|
Оглавление
Введение
Хотя в математике обычно очень трудно составить себе общее представление о данной области до знакомства с ней по существу, дадим все же в самых общих чертах характеристику предмета дифференциальной геометрии. Как известно, аналитическая геометрия основана на сопоставлении: каждой точке пространства -- трех чисел (координат); каждой поверхности -- уравнения, связывающего текущие координаты; каждой кривой -- двух таких уравнений. Благодаря этому геометрические факты могут быть переведены на язык алгебры, геометрические задачи могут быть решены приемами алгебры, после чего результат при помощи обратного перехода вновь истолковывается на геометрическом языке. Основная идея здесь, очевидно, заключается в том, чтобы заставить сильный и действенный алгорифм алгебры регулярным образом работать для геометрических целей. При этом прогресс выражается не только и не столько в том, что старые задачи решаются более совершенным аналитическим методом, сколько в возможности неизмеримо расширить самый круг геометрических проблем по сравнению с проблемами, доступными элементарному подходу. Дифференциальная геометрия означает аналогичное использование в геометрических целях аппарата дифференциального исчисления. При этом снова центр тяжести лежит в создании новой области геометрического исследования, куда позволяет проникнуть применение нового алгорифма. Чтобы отдать себе отчет, чем характеризуется эта область -- область дифференциальной геометрии, -- нужно вспомнить, где и как вообще находит себе применение аппарат анализа бесконечно малых. Чтобы привести элементарный пример, рассмотрим прямолинейное, но неравномерное движение точки по закону s=s(t), выражающему пройденный путь в зависимости от времени. Изучим это движение за бесконечно малый промежуток времени от t до t+. Тогда, как известно из дифференциального исчисления, пройденный за время путь будет выражаться величиной =s'(t)+, где s'(t) -- производная, а стремится к нулю вместе с. Мы замечаем, что если пренебречь, бесконечно малой высшего порядка по отношению к, то зависимость от окажется линейной с коэффициентом s'(t), т.е. движение можно считать равномерным, с постоянной скоростью s'(t). Эта же идея лежит в основе всех приложений дифференциального исчисления: сложные зависимости становятся в бесконечно малом линейными, неравномерные процессы -- равномерными и т.д., если пренебречь бесконечно малыми высших порядков. Мы получаем возможность изучать интересующие нас зависимости в чрезвычайно упрощенном виде, правда, лишь в бесконечно малом. Но, во-первых, это и само по себе бывает важно (в указанном примере мы пришли к вычислению мгновенной скорости путем дифференцирования пути по времени), во-вторых, интегральное исчисление дает нам возможность вернуться, где это нужно, к оценке процесса в целом. Дифференциальная геометрия является осуществлением этой же идеи в области геометрии. Другими словами, геометрические объекты -- линии и поверхности -- будут изучаться нами с точки зрения их строения в бесконечно малых кусках. И это "микроскопическое исследование" обнаружит нам ряд стройных закономерностей, не видимых простым глазом и обнаруживающихся лишь в бесконечно малом. Возникает новый мощный метод исследования геометрических объектов, более отчетливое представление о котором мы получим при изучении его по существу. Сделаем еще одно предварительное замечание. Так как сущность метода связана с применением дифференциального исчисления, то мы не должны быть связаны какими-либо ограничениями в смысле дифференцируемости рассматриваемых функций. Если не оговорено противное, мы будем раз навсегда предполагать, что все рассматриваемые функции однозначны и дифференцируемы, причем имеют непрерывные производные до любого порядка, который может нам понадобиться. Отметим также, что на протяжении всей книги рассматриваются исключительно вещественные переменные. Предисловие к 3-му изданию
При подготовке к 3-му изданию учебник подвергся значительной переработке, главным образом с целью некоторых улучшений в методике изложения, в расположении и планировке материала, в выборе доказательств и т.д. Особенное внимание было обращено на отчетливое выделение основного, минимального материала курса. Для этого все остальные темы (а они, как правило, близко примыкают к минимальному материалу и могут быть в том или ином выборе присоединяемы к нему) отнесены в параграфы, отмеченные звездочкой. Что же касается самих фактических сведений, сообщаемых в курсе, то здесь изменения незначительны. Имеются лишь отдельные небольшие добавления: особые точки в случае параметрического представления кривой; построение соприкасающейся окружности предельным переходом; параметр распределения и горловая линия линейчатой поверхности. К курсу присоединены также исторические сведения. Считаю своим долгом выразить глубокую признательность редактору книги А.З.Рывкину за его исключительно добросовестную работу над текстом и сделанные им ценные замечания. Автор
Об авторе
 Рашевский Петр Константинович Выдающийся советский математик-геометр. Доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Окончил МГУ. Воспитанник школы В. Ф. Кагана. Преподавал в Московском энергетическом институте и в Московском педагогическом институте. До конца жизни заведовал кафедрой дифференциальной геометрии механико-математического факультета МГУ.
П. К. Рашевский — автор многих фундаментальных работ по различным разделам геометрии: римановой, аффинной, дифференциальной, по созданной им полиметрической геометрии, аксиоматике проективной геометрии однородных пространств, связанной с группами Ли, и другим. Им были написаны учебники и монографии в области геометрии и математической физики: "Риманова геометрия и тензорный анализ" (М.: URSS), "Курс дифференциальной геометрии" (М.: URSS), "Геометрическая теория уравнений с частными производными" (М.: URSS), "Теория спиноров" (М.: URSS). Первые две книги переведены на испанский язык. Ученики П. К. Рашевского, входившие в созданную им школу, развивали также теорию однородных пространств, методы вариационного исчисления. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||