Предисловие к первому изданию | 5
|
Оглавление | 11
|
ГЛАВА ПЕРВАЯ МЁБИУСОВЫ ГРУППЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА | 19
|
§ 1. Изометрические преобразования пространства | 19
|
1. Изоморфизмы и автоморфизмы в геометрии | 19
|
2. Отображение пространства самого в себя или преобразование пространства | 21
|
3. Изо -метрическое преобразование пространства | 22
|
4. Обозначение суммирования по Эйнштейну | 23
|
5. Изометрия евклидова пространства как ортогональное преобразование | 25
|
§ 2. Афинные преобразования пространства. Афиноры | 27
|
1. Афинное преобразование пространства | 27
|
2. Основные свойства афинных преобразований | 29
|
3. Группа афинных преобразований | 30
|
4. Афинные преобразования векторов. Афиноры | 32
|
5. Основные свойства линейной вектор-функции | 34
|
6. Алгебра афиноров | 36
|
7. Симметрический афинор | 38
|
8. Неизменяемые направления афинора | 38
|
9. Неизменяемые направления симметрического афинора | 39
|
10. Афинор деформации | 41
|
11. Инварианты геометрических образов по отношению к афинору или афинному преобразованию | 41
|
12. Инварианты афинора | 42
|
13. Уравнения Гамильтона-Кэли | 44
|
§3. Версоры. Движения и отражения | 45
|
1. Действие афинного преобразования на триэдр | 45
|
2. Версор | 47
|
3. Неизменяемое направление версора | 48
|
4. Движения | 49
|
5. Отражения | 50
|
6. Группа подобия | 51
|
7. Афинные преобразования евклидова пространства и геометрия афинного пространства | 51
|
§ 4. Изометрические и афинные преобразования плоскости | 51
|
1,Афинные преобразования и движения в плоскости | 51
|
2. Афиноры в Е2 | 53
|
3. Симметрические афиноры в Е2 | 53
|
4. Определение симметрического афинора по его главным направлениям и собственным значениям | 54
|
б. Версоры в Е2 | 55
|
6. Инварианты афинора и уравнение Гамильтона-Кэли в плоскости | 55
|
§5. Диференпированне и интегрирование линейных вектор-функций и афиноров | 56
|
1. Диференцирование и интегрирование линейных вектор-функций | 56
|
2. Система диференциальных уравнений триэдра | 56
|
3. Диференцирование и интегрирование афинора | 57
|
$ 6. Группа проективных преобразований | 58
|
1. Проективные преобразования пространства | 58
|
2. Коллинеации в евклидовой плоскости. Уравнения Шефферса | 59
|
3. . 3. Уравнения Шварца | 60
|
4. Интегрирование диференциальных уравнений Шефферса | 61
|
5. Группа проективных преобразований плоскости | 63
|
6. Проективные преобразования пространства | 65
|
7. Группа автоморфизмов множества всех векторов | 66
|
§ 7. Группа сферических преобразований | 67
|
1. Преобразования подобия и инверсии | 67
|
2. Пентасферические координаты в Ев | 68
|
3. Сферические преобразования пространства и лоренцовы преобразования координат | 69
|
4. Уравнения сферического преобразования в исходных пентасферических координатах | 71
|
5. Разложение сферического преобразования | 72
|
6. Конформность сферического преобразования | 74
|
ГЛАВА ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ | 76
|
§ 8. Инварианты пространственной кривей. Уравнения Френе-Серре | 76
|
1. Кривая; касательная к ней; касательный и тангенциальный вектор | 76
|
2. Главный нормальный вектор. Кривизна кривой в заданной её точке | 78
|
3. Бинормальный вектор; основной триэдр кривой | 80
|
4. Кручение кривой в данной её точке. Формулы Френе-Серре | 81
|
5. Вектор Пуассона-Дарбу. Вторая форма уравнений Френе-Серре | 84
|
6. Вхождение кривой в основной триэдр | 85
|
§ 9. Интегрирование уравнений Френе-Серре и некоторые их применения | 87
|
1. Интегрирование уравнений Френе-Серре | 87
|
2. Афинор основного триэдра | 89
|
3. Винтовые линии | 91
|
4. Разложение радиуса-вектора точки кривой по степеням лонгального параметра | 93
|
5. Соприкасающаяся сфера в данной точке кривой | 94
|
6. Сферические кривые Натуральные уравнения сферической кривой | 95
|
ГЛАВА ТРЕТЬЯ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ | 97
|
§ 10. Криволинейные координаты на поверхности | 97
|
1. Различные способы аналитического выражения поверхности | 97
|
2. Условие независимости параметров | 98
|
3. Поверхность; обыкновенные и особые её точки | 99
|
4. Криволинейные координаты на поверхности | 100
|
5. Чебышевская, получебышевская сеть и лонгальные координаты | 102
|
6. Афинные координаты на евклидовой плоскости | 103
|
7. Кривые на поверхности; векторы, принадлежащие поверхности, и нормальные к ней | 103
|
8. Географические и эквидистантные координаты на сфере | 104
|
9. Стереографические координаты на сфере | 106
|
10. . Бельтрамиевы координаты на сфере | 109
|
§ 11. Криволинейные координаты в пространстве | 111
|
1. Криволинейные координаты в Е3 | 111
|
2. Стереографические координаты в пространстве | 112
|
3. Эллиптические координаты в пространстве | 113
|
4. Эллиптические координаты на центральной поверхности 2-го порядка | 116
|
5. Координация пространства, нормально связанная с координацией поверхности | 119
|
§ 12. Контравариантные и ко вариантные компоненты вектора в пространстве и на поверхности | 120
|
1. Контравариантные компоненты вектора | 120
|
2. Преобразование контравариантных компонент вектора при преобразовании координат | 121
|
3. Символика Схоутена и Стройка | 122
|
4. Ковариантные компоненты вектора | 124
|
5. Другие выражения ковариантных и контравариантных компонент вектора | 124
|
6. Ковариантные и контравариантные векторы | 127
|
7. Преобразование контравариантных компонент вектора в ковариантные и обратно. Вертор | 128
|
8. Дискриминант вертора | 129
|
9. Векторы на поверхности | 130
|
10. Сводка результатов, относящихся к координации точек и векторов на поверхности | 132
|
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ НАЧАЛА ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ | 134
|
§ 13. Линейная алгебра тензоров | 134
|
1. Экстенсивы | 134
|
2. Тензоры | 135
|
3. Мультипликативные тензоры | 137
|
4. Смешанные тензоры | 137
|
5. Конструирование тензора | 138
|
6. Тензор Кронекера | 139
|
7. Линейная алгебра тензоров | 140
|
8. Изомеры. Симметрические и кососимметрические тензоры | 140
|
§ 14. Умножение и свёртывание тензоров | 143
|
1. Перемножение тензоров | 143
|
2. Свёртывание тензора | 143
|
3. Свёртывание двух тензоров | 145
|
4. Обращение основной теоремы о свёртывании тензоров | 146
|
5. Тензоры 2-ой валентности | 147
|
6. Верторы | 148
|
7. Верторы gij и γij | 149
|
8. Различные типы компонент тензора | 149
|
9. Смещение индексов в компонентах экстенсива | 150
|
10. Перенесение диференциального множителя | 151
|
11. Тензоры некоторой группы преобразований | 152
|
§ 15. Инварианты тензоров | 153
|
1. Инерция свёртывания | 153
|
2. Инварианты двух тензоров | 153
|
3. Скалярное произведение двух векторов | 154
|
4. Выражение скалярного произведения двух тензоров 1-й валентности (векторов) в однотипных координатах | 155
|
5. Диференциальные инварианты скалярных функций | 155
|
6. Диференциалы | 156
|
7. Относительные инварианты | 157
|
8. Преобразование дискриминанта тензора 2-й валентности к новым переменным | 158
|
9. Абсолютные инварианты, получаемые из относительных | 159
|
10. Инвариантные диференциальные формы | 160
|
§ 16. Бивекторы в бинарной области | 161
|
1. Бивекторы | 161
|
2. Дискриминантный тензор | 162
|
3. Кососимметрические тензоры высшей валентности в бинарной области | 163
|
4. Общее выражение бивектора в бинарной области | 164
|
5. Двойные бивекторы | 164
|
6. Дублированный бивектор | 166
|
7. Выражение определителя и его миноров с помощью дискриминантного тензора | 167
|
ГЛАВА ПЯТАЯ МЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ | 170
|
§ 17. Метрика в пространстве и на поверхности | 170
|
1. Метрическая диференциальная форма пространства и поверхности | 170
|
2. Метрическая форма сферы в стереографических координатах | 172
|
3. Метрическая форма сферы в бельтрамиевых координатах | 173
|
4. Метрическая форма центральной поверхности 2-го порядка в эллиптических координатах | 173
|
5. Метрическая форма центральной поверхности 2-го порядка в лиувиллевых координатах. Поверхности Лиувилля | 174
|
6. Метрика в пространстве | 175
|
7. Метрика на поверхности | 176
|
8. Поверхности, имеющие общую метрическую форму | 180
|
§ 18. Редукция бинарной квадратичной диференциальной формы | 181
|
1. Задача редукции квадратичной диференциальной формы | 181
|
2. Приведение квадратичной диференциальной формы к ортогональному виду | 181
|
3. Приведение квадратичной бинарной формы к каноническому виду | 183
|
§ 19. Иммерсия положительной бинарной диференциальной формы | 185
|
1. Первая задача иммерсии | 185
|
2. Необходимое условие возможности иммерсии f2 в Е2 | 185
|
3. Достаточность установленного, условия | 186
|
4. Классификация диференциальных квадратичных форм | 187
|
5. Нормальная система диференциальных у равнений в частных производных | 187
|
6. Вторая задача иммерсии | 188
|
7. Отображение, деформация и изгибание поверхностей | 191
|
8. Наложение (развёртывание) одной поверхности на другую | 193
|
ГЛАВА ШЕСТАЯ ОБЩИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ | 195
|
§ 20. Три основные формы поверхности и их инварианты | 195
|
1. Метрическая форма пространства Е3 в координатах, нормально связанных с координацией поверхности | 195
|
2. Три основные формы поверхности | 196
|
3. Два тождества | 198
|
4. Геометрическое истолкование второй и третьей основных форм | 199
|
5. Основные формы плоскости и сферы | 200
|
6. Инварианты диференциальных форм поверхности | 201
|
7. Первый и второй инварианты всякого тензора | 203
|
8. Формулы Beйнгартена | 204
|
9. Зависимость между тремя основными формами | 205
|
§ 21. Кривые на поверхности. Вектор Родрига | 206
|
1. Основной триэдр кривой на поверхности | 206
|
2. Деривационные уравнения | 207
|
3. Три кривизны кривой на поверхности. Геодезические линии поверхности | 208
|
4. Поверхностные полосы | 210
|
5. Вектор Родрига | 211
|
6. Кривизны ϭ и τ с поверхности в данном направлении | 212
|
7. Другие выражения инвариантов ϭ и τ | 213
|
8. Четвёртая основная форма поверхности | 214
|
9. Развитие формул Beйнгартена | 215
|
§ 22. Первый основной афинор поверхности и главные направления в каждой её точке | 216
|
1. Афинор поверхности | 216
|
2. Афинор Бурали-Форти и главные направления в данной точке поверхности | 217
|
3. Уравнение Гамильтона-Кэли | 218
|
4. Эйлерова разность | 220
|
5. Основной афинор, отнесённый к главным направлениям поверхности | 221
|
6. Формула Эйлера | 224
|
7. Формула Менье | 224
|
8. Выражение дискриминанта четвёртой основной формы | 226
|
§ 23. Асимптотические направления в точке поверхности и второй основной афинор | 226
|
1. Сопряжённые направления в данной точке поверхности | 226
|
2. Асимптотические направления в данной точке поверхности | 227
|
3. Другой геометрический признак асимптотических направлений | 230
|
4. Второй афинор поверхности | 231
|
5. Уравнение Гамильтона-Кэли для второго афинора | 232
|
§ 24. Асимптотические линии и линии кривизны поверхности | 233
|
1. Асимптотические линии поверхности | 233
|
2. Основные свойства асимптотических линий | 234
|
3. Линии кривизны поверхности | 235
|
4. Теорема Дюпена | 236
|
5. Некоторые общие соображения | 237
|
$ 25. Якобиан двух тензоров | 237
|
1. Структура 4-го основного тензора | 237
|
2. Якобиев тензор, составленный из двух данных тензоров | 239
|
3. Четвёртый основной тензор поверхности как якобиан первых двух тензоров | 239
|
§ 26. Воздействие Мёбиусовых преобразований пространства на основные формы поверхности | 242
|
1. Воздействие на основные формы поверхности преобразований подобия | 242
|
2. Воздействие на основные формы поверхности конформного преобразования пространства | 243
|
3. Группы автоморфизмов асимптотических линий и линий кривизны | 246
|
§ 27. Соприкосновение поверхностей | 246
|
1. Поверхность, приведённая в нормальное сопряжение с одной из своих касательных плоскостей | 246
|
2. Порядок взаимного касания двух поверхностей | 248
|
3. Соприкасающиеся поверхности | 249
|
4. Приведение поверхностей в соприкосновение | 250
|
5. Соприкасающаяся сфера | 251
|
6. Инвариантность омбилических точек поверхности при конформном преобразовании пространства | 251
|
ГЛАВА СЕДЬМАЯ ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ | 252
|
§ 28. Поверхности вращения | 252
|
1. Поверхность вращения | 252
|
2. Метрическая форма поверхности вращения | 253
|
3. Катеноид | 256
|
4. Вторая и третья основные формы поверхности вращения | 257
|
5. Кривизна катеноида | 258
|
6. Тор | 259
|
7. Омбилические точки поверхности вращения | 260
|
8. Асимптотические линии поверхности вращения | 261
|
9. Поверхности, имеющие больше одной оси вращения | 262
|
10. Группа автоморфизмов совокупности поверхностей вращения | 263
|
§ 29. Линейчатые поверхности | 264
|
1. Линейчатая поверхность | 264
|
2. Изменение направляющей | 264
|
3. Касательная плоскость и нормаль линейчатой поверхности | 265
|
4. Стрикционная линия линейчатой поверхности | 267
|
5. Первая основная форма и особые точки линейчатой поверхности | 269
|
6. Параметр распределения | 270
|
§ 30. Торсы (линейчатые поверхности, развёртывающиеся на плоскость | 272
|
1. Торс | 272
|
2. Классификация торсов | 273
|
3. Особые точки торса | 274
|
4. Ребро возврата торса | 275
|
5. Торс как огибающая движущейся плоскости | 276
|
6. Линейчатые поверхности, образуемые рёбрами основного триэдра пространственной кривой | 279
|
7. Торсы, огибающие грани основного триэдра кривой | 280
|
8. Поверхности, развёртывающиеся на плоскость | 281
|
9. Поверхность нормалей и линии кривизны поверхности | 283
|
10. Минимальный торс | 284
|
11. Линейчатая поверхность вращения | 284
|
12. Средняя кривизна торса | 285
|
13. Группа автоморфизмов линейчатых поверхностей | 286
|
§ 31. Поверхности Каталана | 287
|
1. Линейчатая поверхность с направляющей плоскостью | 287
|
2. Коноид | 289
|
3. Геликоид | 291
|
4. Основные формы геликоида | 292
|
5. Асимптотические линии и линии кривизны геликоида | 293
|
6. Теорема Каталана | 294
|
7. Обобщение понятия о винтовой поверхности | 295
|
§ 32. Поверхности переноса | 296
|
1. Преобразование С. Ли | 296
|
2. Поверхность переноса | 297
|
3. Основные формы поверхности переноса | 298
|
4. Построение поверхностей переноса, указанное С. Ли | 299
|
5. Автоморфизмы совокупности поверхностей переноса | 301
|
6. Обобщение понятия о поверхности переноса | 301
|
§ 33. Параллельные поверхности | 302
|
1. Семейство параллельных поверхностей | 302
|
2. Особые точки на параллельных поверхностях | 303
|
3. Эволюта поверхности | 303
|
4. Эволюта поверхности вращения | 304
|
5. Соотношения между кривизнами параллельных поверхностей в соответствующих точках | 305
|
6. Эволюта параллельных поверхностей | 306
|
7. Средняя поверхность эволюты | 307
|
8. Связь между четвёртыми основными тензорами на параллельных поверхностях | 308
|
9. Векторы главных направлений поверхности | 310
|
10. Эволюта как огибающая главных плоскостей поверхности | 312
|
11. Поверхности Монжа | 313
|
12. Построение монжевых поверхностей | 314
|
13. Каналовые, трубчатые поверхности; циклиды | 315
|
§ 34. Минимальные поверхности | 316
|
1. Обзор уже рассмотренных минимальных поверхностей | 316
|
2. Вариационные свойства минимальных поверхностей | 317
|
3. Выражение площади части минимальной поверхности, ограниченной жордановой кривой | 319
|
4. Интегральный признак минимальной поверхности | 320
|
5. Диференциальное уравнение минимальной поверхности. Задача Плато | 321
|
6. Элементы, определяющие минимальную поверхность | 322
|
7. Гауссова кривизна минимальной поверхности | 323
|
8. Асимптотические линии минимальной поверхности | 323
|
9. Автоморфизмы диференциального уравнения или системы диференциальных уравнений | 325
|
10. Автоморфизмы множества минимальных поверхностей | 325
|
ГЛАВА ВОСЬМАЯ НАЧАЛА ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА | 328
|
§ 35. Параллельное перенесение вектора в пространстве и в плоскости | 328
|
1. Поле равных векторов | 328
|
2. Диференциальные уравнения постоянного векторного поля в пространстве Е3 | 328
|
3. Христофели первого и второго рода; их выражения в компонентах основного тензора | 329
|
4. Диференциальные уравнения параллельного перенесения вектора в пространстве. Условия их интегрируемости | 330
|
5. Бесконечно малое смещение вектора | 332
|
6. Параллельное перенесение в плоскости | 333
|
§ 36. Риманов тензор | 334
|
1. Экстенсивы различных типов; девиация | 334
|
2. Преобразование христофелей | 335
|
3. Геометрический объект | 336
|
4. Вспомогательные теоремы | 337
|
5. Тензор Римана-Христофеля | 338
|
6. Задача Ламе-Христофеля | 340
|
7. Ковариантные компоненты риманова тензора | 342
|
§ 37. Экстенсив Христофеля и основная теорема Гаусса | 343
|
1. Христофели в бинарной области | 343
|
2. Христофелев экстенсив сферы | 345
|
3. Христофели поверхности Лиувилля | 346
|
4. Риманов тензор поверхности | 346
|
5. Основная теорема Гаусса | 348
|
6. Формулы Бианки | 348
|
7. Тензор Риччи | 349
|
8. Формула Фосса-Вейля | 349
|
9. Другие выражения гауссовой кривизны поверхности через компоненты его метрического тензора | 350
|
§ 38. Ковариантное диференцирование вектора (тензора первой валентности) | 351
|
1. Инвариантный признак постоянного векторного поля в Е3 ив Е2 | 351
|
2. Ковариантная производная вектора (тензора первой валентности) | 352
|
3. Другое выражение условий, характеризующих постоянное векторное поле в Е3 или в Е2 | 355
|
4. Ковариантная производная вектора (тензора первой валентности), заданного своими контравариантными компонентами | 356
|
5. Абсолютный диференциал вектора | 357
|
6. Производная вектора в пространстве Е3 или на плоскости Е2, взятая в данном направлении | 357
|
7. Ротация векторного поля | 358
|
§ 39. Ковариантные производные тензоров | 358
|
1. Ковариантная производная тензора 2-й валентности | 358
|
2. Ковариантная производная метрического и дискриминантного тензоров | 361
|
3. Ковариантная производная смешанного тензора 2-й валентности | 362
|
4. Тождество Риччи | 363
|
5. Ковариантные производные тензора любой валентности | 365
|
§ 40. Тензоры с векторными компонентами | 366
|
1. Экстенсивы с векторными компонентами | 366
|
2. Тензоры с векторными компонентами | 366
|
3. Перемножение тензоров с векторными компонентами | 368
|
4. Дискриминантный тензор | 369
|
5. Ротор вектора | 370
|
6. Ковариантная производная тензора с векторными компонентами | 370
|
7. Градиент векторного поля и связанные с ним соотношения | 372
|
8. Деривационные формулы Гаусса | 373
|
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ | 375
|
§ 41. Параллельное перенесение вектора но поверхности (геометрическая теория | 375
|
1. Определение параллельного перенесения вектора по поверхности в бесконечно близкую точку | 375
|
2. Параллельное перенесение вектора по поверхности вдоль заданной на ней кривой | 376
|
3. Отклонение вектора от репера при бесконечно малом перенесении | 377
|
4. Параллельное перенесение по поверхности цилиндра | 378
|
5. Параллельное перенесение по поверхности конуса | 379
|
6. Абсолютный параллелизм | 380
|
7. Параллельное перенесение на тангенциальном торсе | 381
|
8. Параллельное перенесение вектора по сфере | 382
|
§ 42. Параллельное перенесение вектора но поверхности (аналитическая теория | 383
|
1. Приращения, которые получают компоненты вектора при параллельном его перенесении по поверхности в бесконечно близкую точку | 383
|
2. Диференциальные уравнения, определяющие параллельное перенесение вектора по поверхности вдоль заданной на ней кривой | 384
|
3. Абсолютный диференциал вектора, зависящего от одного параметра | 386
|
4. Абсолютный или неабсолютный параллелизм векторов на поверхности | 386
|
5. Диференциальные уравнения параллельного перенесения вектора, заданного ковариантными компонентами | 387
|
6. Инварианты параллельного перенесения | 388
|
7. Внутренняя геометрия поверхности | 389
|
§ 43. Теорема Леви-Чивита о гауссовой кривизне поверхности | 389
|
1. Развитие основных формул параллельного перенесения | 389
|
2. Приращение компонент вектора при обходе бесконечно малого контура | 391
|
3. Отклонение вектора при обходе бесконечно малого контура | 393
|
4. Основная теорема Леви-Чивита | 394
|
5. Распространение формулы Леви-Чивита на конечный контур | 395
|
§ 44. Геодезическая кривизна кривой на поверхности | 397
|
1. Диференцирование вектора по поверхности | 397
|
2. Вектор кривизны и геодезическая кривизна кривой на поверхности | 399
|
3. Отклонение вектора при параллельном его перенесении по поверхности | 401
|
4. Вычисление геодезической кривизны | 402
|
5. Формулы Френе-Серре на поверхности | 404
|
6. Интегрирование уравнений Френе-Серре на поверхности | 404
|
7. Геодезическая кривизна параметрических линий | 405
|
8. Теорема Оссиана Бонне | 407
|
9. Вычисление геодезической кривизны не которых простейших кривых на поверхности | 409
|
10. Полная кривизна замкнутой односвязной поверхности | 410
|
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ | 412
|
§ 45. Геодезические линии поверхности | 412
|
1. Непосредственное разыскание геодезических линий поверхности | 412
|
2. Диференциальные уравнения геодезических линий | 413
|
3. Интегрирование диференциальных уравнений геодезических линий | 415
|
4. Интегрирование диференциальных уравнений геодезических линий на сфере | 419
|
5. Единое диференциальное уравнение второго порядка геодезических линий | 421
|
6. Вариационное определение геодезических линий. Эйлеров вектор | 422
|
7. Кратчайшие линии поверхности | 424
|
8. Определение геодезических линий поверхности средствами, внешними относительно поверхности | 426
|
§ 46. Задача о движении материальной точки по удерживающей гладкой поверхности | 427
|
1. Уравнения Лагранжа | 427
|
2.Уравнения Уиттекера | 428
|
3. Движение материальной точки по удерживающей гладкой поверхности при отсутствии внешних сил | 429
|
4. Принцип Гамильтона | 430
|
§ 47. Геодезические и нормальные координаты на поверхности | 431
|
1. Геодезические координаты | 431
|
2. Геодезические координаты в данной точке поверхности | 434
|
3. Нормальные координаты на поверхности | 436
|
4. Преобразование любых координат в нормальные | 437
|
5. Преобразование одних нормальных координат в другие | 438
|
6. Геодезические линии через две точки поверхности | 439
|
7. Нормальные координаты на плоскости и на сфере | 440
|
8. Основные соотношения в нормальной координации | 441
|
9. Римановы координаты на поверхности | 442
|
§ 48. Полугеодезические (полярные, параллельные и декартовы) координаты на поверхности | 445
|
1. Угол между радиусом-вектором кривой и её направлением | 445
|
2. Геодезическая окружность | 445
|
3. Полярные координаты на поверхности | 446
|
4. Эквидистантное отображение поверхности на плоскость; общее выражение нормальных координат поверхности | 447
|
5.Метрическая форма в римановых координатах | 447
|
6. Геодезическая, как кратчайшая линия между двумя точками на поверхности | 448
|
7. Параллельные и декартовы координаты на поверхности | 449
|
§ 49. Геодезические линии на поверхностях вращения | 451
|
1. Уравнение Гаусса | 451
|
2. Уравнение Клеро | 452
|
3. Геодезические линии на поверхностях вращения | 454
|
4. Геодезические линии на круглом конусе | 456
|
5. Геодезические линии на однополостном гиперболоиде вращения | 457
|
6. Геодезические линии на эллипсоиде вращения | 461
|
7..Геодезические линии на торе | 463
|
§ 50. Дифференциальные инварианты Бельтрами и изотермические координаты на поверхности | 466
|
1. Первый диференциальный инвариант Бельтрами | 466
|
2. Выражение метрической формы поверхности через диференциальные инварианты координат; геометрический смысл первого диференциального инварианта | 468
|
3. Бельтрамиев дифференциальный инвариант вектора | 469
|
4. Второй бельтрамиев инвариант скалярной функции | 470
|
5. Выражение геодезической кривизны кривой в бельтрамиевых инвариантах | 471
|
6. Изотермические функции поверхности | 472
|
7.Изотермическая сеть | 474
|
8. Изотермическая сеть поверхности, развёртывающейся на поверхность вращения | 475
|
9. Метрическая форма поверхности, отнесённойк изотермической координатной сети; изотермические координаты | 476
|
10. Приведение метрической формыповерхности к изотермическому виду | 477
|
11. Дивергенция вектора | 479
|
§ 51. Геодезические линии на поверхностях Лиувилля | 480
|
1. Уравнения геодезических линий на поверхностях Лиувилля | 480
|
2. Применение к поверхностям вращения | 482
|
3. Уравнение геодезических линий на трёхосном эллипсоиде | 483
|
4. Типы геодезических линий на эллипсоиде | 484
|
5. Геодезические линии на эллипсоиде, проходящие через его круговые (омбилические) точки | 486
|
6. Выражение элемента длины на эллипсоиде в некоторых специальных случаях | 487
|
7. Геодезические эллипсы и гиперболы на эллипсоиде | 489
|
Содержание второй части | 492
|
Литература | 498
|
Именной указатель | 506
|
Предметный указатель | 507
|