Обложка Фреге Г. Основоположения арифметики: Логико-математическое исследование о понятии числа. Пер. с нем.
Id: 265066
699 руб.

Основоположения арифметики:
Логико-математическое исследование о понятии числа. Пер. с нем. № 37. Изд. 2

URSS. 2021. 200 с. ISBN 978-5-9710-8029-9.
  • Твердый переплет
Белая офсетная бумага.

Аннотация

Вниманию читателей предлагается классическая работа выдающегося немецкого логика, математика и философа Готлоба Фреге «Основоположения арифметики». В ней решается проблема выражения с помощью собственно логических терминов основного арифметического понятия. Критикуя в данной работе предшествующие способы обоснования чисел — от психологизируюшего реализма до формализма, — немецкий логик основывает свое исследование на специфике структуры ...(Подробнее)понятия, рассматривая число как отражение особенностей этой структуры. Число предстает как свойство понятия, которое далеко отстоит как от психологической ассоциации представлений, так и от простого оперирования значками. Сведение числа к свойству понятия позволило, во-первых, рассмотреть способы рассуждения, ранее считавшиеся сугубо математическими (например, принцип математической индукции), как разновидность логического метода получения следствий. Во-вторых, это сведение позволило объяснить природу трансфинитных и комплексных чисел, существование которых казалось парадоксальным. Таким образом, арифметика получала столь необходимое ей достоверное основание, которое связывалось с очевидностью логического знания.

Издание рекомендуется научным работникам, преподавателям, аспирантам и студентам, изучающим математическую логику, философию и историю математики, а также широкому кругу читателей, интересующихся проблемами математической логики.


Содержание
Логицистская программа Г. Фреге (В. А. Суровцев)12
От переводчика (В. А. Суровцев)20
Введение22
§ 1. В последнее время в математике заметно справедливое стремление к строгости доказательства и точному схватыванию понятия34
§ 2. Наконец проверка должна распространиться и до понятия числа. Цель доказательства35
§ 3. Философские мотивы для такого исследования: спорность вопроса о том, являются ли законы чисел аналитическими или синтетическими, априорными или апостериорными истинами. Смысл этих выражений36
§ 4. Задача этой книги39
Глава 1 Мнения отдельных авторов о природе арифметических предложений41
1.1. Доказуемы ли числовые формулы?41
§ 5. Кант отрицает то, что Ханкель справедливо называет парадоксом41
§ 6. Доказательство 2 + 2 = 4 у Лейбница содержит пробел. Определение Грассманом a + b ошибочно43
§ 7. Мнение Милля о том, что определения отдельных чисел, из которых вытекает счёт, утверждают наблюдаемые факты, необоснованно45
§ 8. Для оправдания этих определений не требуется наблюдения таких фактов48
1.2. Являются ли законы арифметики индуктивными истинами?50
§ 9. Законы природы у Милля. Называя законами природы арифметические истины, Милль смешивает последние с их применением50
§ 10. Доводы против того, что законы сложения являются индуктивными истинами: неоднородность чисел; в определениях мы ещё не обладаем множеством общих свойств чисел; напротив, вероятно, индукция основывается на арифметике52
§ 11. Выражение Лейбница «врождена»56
1.3. Являются законы арифметики априорно синтетическими или же аналитическими?56
§ 12. Кант. Бауман. Липшиц. Ханкель. Внутреннее созерцание как основание познания56
§ 13. Различие арифметики и геометрии59
§ 14. Сравнение истин в отношении управляемой ими области60
§ 15. Воззрения Лейбница и Ст. Джевонса61
§ 16. Милль, напротив, умаляет «искусное пользование словами». Знаки пусты не потому, что они не обозначают чего-то чувственно зримого62
§ 17. Недостаточность индукции. Предположение о том, что законы чисел являются аналитическими; в чём тогда заключается их польза. Ценность аналитических суждений64
Глава 2 Мнения отдельных авторов о понятии числа67
§ 18. Необходимость исследовать общее понятие числа67
§ 19. Определение не может быть геометрическим68
§ 20. Определимо ли число? Ханкель. Лейбниц69
2.1. Является ли число свойством внешних вещей?70
§ 21. Мнения М. Кантора и Э. Шрёдера70
§ 22. Мнение Баумана противоположно: Внешние вещи не представляют строгих единиц. По-видимому, число зависит от нашего понимания71
§ 23. Мнение Милля о том, что число является свойством агломерата вещей, непрочно73
§ 24. Обширная применимость числа. Милль. Локк. Бестелесная метафизическая фигура у Лейбница. Если число являлось бы чем-то чувственным, оно не могло бы быть присуще нечувственному74
§ 25. Физическое различие между 2 и 3 у Милля. Согласно Беркли, число не есть реальное в вещах, но является созданием духа77
2.2. Является ли число чем-то субъективным?78
§ 26. Описание числообразования у Липшица не подходит и не может заменить определение понятия. Число является не предметом психологии, но чем-то объективным78
§ 27. Число не является представлением места объекта в ряду, как хочет Шлёмильх82
2.3. Число как множество84
§ 28. Тома о придании имени84
Глава 3 Мнения о единице и один86
3.1. Выражает ли числительное «один» свойство предметов?86
§ 29. Многозначность выражений «?????» и единица. Объяснение Э. Шрёдером единицы как подлежащего счёту предмета, по-видимому, бесцельно. Прилагательное «один» не содержит более близкого определения и не может служить в качестве предиката86
§ 30. После попытки определения Лейбница и Баумана понятие единицы кажется совершенно расплывчатым88
§ 31. Признак неделимости и отграниченности у Баумана. Идея единицы не даётся нам каждым объектом (Локк)89
§ 32. Язык всё же указывает на связь с неделимостью и отграниченностью, однако, при этом изменяется смысл90
§ 33. Нераздельность (Г. Кёпп) — неустойчивый признак единицы91
3.2. Равны ли единицы друг другу?92
§ 34. Равенство, как основание имени «единица». Э. Шрёдер. Гоббс. Юм. Тома. Понятие числа не возникает абстрагированием от различия вещей, и благодаря ему вещи не становятся равными92
§ 35. Если речь должна идти о множественности, различие даже необходимо. Декарт. Э. Шрёдер. Ст. Джевонс94
§ 36. Точка зрения на различие единиц также наталкивается на затруднения. Различие однёрок у Ст. Джевонса95
§ 37. Объяснение числа с точки зрения единицы или однёрки у Локка, Лейбница и Хессе97
§ 38. «Однёрка» является собственным именем, «единица» — понятийным словом. Число нельзя определить в качестве единиц. Различие «и» и +98
§ 39. Трудность, примирить равенство единиц с их различимостью, скрыта многозначностью слова «единица»100
3.3. Попытки преодолеть затруднение102
§ 40. Пространство и время как средство различия. Гоббс. Тома. Противоположная точка зрения: Лейбниц, Бауман, Ст. Джевонс102
§ 41. Цель не достигается104
§ 42. Место в ряду как средство различия. Полагание у Ханкеля105
§ 43. Замещение предметов знаками 1 у Шрёдера106
§ 44. Джевонс об отвлечении от характера различия с удержанием его просто как факта. 0 и 1 являются числами, как и все остальные. Затруднение остаётся107
3.4. Решение затруднения110
§ 45. Ретроспективный взгляд110
§ 46. Указание на число содержит высказывание о понятии. Возражение, что у неизменного понятия число изменяется111
§ 47. Фактичность указания на число объясняется объективностью понятия113
§ 48. Разрешение некоторых затруднений114
§ 49. Подтверждение у Спинозы115
§ 50. Пояснение Э. Шрёдера116
§ 51. Исправление этого пояснения117
§ 52. Подтверждение, взятое из немецкого словоупотребления118
§ 53. Различие между признаками и свойствами понятия. Существование и число119
§ 54. Единицей можно назвать субъект указания на число. Нераздельность и отграниченность единицы. Равенство и различимость120
Глава 4 Понятие числа123
4.1. Каждое отдельное число является самостоятельным предметом123
§ 55. Попытка дополнить лейбницевские определения отдельных чисел123
§ 56. Пробные определения бесполезны, поскольку они объясняют высказывание, в котором число есть только составная часть124
§ 57. Указание на число следует рассматривать как равенство чисел125
§ 58. Возражение, связанное с непредставимостью числа как самостоятельного предмета. Число вообще не представимо126
§ 59. Предмет не исключается из исследования в результате того, что он непредставим127
§ 60. Даже конкретная вещь не всегда представима. Слово, когда спрашивается о его значении, необходимо рассматривать в предложении128
§ 61. Возражение, связанное с непространственностью числа. Не каждый объективный предмет является пространственным130
4.2. Чтобы получить понятие числа, необходимо установить смысл равенства чисел131
§ 62. Нам нужен критерий равенства чисел131
§ 63. Возможность однозначного соотнесения как такой критерий. Логическое сомнение, что равенство в данном случае объясняется особым образом132
§ 64. Примеры сходной процедуры: направление прямой, положение плоскости, контуры треугольника133
§ 65. Попытка определения. Второе сомнение: соблюдаются ли законы равенства135
§ 66. Третье сомнение: признак равенства недостаточен137
§ 67. Дополнение нельзя получить тем, что к признаку понятия добавляется способ, которым вводится предмет138
§ 68. Число как объём понятия139
§ 69. Комментарий141
4.3. Дополнение и проверка нашего определения142
§ 70. Понятие отношения142
§ 71. Отношение как средство соотнесения145
§ 72. Взаимно однозначное отношение. Понятие числа146
§ 73. Число, соответствующее понятию F, равно числу, соответствующему понятию G, если существует отношение, которое взаимно однозначно соотносит предметы, подпадающие под F, с предметами подпадающими под G148
§ 74. Ноль — это число, соответствующее понятию «неравное себе»149
§ 75. Ноль — это число, соответствующее понятию, под которое не подпадает ничего. Ни один предмет не подпадает под понятие, если ноль есть соответствующее ему число151
§ 76. Объяснение выражения «В натуральном ряду чисел n следует непосредственно за m»153
§ 77. 1 — это число, соответствующее понятию «равное 0»154
§ 78. Предложения, доказываемые посредством наших определений155
§ 79. Определение следования в ряду156
§ 80. Замечание к предыдущему. Объективность следования157
§ 81. Объяснение выражения «x принадлежит (-ряду, оканчивающемуся на y»159
§ 82. Набросок доказательства того, что не существует конечного члена натурального ряда чисел160
§ 83. Определение конечного числа. Ни одно конечное число не следует в натуральном ряду чисел за самим собой161
4.4. Бесконечные числа163
§ 84. Число, соответствующее понятию «конечное число», является бесконечным163
§ 85. Бесконечные числа Кантора; «мощность». Различия в терминологии164
§ 86. Следование в последовательности у Кантора и моё следование в ряду165
Заключение167
§ 87. Природа арифметических законов167
§ 88. Недооценка аналитических суждений Кантом168
§ 89. Предложение Канта: «Без чувственности нам не был бы дан предмет». Заслуги Канта перед математикой169
§ 90. Для полного доказательства аналитической природы арифметических законов не достаёт цепи выводов, лишённой пробелов170
§ 91. Помочь этому недостатку может мой шрифт понятий172
Другие числа173
§ 92. Смысл вопроса о возможности чисел по Ханкелю173
§ 93. Числа не являются ни пространственными, внешними нам, ни субъективными174
§ 94. Отсутствие противоречия в понятии не гарантирует, что под него нечто подпадает, и само требует доказательства175
§ 95. (c – b) не может безоговорочно рассматриваться как знак, решающий задачу на вычитание176
§ 96. Математик не может также создать нечто произвольное177
§ 97. Понятия следует отличать от предметов179
§ 98. Объяснение сложения Ханкелем179
§ 99. Недостаточность формальной теории180
§ 100. Попытка обосновать комплексные числа расширением значения умножения особым способом181
§ 101. Возможность такого обоснования не равносильно доказательству182
§ 102. Голое требование, что операция должна выполняться, не является его исполнением183
§ 103. Объяснение комплексных чисел Коссаком есть лишь руководство к определению и не избегает вмешательства чуждого. Геометрическое изображение184
§ 104. Всё зависит от того, чтобы установить смысл суждения отождествления для новых чисел186
§ 105. Очарование арифметики заключается в её разумном характере188
§ 106–109. Ретроспективный взгляд188

Об авторе
Фреге Готлоб
Выдающийся немецкий логик, математик и философ. Родился в г. Висмар, в семье директора школы. Образование получил в университете Йены, а затем в Геттингенском университете, где в 1873 г. защитил диссертацию на ученую степень доктора философии. После защиты диссертации вернулся в Йену, в 1875 г. получил место приват-доцента в Йенском университете. В 1879 г. стал экстраординарным, в 1896 г. — ординарным профессором математики. В общей сложности Фреге преподавал в Йенском университете в течение 44 лет, читая курсы лекций по различным математическим дисциплинам — аналитической геометрии, высшей алгебре, теории функций, теории чисел и др., а с 1883 г. также по логико-математической тематике. Его взгляды повлияли на известных философов Р. Карнапа и Л. Витгенштейна, которые в 1910–1914 гг. слушали его лекции об исчислении понятий.

Вклад Фреге в логику по своему значению сопоставим с логическим наследием Аристотеля, Курта Гёделя и Альфреда Тарского. Он по праву считается основателем современной формальной логики и изобретателем логической семантики. Его революционное сочинение «Исчисление понятий» (1879) положило начало новой эпохе в истории логики. Главным трудом Г. Фреге стала работа «Основные законы арифметики» (т. 1–2, 1893–1903), в которой он предложил систему формализованной арифметики на основе разработанного им расширенного исчисления предикатов, имея в виду обосновать тем самым идею о сводимости значительной части математики к логике. Его труды по логической семантике и анализу языка — «Функция и понятие» (1891), «Смысл и денотат» (1892), «Понятие и вещь» (1892) — в наше время признаны классическими.