Часть I. Векторный анализ (Математическая теория поля) | 2
|
§ 1. Скалярные и векторные поля | 2
|
§ 2. Скалярное поле. Поверхности уровня. Производная по дуге | 6
|
§ 3. Градиент скалярного поля | 11
|
§ 4. Интеграл по поверхности | 16
|
§ 5. Формула Гаусса-Остроградского | 21
|
§ 6. Векторное поле. Векторные линии. Векторные трубки | 24
|
§ 7. Поток векторного поля через поверхность | 28
|
§ 8. Дивергенция векторного поля | 32
|
§ 9. Соленоидальные поля | 39
|
§ 10. Циркуляция векторного поля по контуру | 40
|
§ 11. Формула Грина-Остроградского и теорема Стокса | 44
|
§ 12. Плотность циркуляции векторного поля. Ротор | 51
|
§ 13. Правила действий над дивергенцией и ротором | 59
|
§ 14. Безвихревое поле | 60
|
§ 15. Потенциальное поле | 65
|
§ 16. Криволинейные координаты | 73
|
§ 17. Скалярные и векторные поля в криволинейных координатах. Вычисление градиента с помощью криволинейных координат | 81
|
§ 18. Интегральные и дифференциальные операции над векторным полем в криволинейных координатах | 84
|
§ 19. Дифференциальные операции второго порядка | 99
|
Часть II. Краевые задачи. Ортогональные системы функций | 104
|
§ 1. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Собственные решения | 104
|
§ 2. Самосопряженное уравнение второго порядка | 107
|
§ 3. Собственные числа и собственные функции | 113
|
§ 4. Уравнение Бесселя | 122
|
§ 5. Краевая задача,приводящая к функциям Бесселя. Ортогональность функций Бесселя | 128
|
§ 6. Уравнение Лежандра нулевого порядка. Полиномы Лежандра | 133
|
§ 7. Уравнение Лежандра n-го порядка | 142
|
§ 8. Краевые задачи, приводящие к тригонометрическим функциям | 145
|
§ 9. Ряды по ортогональным системам функций | 148
|
§ 10. Тригонометрические ряды Фурье | 158
|
§ 11. Ряды Фурье-Бесселя | 167
|
§ 12. Ряды Фурье-Лежандра | 169
|
§ 13. О замкнутости системы тригонометрических функций и системы полиномов Лежандра | 173
|
Часть III. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
|
Глава 1. Вывод некоторых уравнений математической физики | 184
|
§ 1. Уравнение колебания струны | 184
|
§ 2. Уравнение колебания мембраны | 192
|
§ 3. Вывод уравнения теплопроводности | 202
|
§ 4. Вывод основного уравнения гидродинамики | 213
|
Глава 2. Решение уравнений методом Фурье (метод разделения переменных)
|
§ 1. Решение уравнения свободных колебаний струны методом Фурье | 218
|
§ 2. Интегралы, зависящие от параметра, и их приложения 228
|
§ 3. Доказательство единственности решения задачи о колебании струны | 236
|
§ 4. Общие замечания о методе Фурье | 240
|
§ 5. Решение уравнения колебания струны при наличии внешних сил (вынужденные колебания) | 245
|
§ 6. Решение задачи о колебании конечной струны в случае неоднородных граничных условий | 252
|
§ 7. Решение уравнения теплопроводности для конечного стержня | 256
|
§ 8. Двойные ряды Фурье | 259
|
§ 9. Решение уравнения колебания прямоугольной мембраны | 263
|
§10. Решение уравнения колебания круглой мембраны | 270
|
§11. Решение задачи об остывании бесконечного круглого цилиндра | 283
|
§ 12. Стационарное распределение температуры внутри бесконечного цилиндра. Плоская задача Дирихле (для круга). Задача о стационарном отклонении мембраны | 288
|
§ 13. Понятие о математическом моделировании для решения физических задач | 300
|
§ 14. Решение уравнения гидродинамики для плоскопараллельного движения жидкости внутри цилиндра. Плоская задача Неймана | 302
|
§15. Решение уравнения теплопроводности для шара методом Фурье (стационарный случай). Пространственная задача Дирихле для шара | 307
|
Глава 3. Интеграл Фурье и его приложения
|
§ 1. Интеграл Фурье | 316
|
§ 2. Распространение тепла в бесконечном стержне | 322
|
Глава 4. Общие свойства гармонических функций. Функция Грина | 332
|
§ 1. Общие свойства гармонических функций. Формулы Грина. Метод сеток | 332
|
§ 2. Функция Грина. Решение задачи Дирихле для шара | 345
|
Глава 5. Классификация линейных дифференциальных уравнений. Метод характеристик | 354
|
§ 1. Преобразование линейных уравнений второго порядка с помощью замены переменных | 354
|
§ 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Приведение к каноническому виду | 362
|
§ 3. Решение уравнения колебания бесконечной струны методом характеристик (метод Даламбера) | 370
|
§ 4. Исследование закона колебания бесконечной струны | 374
|
Очан Юрий Семенович Советский математик, специалист в области математического анализа, математической логики и дескриптивной теории множеств. Работал в Московском государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина (ныне Московский педагогический государственный университет, МПГУ). Активный пропагандист математических знаний среди учителей и преподавателей высших учебных заведений. Автор учебных пособий по математике и математической физике, в числе которых фундаментальный труд «Математический анализ: Учебное пособие для педагогических институтов» (в соавт. с В. Е. Шнейдером), «Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного», «Методы математической физики», «Теория пределов», «Сборник задач по методам математической физики», «Сборник задач по математическому анализу: Общая теория множеств и функций» (большинство данных работ переиздано в URSS) и другие. Автор ряда научных статей, в том числе в журналах «Известия Академии наук СССР. Серия математическая» и «Успехи математических наук».