Альсевич В.В. Введение в математическую экономику.
Книга 1: КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ. Кн. 1. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

В основу предлагаемого пособия положена книга: Альсевич В.В. "Математическая экономика: Конструктивная теория". Минск: Дизайн ПРО, 1998, допущенная Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов экономических специальностей высших учебных заведений.

Пособие написано на основе лекций, читаемых на факультете прикладной математики и информатики (ФПМИ) для студентов специальности "Экономическая кибернетика" и частично на экономическом факультете Белгосуниверситета. В нем излагаются основные вопросы математической экономики, затрагиваемые во многих известных книгах по рассматриваемому предмету. Однако предлагаемый подход существенно отличается от известных. Прежде всего, предполагается, что студенты имеют достаточно высокую математическую подготовку. При этом учитывается, что студенты, кроме чисто математической подготовки, владеют навыками реализации конструктивных методов на ЭВМ. На ФПМИ качественные вопросы математической экономики, связанные с общими понятиями, читаются в базовом курсе "Экономика". Поэтому в предлагаемом пособии основное внимание уделяется конструктивным вопросам, хотя параллельно приводятся некоторые положения общей теории. Основные результаты, связанные с экономическими вопросами, исследуются на базе математических моделей. Это позволяет широко использовать линейное программирование (ЛП).

В связи с тем, что основные алгоритмы решения задач математической экономики основаны главным образом на ЛП, то в качестве моделей рассматриваются линейные задачи экономики. Поскольку основное внимание в курсе уделяется конструктивным методам, то доказательства результатов качественного характера иногда приводятся не полностью.

В конце пособия приведены без доказательства сведения из различных разделов математики, которые необходимы для понимания материала основной части. Это позволит усвоить материал основной части и читателю, ранее не изучавшему математический материал, на котором основаны выводы основной части. В приложении большое внимание уделяется задачам ЛП, поскольку в данном пособии они рассматриваются не в традиционной форме, а в форме с двусторонними прямыми ограничениями. Достаточно большой объем приложения рассчитан на читателя, менее подготовленного по математике.

На протяжении всего пособия даются английские варианты некоторых основных понятий.

Автор выражает глубокую признательность и искреннюю благодарность профессору Р.Габасову за многочисленные ценные идеи, выдвинутые им при написании пособия, за обсуждение основных результатов, за постоянное внимание к работе; профессору А.И.Калинину, прочитавшему рукопись и высказавшему ценные замечания; профессору В.В.Гороховику, согласившемуся отрецензировать пособие и сделавшему ряд ценных критических замечаний и советов как по структуре пособия, так и по уточнению некоторых понятий и утверждений; сотрудникам кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета, обсудившим пособие и давшим на него рецензию; доценту Л.А.Альсевич, взявшей на себя нелегкий труд по подготовке рукописи к изданию и сделавшей ряд существенных замечаний.

По сравнению с указанным выше изданием в первой главе приведен ряд уточнений относительно функции полезности задачи производственного потребления, построенной по прибыли; приведено другое, достаточно простое, доказательство теоремы Слуцкого; дополнен раздел, посвященный эластичности спроса; приведены условия агрегации Энгеля и Курно. Для более полного ознакомления с общей теорией фирмы вторая глава дополнена некоторыми фактами из общей теории, которые отсутствовали в предыдущем издании. В этой же главе исправлены некоторые неточности, которые имелись в предыдущем издании; уточнены или приведены новые, более простые, алгоритмы нахождения точек переключения, минимальной цены на продукцию и максимальных цен на факторы производства, при которых производство не убыточно; приведено упрощенное нахождение показателей сравнительной статики теории фирмы. В четвертой главе представлена другая интерпретация модели Дж. фон Неймана. Приложение дополнено некоторыми положениями из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также устранены некоторые неточности.

Все замечания по данному пособию можно прислать на кафедру методов оптимального управления Белгосуниверситета: 220050,  г.Минск, пр. Ф.Скорины, 4.

Введение

1. Математическая экономика как самостоятельная дисциплина

Математическая экономика долгое время считалась не самостоятельной дисциплиной, а частью общей экономической теории. Да и в настоящее время многие авторы обращают на это внимание. Однако достижения математики, ее численных методов и их проникновение во все области человеческой деятельности, а в последнее время бурное применение вычислительной техники, привели к тому, что хороший экономист, будь он теоретиком или практиком, не может обойтись без свободного владения известными математическими методами и без их применения к экономическим процессам. Более того, проникновение математики в область экономики привело к возникновению новых научных направлений как в экономике, так и в самой математике. Поэтому это взаимообогащение двух областей человеческой деятельности и их интенсивное совместное развитие в последние годы дают полное право считать математическую экономику самостоятельной дисциплиной.

Под математической экономикой (mathematical economics) понимают дисциплину, в которой рассматриваются вопросы математического моделирования экономических процессов и применения математических методов к решению и анализу экономических задач.

К сожалению, до настоящего времени имелся большой разрыв между экономическим и математическим образованием: специалисты по экономике недостаточно глубоко изучали математические методы и, в частности, их применение в экономике. Одной из причин такого положения являлся тот факт, что до недавнего времени в экономике не решались серьезные оптимизационные задачи, поскольку использовался простейший принцип планирования – от достигнутого. Переход к рыночной экономике невозможен без специалистов, хорошо подготовленных как в экономике, так и в математическом отношении. Это и привело к открытию новых экономических специальностей на базе факультетов математической направленности, где студенты хорошо владеют математическим аппаратом.

2. Основные этапы становления математической экономики

Считается, что исторически впервые методы математического моделирования применены лейб-медиком короля Людовика XV доктором Ф.Кенэ (1694–1774) в 1758 г., когда он опубликовал первый вариант работы "Экономические таблицы" (второй вариант "Арифметическая формула" опубликован в 1766 г.). В этих работах он сделал попытку описать процесс общественного воспроизводства с применением математических методов исследования. Однако и эти исследования, и более поздние, в XIX в., сделанные К.Марксом при изучении закономерностей изменения прибавочной стоимости, прибыли, процессов простого и расширенного воспроизводства были попытками применить математические методы в политической экономии и играли второстепенную роль.

Более углубленное применение математических методов в экономике началось с работы французского ученого (математика, философа, историка, экономиста) О.Курно "Исследование о математических принципах теории богатств", вышедшей в 1838 г. Именно его считают родоначальником математической экономики. И к концу XIX в. складывается самостоятельное математическое направление в экономике. Видными представителями этого направления были Г.Госсен (1810–1859) в Германии, У.Джевонс (1835–1882) в Англии, Л.Вальрас (1834–1910) в Швейцарии, К.Менгер (1840–1921), Ф.Визер (1851–1926) в Австрии, Г.Кассель (1866–1944) в Швеции, Ф.Эджворт (1845–1926) в Англии, В.Парето (1848–1923) в Италии, В.К.Дмитриев (1868–1913) в России и др. Заметим, что многие их них относятся к так называемой неоклассической школе, проповедующей теорию предельной полезности (маржинализм, marginal utility – предельная полезность). Суть этой теории в том, что конкуренция устанавливает равновесие между производством и потреблением. Наиболее видным представителем неоклассической школы был Л.Вальрас, чья теория общего конкурентного равновесия в течение многих лет была основным движущим фактором в развитии математической экономики. Согласно этой теории основной критерий развития экономики – максимизация прибыли для производителя и максимизация полезности для потребителя.

Следует отметить и известного русского экономиста В.К.Дмитриева, основная работа которого "Экономические очерки. Опыт органического синтеза трудовой ценности и теории предельной полезности" опубликована в 1904 г. В своих исследованиях он сделал некоторые выводы, которые в 30-е годы XX в. были получены на основе анализа модели "затраты-выпуск" В.Леонтьевым, известным американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии, русским по происхождению.

Наконец, необходимо обратить внимание и на исследования известного русского ученого (математика, статистика, экономиста) Е.Е.Слуцкого (1880–1948), чей труд "К теории сбалансированного бюджета потребителя", опубликованный в Италии в 1915 г., можно считать основополагающим в теории спроса.

В XX в. продолжалось бурное внедрение математических методов в экономические процессы. Представляют интерес работы по построению и использованию производственных функций (ПФ). И хотя еще в начале века были предложены первые ПФ для анализа сельскохозяйственного производства США, однако возникновение теории ПФ принято относить к 1928 г. и связывать с именами американских ученых – математика Ч.Кобба и экономиста П.Дугласа, которые опубликовали статью "Теория производства". В ней сделана попытка на основе данных по обрабатывающей промышленности США за 1899–1922 гг. эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и трудовых ресурсов на объем выпускаемой продукции. В настоящее время ПФ Кобба–Дугласа широко применяется в научной литературе; кроме того, имеется обширная литература по другим видам ПФ.

В 1928 г. В.Рамсей предложил модель долгосрочного роста, которой предвосхитил проблемы оптимального роста, особенно широко исследуемые в настоящее время.

1932 г. ознаменован появлением многосекторной модели расширяющейся экономики Дж. фон Неймана, которая положила начало магистральной теории.

Как уже было сказано выше, неоценимый вклад в развитие математической экономики внес В.Леонтьев. В 1936 г. он опубликовал основные идеи модели "затраты-выпуск", основанные на модели экономического равновесия Л.Вальраса. В модели имеется лишь одно ограничение – на трудовые ресурсы. Цены же формируются таким образом, что дают нулевую прибыль, прибавочная стоимость отсутствует, а весь доход идет на зарплату. Если добавить ограничения и на капитал, то в его структуре появляется норма процента.

В 1936 г. появляется работа Д.М.Кейнса "Общая теория занятости, процента и денег", положившая начало кейнсианского направления в экономической науке, направленного против основ классической и неоклассической теорий равновесия. Его последователи разработали ряд макроэкономических моделей, в частности, это модели экономического роста Е.Домара и Р.Харрода.

В эти же годы появляются работы, посвященные доказательству существования решения систем уравнений общего равновесия. Эти вопросы до настоящего времени находятся в центре внимания экономико-математических исследований. Можно назвать ряд ученых, с чьими именами связаны доказательства существования общего равновесия для различных математических моделей экономики: А.Вальд, Мак Кензи, К.Эрроу, Г.Дебре, Х.Никайдо, Х.Удзава, С.Карлин.

Важное место в развитии математической экономики занимают работы советских ученых. В первую очередь следует назвать Л.В.Канторовича, чья работа "Математические методы организации и планирования производства", опубликованная в 1939 г., положила начало новому направлению в математической экономике – линейному программированию.

Дальнейшее развитие экономико-математические методы получили в работах Д.Хикса, П.Самуэльсона, Х.Хоутэккера, Д.Гейла, Р.Солоу, В.Л.Макарова, А.М.Рубинова, В.Л.Полтеровича и др.

В последние годы сформировались новые направления в математике – линейное программирование, теория оптимального управления, динамическое программирование, теория игр и др., – которые нашли широкое применение в экономических исследованиях.

В данном пособии не концентрируется внимание на политической борьбе между представителями разных школ в математической экономике. Каждый из них отстаивал ту или иную точку зрения на развитие экономических процессов, будь то модель плановой или децентрализованной экономики. Каждая из моделей имеет право на существование и имеет свою ценность. Поэтому в пособии рассматриваются различные модели безотносительно от политических пристрастий их авторов.

3. Участники экономики и их задачи. Предмет математической экономики

Слова "экономия", "экономика" и производные от них в переводе с греческого имеют смысл науки о ведении домашнего хозяйства. Отсюда основное содержание экономической науки составляют вопросы рационального (или оптимального) ведения хозяйства на различных уровнях: от самой мелкой хозяйственной единицы (отдельного индивидуума или семьи) до всей экономики страны в целом.

Одной из главных задач человека всю его сознательную жизнь во все времена было наиболее рациональное распределение важнейших доступных ему ресурсов для удовлетворения своих потребностей. Так и для любой хозяйственной единицы основная задача – оптимальное (наиболее выгодное) распределение ограниченных ресурсов для достижения поставленных целей. В связи с этим задача рационального ведения хозяйства с математической точки зрения может рассматриваться как некоторая задача оптимизации: найти такие значения некоторых переменных (доступных ограниченных ресурсов), которые доставляют максимум (или минимум) некоторой функции (математический идентификатор поставленной цели).

В зависимости от решаемой задачи рационального ведения хозяйства любая хозяйственная единица может выступать в той или иной роли. Таким образом, в зависимости от решаемых задач вся экономика любой страны состоит из множества организаций (иногда их называют экономическими институтами, чаще – участниками экономики). Обычно выделяют четырех наиболее типичных участников экономики: это – потребители, производители (фирмы), профессиональные союзы и правительственные организации. В настоящем пособии рассматриваются лишь первые два участника, от деятельности которых в основном зависит развитие экономики любой страны.

Под потребителями (consumers) (в узком смысле – домашними хозяйствами) понимаются отдельные лица или группы лиц, объединенные единым доходом и единой целью: рациональное распределение имеющегося дохода на потребление. Простейшим примером потребителя может служить отдельная семья. В более широком понимании в качестве потребителя рассматривают и хозяйственную единицу, производящую некоторую продукцию и решающую задачу рационального распределения доступных ей ресурсов при ограниченном наличии имеющихся у нее денежных средств (дохода) для покупки ресурсов.

Под производителем (producer) (в узком смысле – фирмой, firm) понимаются предприятия, производящие товары для продажи их другим производителям или потребителям и решающие задачу получения максимальной прибыли. Таким образом, примером производителя может быть любое предприятие, производящее какую-либо продукцию, продаваемую затем на рынке товаров.

Как видно из приведенных выше понятий, наряду с потребителями и производителями (фирмами) первичным объектом реальной экономики и, следовательно, любой простейшей математической модели экономики является товар, при отсутствии которого действия участников экономики теряют смысл. Под товаром (commodity, goods) в экономической литературе понимается любое благо (goods) или услуга (service), которое предназначено для продажи. Таким образом, фирма производит товары и продает их потребителям или другим фирмам.

Исходя из вышесказанного, экономику в целом можно рассматривать как науку о рациональной деятельности различных ее участников, а математическую экономику – как науку о математическом моделировании экономических процессов и применении математических методов для решения задач рационального ведения хозяйства различными участниками экономики.

Об авторе

Альсевич Виталий Викентьевич

Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры методов оптимального управления факультета прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета (БГУ).

Родился в 1945 г. в Поставском районе Витебской области (Беларусь). Закончил математический факультет БГУ. Научные интересы: исследование негладких задач оптимального управления, оптимизация динамических систем управления с последействием, применение математических методов к решению экономических задач. Автор монографии «Оптимизация динамических систем с запаздываниями» (2000) и учебных пособий: «Математическая экономика. Конструктивная теория» (1998); «Оптимизация линейных экономических моделей» (2000, в соавторстве с Р. Ф. Габасовым, В. С. Глушенковым); «Методы оптимизации: упражнения и задания» (2005, в соавторстве с В. В. Крахотко); «Методы оптимизации» (2011, в соавторстве с Р. Ф. Габасовым, Ф. М. Кирилловой, А. И. Калининым, В. В. Крахотко, Н. С. Павленок); «Введение в математическую экономику: Конструктивная теория» (М.: URSS, 2021) и «Введение в математическую экономику: Теория потребления» (М.: URSS, 2021).