Каган В.Ф. Основы ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ТЕНЗОРНОМ ИЗЛОЖЕНИИ.
Часть 2: Поверхности в пространстве. Отображения и изгибания поверхностей. Специальные вопросы. Ч.2. Изд. 2

Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Часть 2: Поверхности в пространстве. Отображения и изгибания поверхностей. Специальные вопросы

Kagan V.F.«Foundations of the theory of surfaces in tensor representation». (Two vols., in Russian).

URSS. 2021. 408 с. ISBN 978-5-9710-8104-3.

Серия: Физико-математическое наследие: математика (дифференциальная геометрия)

Газетная пухлая бумага

Белая бумага.

Аннотация

Вниманию читателей предлагается классический фундаментальный труд выдающегося математика, основателя тензорной дифференциально-геометрической школы в СССР В.Ф.Кагана (1869–1953). В книге дается наиболее существенный материал дифференциальной геометрии поверхностей в современном автору построении, делается обстоятельное и в то же время доступное изложение тензорного аппарата в его применении к дифференциальной геометрии,... (Подробнее)

Оглавление

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ				9
§ 52. Основная теорема теории поверхностей				9
1. Определение диференциальной формы по выведенным из неё христофелям				9
2. Основная теорема теории поверхностей				10
3. Иммерсия двух квадратичных форм				13
4. Теорема Бонне				15
5. Случай поверхности, развёртывающейся на плоскость				16
6. Христофели, определяющие метрическую форму поверхности				18
7. Характеристический признак поверхностей вращения				20
§ 53. Кривизна линий, расположенных на поверхности				23
1. Высота и азимут кривой в данной точке поверхности				23
2. Точки распрямления кривой на поверхности				24
3. Формула Менье				25
4. Определение кривизны кривой на поверхности по заданной её ориентации				27
5. Теорема Менье				28
6. Индикатриса Дюпена				30
7. Другая интерпретация индикатрисы Дюпена				32
§ 54. Развитие учения об асимптотических линиях и линиях кривизны поверхности				34
1. Вводные соображения				34
2. Пространственная и геодезическая кривизны асимптотической линии				34
3. Кручение асимптотической линии				35
4. Завершение того же вывода				36
5. Нормальная кривизна поверхности в асимптотическом направлении				37
6. Линии кривизны поверхности и их диференциальные уравнения				38
7. Геометрический признак линий кривизны				39
8. Плоские линии кривизны				39
9. Теорема Иоахимсталя				40
10. Теорема Дюпена				42
11. Линии кривизны центральной поверхности 2-го порядка				42
12. Геодезическое кручение линий кривизны				43
13. Линии кривизны прямого геликоида				44
§ 55. Тензор Кодацци и связанная с ним кубическая инвариантная форма				45
1. Тензор Кодацци				45
2. Тензор Кодацци на развёртывающейся поверхности				45
3. Выражение производных гауссовой и средней кривизн поверхности через кодацциев тензор				46
4. Диференциальная форма и инвариант, порождаемые кодацциевым тензором				47
5. Уравнения Форсайта				48
6. Предложения, вытекающие из уравнений Форсайта				50
7. Поверхности, на которых как гауссова, так и средняя rривизны сохраняют постоянные значения вдоль каждой линии кривизны одного семейства				51
8. Разыскание всех поверхностей, на которых основные формы имеют установленный вид				53
9. Другое выражение тензора Кодацци				56
§ 56. Трижды ортогональные системы поверхностей				57
1. Построение трижды ортогональной системы поверхностей				57
2. Функции Ламе				58
3. Деривационные формулы Гаусса в пространстве Е9				59
4. Уравнения иммерсии формы Ламе				60
5. Разыскание функций Ламе, определяющих трижды ортогональную систему поверхностей				61
6. Проблема Кэли				62
7. Вспомогательное предложение				64
8. Решение задачи Кэли				65
9. Диференциальное уравнение Кэли-Дарбу				67
10. Автоморфизмы трижды ортогональных систем поверхностей				70
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ				71
§ 57. Проективные поверхности				71
1. Определение проективных поверхностей				71
2. Компоненты параллельного перенесения на проективной поверхности				72
3. Разыскание метрического тензора проективной поверхности				74
4. Дискриминант метрического тензора проективной поверхности				75
5. Бельтрамиева карта и абсолют проективной поверхности				76
§ 58. Метрические соотношения на поверхностях постоянной кривизны				78
1. Основная метрическая форма поверхности постоянной кривизны в полярных координатах				78
2. Теорема синусов на поверхностях постоянной кривизны				80
3. Полная система тригонометрических уравнений				81
4. Тригонометрические уравнения прямоугольного треугольника				83
5. Вычисление площади геодезического треугольника				84
6. Декартовы координаты на псевдосферической поверхности				85
7. Уравнение геодезической линии на псевдосферической поверхности и бельтрамиевы координаты на ней				86
8. Выражение метрической формы псевдосферической поверхности в декартовых и бельтрамиевых координатах				88
9. Отображение псевдосферической поверхности на бельтрамиевом круге				90
10. Выражение расстояния двух точек на поверхности постоянной кривизны в бельтрамиевых координатах				91
11. Угол между двумя направлениями на поверхности постоянной кривизны. Угол параллельности на псевдосферической поверхности				92
12. Движения на поверхностях постоянной кривизны				93
§ 59. Поверхности вращения постоянной кривизны. Псевдосфера				96
1. Диференциальное уравнение поверхностей вращения постоянной кривизны и его первый интеграл				96
2. Поверхности вращения постоянной положительной кривизны				97
3. Поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны				100
4. Псевдосфера				102
5. Изотермические координаты на псевдосфере				104
6. Геодезические линии псевдосферы				105
7. Параллельное перенесение вектора на псевдосфере				107
8. Асимптотические линии псевдосферы				108
9. Поверхности постоянной средней кривизны				109
§ 60. Теорема Гильберта				111
1. Задача Гильберта				111
2. Асимптотические координаты				111
3. Формула Хацидакиса				113
4. Теорема Гильберта				114
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ				117
§ 61. Начала общей теории отображения поверхностей				117
1. Общие свойства отображения				117
2. Эллипс искажения				118
3. Главные направления отображения в каждой точке отображаемой поверхности				120
4. Афинор искажения в каждой точке отображаемой поверхности				120
5. Тензор главных направлений отображения				121
6. Главная сеть отображения				122
§ 62. Конформное и эквиареальное отображение поверхностей				123
1. Гауссово определение конформного отображения				123
2. Конформное преобразование плоскости				124
3. Осуществление конформного преобразования				126
4. Бельтрамиева проекция сферы на плоскость				127
5. Нормальное отображение параллельных поверхностей				128
6. Стереографическое отображение сферы на плоскость				128
7. Изменение компонент параллельного перенесения при конформном преобразовании поверхности				128
8. Эквиареальное отображение				129
§ 63. Сферическое изображение поверхности				129
1. Сферическое изображение поверхности				129
2. Главные линии сферического изображения				130
3. Сферическое изображение линий кривизны				131
4. Сферическое изображение вблизи параболической точки поверхности				132
5. Сферическое изображение и гауссова кривизна поверхности				134
§ 64. Определение поверхности её сферическим изображением				136
1. Метрический тензор единичной сферы				136
2. Поле векторов, выходящих из точек сферы				137
3. Вспомогательные соотношения на сфере				137
4. Диференциальные уравнения единичной сферы				138
5. Скаляр, определяющий метрическую форму сферы				139
6. Теорема Вейнгартена				140
7. Другая форма деривационных формул Вейнгартена				142
8. Определение поверхности по второй и третьей основным её формам				142
9. Определение средней и гауссовой кривизн поверхности её второй и третьей формами				143
§ 65. Геодезическое отображение поверхностей				144
1. Постановка задачи				144
2. Тривиальные случаи геодезического отображения				144
3. Уравнения Вейля				145
4. Преобразование уравнений Вейля				147
5. Тензор геодезического отображения				149
6. Поверхности, допускающие нетривиальное геодезическое отображение на другую поверхность				151
7. Теорема Дарбу				152
8. Теорема Дини				154
§ 66. Картографическая проблема				156
1. Задача картографии				156
2. Ортографическая проекция				156
3. Глобулярная проекция				159
4. Цилиндрические проекции				161
6. Меркаторова проекция				162
6. Ламбертова экваареальная проекция				164
7. Эквиареальная проекция Мольвейде				166
8. Конические проекции				168
9. Коническая конформная карта Ламберта				169
10. Азимутальная проекция				171
11. Задача о наивыгоднейшей проекции при построении карт				174
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ				177
§ 67. Изометрическое отображение поверхностей				177
1. Изометрическое отображение одной поверхности на другую				177
2. Уравнения Христофеля				178
3. Дискретные изометрии двух поверхностей				179
4. Непрерывные изометрии двух поверхностей				183
§ 68. Общая задача об изгибании поверхностей				184
1. Задача об изгибании поверхностей				184
2. Диференциальное уравнение Бианки				185
3. Применение уравнения Бианки к решению общей задачи об изгибании				187
4. Метод Дарбу				190
5. Гауссова кривизна формы Дарбу				191
6. Диференциальное уравнение Дарбу				193
7. Группа автоморфизмов положительной квадратичной формы				194
§ 69. Специальные задачи изгибания поверхностей				194
1. Обзор уже рассмотренных случаев изгибания поверхности				194
2. Инварианты изгибания				196
3. Движение поверхности в самой себе				196
4. Изгибание поверхности с сохранением твёрдой кривой				198
5. Теорема Джеллетта				199
6. Изгибание поверхности с сохранением твёрдой асимптотической линии				201
§ 70. Изгибание линейчатых поверхностей				202
1. Изгибание торсов				202
2. Виртуальная асимптотическая сеть				202
3. Изгибание поверхности с сохранением одного семейства асимптотических линий				204
4. Изгибание линейчатой поверхности в линейчатую же				206
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ ТЕНЗОР ДАРБУ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ К ПОВЕРХНОСТЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА				208
§ 71. Тензор Дарбу				208
1. Аполярные тензоры				208
2. Тензор Дарбу				209
3. Направления Дарбу в заданной точке поверхности и линии Дарбу на поверхности				210
4. Линии Дарбу				211
5. Формулы Фосса				213
6. Формулы проективного преобразования второй основной формы поверхности				214
7. Вспомогательный афинор				215
8. Формулы проективного преобразования компонент параллельного перенесения на поверхности				216
9. Формула проективного преобразования кривизны поверхности				218
10. Формулы проективного преобразования тензоров Кодацци и Дарбу				218
§ 72. Тензор Дарбу и поверхности второго порядка				220
1. Тензор Дарбу на поверхностях второго порядка				220
2. Характеристический признак поверхности второго порядка				220
3. Теорема Бонне				221
4. Поверхности вращения				223
5. Координаты Чезаро				224
6. Разыскание основных форм поверхности в координатах Чезаро				226
7. Полином Чезаро				228
8. Характеристический полином Чезаро для поверхностей второго порядка				229
9. Основная теорема				232
ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ МЕТРИЧЕСКИЕ ИСТОКИ АФИННОЙ И ПРОЕКТИВНОЙ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ				234
§ 73. Модификация тензора Кодацци и метрические истоки афинной диференциальной геометрии				234
1. Руководящие идеи афинной диференциальной геометрии				234
2. Предварительные соображения				235
3. Квадратичная форма центро-афинной диференциальной геометрии поверхностей				236
4. Квадратичная форма эквиафинной диференциальной геометрии поверхностей				238
5. Вспомогательный вектор и кубическая форма афинной диференциальной геометрии поверхностей				239
6. Афинная нормаль и деривационные формулы				241
7. Афинная диференциальная геометрия поверхностей				242
§ 74. Формы Фубини и метрические истоки проективной диференциальной геометрии				243
1. Формы Фубини				243
2. Сопоставление форм Фубини с основными формами эквиафинной диференциальной геометрии				245
3. Формы Фубини в проективном пространстве				248
4. Проективные формы Фу-биии				249
5. Построение форм Фубини в проективном пространстве				250
6. Формы Фубини, в асимптотических координатах				252
7. Нормальные проективные координаты и нормирование форм Фубини				253
8. Проективный линейный элемент				254
9. Проективная нормаль й основные уравнения проективной диференциальной геометрии				255
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ НАЧАЛА УЧЕНИЯ О ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ КОНГРУЭНЦИЯХ				257
§ 75. Основные формы, определяющие прямолинейную конгруэнцию				257
1. Прямолинейные конгруэнции и конфигурации Куммера				257
2. Момент луча конгруэнции относительно данной точки				258
3. Первый основной тензор конгруэнции				259
4. Вторая основная форма конгруэнции				260
5. Постановка вопроса				261
6. Лемма				262
7. Интегрирование системы уравнений				263
8. Уравнение Санниа				264
9. Основная теорема теории конгруэнции				265
10. Тензоры Рашевского				265
§ 76. Конфигурации Куммера				266
1. Квадратичные формы конгруэнции				266
2. Конфигурация Куммера				267
3. Деривационные формулы				267
4. Основная теорема теории куммеровых конфигураций				268
5. Выражение тензора конгруэнции через величины куммеровой конфигурации, в состав которой она входит				269
6. Выражение второго тензора конгруэнции через тензоры содержащей её куммеровой конфигурации				270
7. Преобразование основного уравнения				271
§ 77. Поверхности, связанные с конгруэнцией				271
1. Средняя поверхность конгруэнции				271
2. Уравнение средней поверхности конгруэнции, выраженное в величинах, определяющих конгруэнцию				272
3. Исследование средней поверхности				273
4. Эллиптические, параболические и гиперболические лучи конгруэнции				275
5. Линейчатые поверхности конгруэнции				275
6. Развёртывающиеся поверхности конгруэнции				277
7. Фокусы и фокальные поверхности конгруэнции				277
8. Главные линейчатые поверхности конгруэнции				279
9. Нормальные конгруэнции				280
10. Криволинейная конгруэнция векторного поля				281
11. Изгибание конгруэнции				281
12. Инвариант изгибания конгруэнции				282
13. Расширение понятия об изгибании конгруэнции				283
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕТРИЧЕСКАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ И ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ				284
§ 78. Гонометрическая форма на поверхности				284
1. Принцип двойственности				284
2. Уравнение геодезической линии на сфере				285
3. Расстояние между двумя точками на сфере				286
4. Вспомогательная формула				287
5. Метрическая форма сферы или эллиптической плоскости в бельтрамиевых координатах				287
6. Угол между двумя большими кругами на сфере				288
7. Лонгометрическая и гонометрическая формы сферы				289
8. Эллиптическая плоскость				290
9. Гонометрическое исследование эллиптической плоскости				290
10. Гонометрическая площадь бесконечно малого треугольника				292
11. Гонометрические интегральные инварианты				293
12. Гиперболическая плоскость				294
13. Гонометрическая форма гиперболической плоскости				296
14. Гонометрическая форма на поверхностях, развёртывающихся на плоскость				297
§ 79. Гонометрическое семейство кривых				298
1. Гауссова и финслерова формы				298
2. Гонометрическое семейство кривых				300
3. Гонометрические семейства кругов на плоскости				301
4. Гонометрические семейства кругов другого типа				303
5. Гонометрическая диференциальная геометрия семейства кругов				304
§ 80. Характеристический признак гонометрического семейства кривых на плоскости				305
1. Диференциальное уравнение гонометрического семейства кривых				305
2. Задание двупараметрического семейства кривых по способу Рашевского				306
3. Два диференциальных оператора				307
4. Диференциальное уравнение Рашевзкого				310
5. Достаточность установленного условия				311
6. Ближайшее рассмотрение найденного условия				313
7. Изменение кривизны кривых конгруэнции при конформном преобразовании плоскости				314
8. Квазиокружности. Характеристический признак семейства квазиокружностей				316
9. Уравнение Рашевского для квазиокружностей				318
10. Поверхности с гонометрическим семейством геодезических линий				320
§ 81. Гонометрические семейства кривых от трёх параметров				321
1. Теорема Рашевского				321
2. Диференциальные уравнения трёх-параметрического семейства кривых				322
3. Включение двухпарамет-рического семейства в трёхпараметрическое				323
4. Уточнение состава характеристической функции для гонометрической системы				324
§ 82. Начала интегральной геометрии				325
1. Гонометрическая площадь множества геодезических линий				325
2. Гонометрическая площадь круга на сфере				326
3. Гонометрическая площадь отрезка геодезической линии на сфере				327
4. Гонометрическая площадь прямолинейного отрезка на евклидовой плоскости				328
5. Развитие теоремы Крофтона				329
6. Инвариант Картана				332
7. Приложения к теории вероятностей				335
8. Интегральная геометрия				336
ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЕТЕЙ				338
§ 83. Начала общей теории сетей				338
1. Регулярное однопараметрическое семейство кривых на поверхности				338
2. Сеть и её диференциальное уравнение				339
3. Инварианты сетевого тензора				342
4. Нормирование сетевого тензора и его инвариантов				343
5. Геометрическое значение нормированного первого инварианта сети				344
6. Выражение компонент одного из направляющих векторов сети через компоненты второго направляющего вектора и сетевой угол				345
7. Градиент сетевого угла				346
8. Скаляры, сохраняющие постоянное значение на каждой линии одного из семейств сети				346
§ 84. Чебышевская сеть и чебышевский вектор				347
1. Аналитические условия, определяющие чебышевскую сеть				347
2. Уравнения Сервана-Бианки				348
3. Чебышевские сети на любой поверхности				349
4. Чебышевские сети на плоскости				350
5. Формулы Дубнова и их интерпретация				352
6. Чебышевские векторы сети				354
7. Соотношения,связывающие чебышевские векторы сети				355
8. Чебышевский вектор чебышевской сети				356
9. Получебышевская сеть				359
10. Выражение компонент чебышевского вектора через компоненты направляющих векторов сети				361
11. Выражение компонент чебышевского вектора сети через компоненты её ненормированного тензора				362
12. Вычисление компонент чебышевского вектора для специальных сетей				362
§ 85. Инвариантные признаки сетей и поверхностей				366
1. Постановка задачи				365
2. Инвариантные признаки поверхности вращения и цилиндра				365
3. Геодезические кривизны линий сети				366
4. Геодезическая сеть				367
5. Преобразование уравнений, характеризующих геодезическую сеть				367
6. Вектор кривизны сети				368
7. Вектор кривизны координатной сети				370
8. Инвариантный признак поверхностей второго порядка				370
9. Полугеодезическая сеть				372
10. Инвариантный признак линейчатой поверхности				372
11. Изменение чебышевского вектора при преобразовании поверхности				372
12. Изменение чебышевского вектора при конформном преобразовании поверхности				374
13. Третий чебышевский вектор				375
14. Ромбическая сеть				376
15. Изотермическая сеть				377
16. Изотермические поверхности				378
17. Инвариантные признаки торсов различных типов				379
§ 86. Изгибание на главном основании				381
1. Определение изгибания на главном основании				381
2. Основное свойство сети изгибания				383
3. Изгибание на главном основании				384
4. Виртуально сопряжённая сеть				384
5. Решение одной задачи тензорной алгебры				385
6. Выражение чебышевского вектора сети, определяемой тензором				387
7. Условия, определяющие простое или главное основание				390
8. Определение всех поверхностей, которые получаются при изгибании одной из них на главном основании				392
Литература				395
Именной указатель				403
Предметный указатель				404

Об авторе

Каган Вениамин Федорович

Доктор физико-математических наук, профессор МГУ имени М. В. Ломоносова. Основатель тензорной дифференциально-геометрической школы в СССР.

Родился в г. Шяуляй, в Литве, в 1869 г. Окончил Киевский университет в 1892 г. С 1923 г. — профессор МГУ. В 1935 г. — доктор физико-математических наук. В 1929 г. получил звание заслуженного деятеля науки. В 1940 г. награжден орденом Трудового Красного Знамени, а в 1943 г. — Сталинской премией.

Основная область научных интересов В. Ф. Кагана — основания геометрии и дифференциальная геометрия. Он исследовал и популяризовал идеи Н. И. Лобачевского, а также создал теорию субпроективных пространств, представляющих собой обобщения пространства Лобачевского. Был редактором журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики», редактором математического отдела первого издания Большой советской энциклопедии и автором ее статей. Основал издательство «Матезис», выпускавшее научную и научно-популярную физико-математическую литературу.