Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления Изд. 2

2021. 320 с.

Белая офсетная бумага

Аннотация

Настоящая книга стала первой монографией, посвященной теории условных марковских процессов. Данная теория относится к новому разделу математической статистики и находит многочисленные применения в теории оптимальной нелинейной фильтрации, теории обнаружения процессов при неполном их наблюдении, статистической теории оптимального управления и др.

В книге систематически излагается ряд оригинальных результатов автора как по общей теории,... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие к первому изданию				3
Часть I.НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ				9
Глава 1. Сходимость немарковского процесса к марковскому				9
§ 1.1. Постановка вопроса				9
§ 1.2. Основная теорема				14
§ 1.3. Примеры				25
Глава 2. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений				28
§.2.1. Симметризованный стохастический интеграл и его связь с интегралом Ито				29
§ 2.2. Стохастические уравнения				37
§ 2.3. Инвариантная запись уравнений Колмогорова				41
§ 2.4. Стохастические линейные операторы				43
Глава 3. Марковская система мер и инфинитезимальные операторы				46
§ 3.1. Операторы, соответствующие марковской системе мер				47
§ 3.2. Одна теорема о замене системы мер				58
§ 3.3. Переход к специальному случаю				61
§ 3.4. Диффузионные операторы и статистика приращений				69
Г лава 4. Абсолютная непрерывность диффузионных марковских мер и производные в функциональном пространстве				77
§ 4.1. Некоторые леммы для мер с вырожденной матрицей дисперсий				78
§ 4.2. Обозначения а-алгебр в функциональном пространстве				81
§ 4.3. Производная Радона—Никодима для диффузионного процесса				86
§ 4.4. Производная в функциональном пространстве при частичном усреднении диффузионного процесса				90
Часть II ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ УСЛОВНЫХ ПРОЦЕССОВ МАРКОВА				96
Глава 5. Некоторые общие результаты для процессов в произвольном фазовом пространстве				96
§ 5.1. Постановка вопроса и первые теоремы				96
§ 5.2. Некоторые теоремы для процессов с информационной непрерывностью				99
§ 5.3. Введение основной апостериорной меры				104
§ 5.4. Другой способ введения основной апостериорной меры				107
§ 5.5. Апостериорные меры, соответствующие начальному распределению				110
§ 5.6. Некоторые общие свойства апостериорных мер				115
Глава 6. Скачкообразные изменения наблюдаемого диффузионного процесса				121
§ 6.1. Марковский процесс с m состояниями				121
§ 6.2. Несколько диффузионных процессов и марковские переходы между ними				127
§ 6.3. Апостериорные инфинитезимальные операторы				130
§ 6.4. Вторичный апостериорный оператор				136
§ 6.5. Пример. Процесс с двумя состояниями				137
Глава 7. Неполное наблюдение многомерного диффузионного процесса				141
§ 7.1. Постановка вопроса и основные результаты				141
§ 7.2. Некоторые обобщения				148
§ 7.3. Два примера				150
Часть III ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ УСЛОВНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ К ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ				155
Глава 8. Некоторые общие результаты теории оптимального управления				155
§ 8.1. Общая постановка задачи. Функция рисков в измеримом пространстве				158
§ 8.2. Случай ступенчатого индекса. Оптимальные условные риски				164
§ 8.3. Оптимальные решения				170
§ 8.4. Полугруппа преобразований, соответствующаярешению. Регулярность				175
§ 8.5. Достаточные координаты				179
§ 8.6. Преобразования функций от достаточных координат. Уравнение альтернатив				182
§ 8.7. Случай марковского основного процесса				188
§ 8.8. Обобщение на теорию игр				194
Глава 9. Оптимальная нелинейная фильтрация				198
§ 9.1. Постановка задачи				201
§ 9.2. Уравнения и блок-схема оптимальной нелинейной фильтрации				204
§ 9.3. Пример апостериорного процесса с бесконечным числом состояний				207
§ 9.4. Другие примеры процессов с бесконечным числом состояний				211
§ 9.5. Переход к линейной фильтрации				214
§ 9.6. Сравнение эффективности линейной и нелинейной фильтрации для одного примера				218
Г лава 10. Задачи на оптимальное прекращение процесса				224
§ 10.1. Постановка задачи. Функция штрафов				225
§ 10.2. Достаточные координаты и условные риски				227
§ 10.3. Переход к непрерывному индексу. Дифференциальное уравнение для рисков				229
§ 10.4. Одномерный случай				234
§ 10.5. Оптимальные решающие функции				238
§ 10.6. Пример. Остановка марковского процесса с двумя состояниями				240
Глава 11. Выбор оптимального наблюдения и оптимального управления процессом				246
§ 11.1. Задачи на оптимальное наблюдение				247
§ 11.2 Задачи на оптимальное управление марковским процессом с двумя состояниями				257
§ 11.3. Другая задача на оптимальное управление. Слежение за блуждающей точкой				263
§ 11.4. Увеличение числа достаточных координат				269
Приложение 1. Условные меры и математические ожидания ненормированных мер				280
Приложение 2. Условная минимизация				282
Дополнение. Решение некоторых задач математической статистики и последовательного анализа				290
Литература				313
Оглавление				317

Об авторе

Стратонович Руслан Леонтьевич

Выдающийся физик-теоретик, один из создателей теории стохастических дифференциальных уравнений (другое название — стохастическое исчисление). Доктор физико-математических наук, профессор. Родился в Москве. Экстерном окончил школу и получил золотую медаль. В 1947 г. поступил без экзаменов на физический факультет Московского государственного университета. После окончания факультета и аспирантуры МГУ был оставлен в качестве ассистента на кафедре общей физики для механико-математического факультета и в 1956 г. защитил кандидатскую диссертацию. В 1965 г. защитил докторскую диссертацию по теме «Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления». В 1969 г. занял должность профессора по кафедре общей физики физического факультета МГУ. В 1994 г. получил звание заслуженного профессора МГУ. Лауреат Ломоносовской премии (1984), Государственной премии СССР (1988), Государственной премии России (1996, вместе со своим учеником В. П. Белавкиным).

Научные труды Р. Л. Стратоновича стали основополагающими в таких областях науки, как теория случайных процессов, неравновесная термодинамика, теория информации, синергетика. Он создал стохастическое исчисление, которое является альтернативой к теории интеграла Ито и удобно для применения при описании физических проблем. Ввел стохастический интеграл Стратоновича. Решил проблему оптимальной нелинейной фильтрации, базируясь на своей теории условных марковских процессов, которая была темой его докторской диссертации. Ввел понятие фильтра Стратоновича; линейный фильтр Калмана — специальный случай фильтра Стратоновича. Термины «уравнения Стратоновича», «интеграл Стратоновича—Ито», «ценность информации по Стратоновичу», «нелинейная фильтрация по Стратоновичу» стали общепринятыми в мировой научной литературе.