дифференцирование вдоль кривой . . . * . 72
4. Параллельный перенос вдоль кривой.......... . 78
5. Ковариантное дифференцирование тензорных полей . . . „ 81
6. Геодезические...................... 88
7. Нормальные окрестности................. 91
8. Теорема Уайтхеда.................... 97
9. Дифференциальные формы связности........... 100
10. Уравнения Картана.................... 103
III. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
1. Существование и единственность римановой связности . . 106
2. Риманов тензор кривизны................ 110
3. Дифференциальные формы связности и метрический тензор 112
4. Длина кривой...................... 115
4 СОДЕРЖАНИЕ
5. Внутренняя метрика................... 118
6. Кратчайшие....................... 120
7. Нормальные выпуклые окрестности......... . . . 124
8. Лемма о сходимости................... 126
9. Полные римановы пространства ............. 129
10. Условия полноты римановых пространств......... 133
IV. ВАРИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
1. Геодезические как линии стационарной длины...... 137
2. Вторая вариация длины дуги геодезической........ 143
3. Якобиевы вариации и поля Якоби............ 146
4. Сопряженные точки................... 151
5. Кусочно гладкие и разрывные векторные поля...... 156
6. Минимальные векторные поля.............. 160
7. Существование минимальных полей............ 164
8. Ломаные поля Якоби................... 168
9. Теорема об изоморфизме................. 173
10. Квадратичная форма Морса............... 177
11. Вычисление индекса точки с помощью формы Морса . . . 181
12. Вычисление индекса интервала с помощью формы Морса . 184
13. Квадратичная форма Ботта. Окончательная формулировка теорем об индексах...........' ... 1 .... 191
ДОБАВЛЕНИЕ ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ
1. Вторая квадратичная форма подмногообразия....... 200
2. Фокальные точки.................... 205
3. Вычисление индекса ................. 210
4. Доказательство неравенства (4) .............. 218
V. ТЕОРЕМА РЕДУКЦИИ
1. Формулировка теоремы.................. 223
2. Замечания к формулировке теоремы редукции...... 227
3. Непрерывность отображений аир............. 231
4. Завершение доказательства теоремы редукции...... 237
5. Обобщенная теорема редукции.............. 242
6. Сравнение пространства й с пространством й......с 244
Об авторе
 Постников Михаил Михайлович Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Подготовил 16 кандидатов физико-математических наук, из которых 9 стали впоследствии докторами наук. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.
|