| Логицистская программа Г. Фреге (В. А. Суровцев) | 12
|
| От переводчика (В. А. Суровцев) | 20
|
| Введение | 22
|
| § 1. В последнее время в математике заметно справедливое стремление к строгости доказательства и точному схватыванию понятия | 34
|
| § 2. Наконец проверка должна распространиться и до понятия числа. Цель доказательства | 35
|
| § 3. Философские мотивы для такого исследования: спорность вопроса о том, являются ли законы чисел аналитическими или синтетическими, априорными или апостериорными истинами. Смысл этих выражений | 36
|
| § 4. Задача этой книги | 39
|
| Глава 1 Мнения отдельных авторов о природе арифметических предложений | 41
|
| 1.1. Доказуемы ли числовые формулы? | 41
|
| § 5. Кант отрицает то, что Ханкель справедливо называет парадоксом | 41
|
| § 6. Доказательство 2 + 2 = 4 у Лейбница содержит пробел. Определение Грассманом a + b ошибочно | 43
|
| § 7. Мнение Милля о том, что определения отдельных чисел, из которых вытекает счёт, утверждают наблюдаемые факты, необоснованно | 45
|
| § 8. Для оправдания этих определений не требуется наблюдения таких фактов | 48
|
| 1.2. Являются ли законы арифметики индуктивными истинами? | 50
|
| § 9. Законы природы у Милля. Называя законами природы арифметические истины, Милль смешивает последние с их применением | 50
|
| § 10. Доводы против того, что законы сложения являются индуктивными истинами: неоднородность чисел; в определениях мы ещё не обладаем множеством общих свойств чисел; напротив, вероятно, индукция основывается на арифметике | 52
|
| § 11. Выражение Лейбница «врождена» | 56
|
| 1.3. Являются законы арифметики априорно синтетическими или же аналитическими? | 56
|
| § 12. Кант. Бауман. Липшиц. Ханкель. Внутреннее созерцание как основание познания | 56
|
| § 13. Различие арифметики и геометрии | 59
|
| § 14. Сравнение истин в отношении управляемой ими области | 60
|
| § 15. Воззрения Лейбница и Ст. Джевонса | 61
|
| § 16. Милль, напротив, умаляет «искусное пользование словами». Знаки пусты не потому, что они не обозначают чего-то чувственно зримого | 62
|
| § 17. Недостаточность индукции. Предположение о том, что законы чисел являются аналитическими; в чём тогда заключается их польза. Ценность аналитических суждений | 64
|
| Глава 2 Мнения отдельных авторов о понятии числа | 67
|
| § 18. Необходимость исследовать общее понятие числа | 67
|
| § 19. Определение не может быть геометрическим | 68
|
| § 20. Определимо ли число? Ханкель. Лейбниц | 69
|
| 2.1. Является ли число свойством внешних вещей? | 70
|
| § 21. Мнения М. Кантора и Э. Шрёдера | 70
|
| § 22. Мнение Баумана противоположно: Внешние вещи не представляют строгих единиц. По-видимому, число зависит от нашего понимания | 71
|
| § 23. Мнение Милля о том, что число является свойством агломерата вещей, непрочно | 73
|
| § 24. Обширная применимость числа. Милль. Локк. Бестелесная метафизическая фигура у Лейбница. Если число являлось бы чем-то чувственным, оно не могло бы быть присуще нечувственному | 74
|
| § 25. Физическое различие между 2 и 3 у Милля. Согласно Беркли, число не есть реальное в вещах, но является созданием духа | 77
|
| 2.2. Является ли число чем-то субъективным? | 78
|
| § 26. Описание числообразования у Липшица не подходит и не может заменить определение понятия. Число является не предметом психологии, но чем-то объективным | 78
|
| § 27. Число не является представлением места объекта в ряду, как хочет Шлёмильх | 82
|
| 2.3. Число как множество | 84
|
| § 28. Тома о придании имени | 84
|
| Глава 3 Мнения о единице и один | 86
|
| 3.1. Выражает ли числительное «один» свойство предметов? | 86
|
| § 29. Многозначность выражений «?????» и единица. Объяснение Э. Шрёдером единицы как подлежащего счёту предмета, по-видимому, бесцельно. Прилагательное «один» не содержит более близкого определения и не может служить в качестве предиката | 86
|
| § 30. После попытки определения Лейбница и Баумана понятие единицы кажется совершенно расплывчатым | 88
|
| § 31. Признак неделимости и отграниченности у Баумана. Идея единицы не даётся нам каждым объектом (Локк) | 89
|
| § 32. Язык всё же указывает на связь с неделимостью и отграниченностью, однако, при этом изменяется смысл | 90
|
| § 33. Нераздельность (Г. Кёпп) — неустойчивый признак единицы | 91
|
| 3.2. Равны ли единицы друг другу? | 92
|
| § 34. Равенство, как основание имени «единица». Э. Шрёдер. Гоббс. Юм. Тома. Понятие числа не возникает абстрагированием от различия вещей, и благодаря ему вещи не становятся равными | 92
|
| § 35. Если речь должна идти о множественности, различие даже необходимо. Декарт. Э. Шрёдер. Ст. Джевонс | 94
|
| § 36. Точка зрения на различие единиц также наталкивается на затруднения. Различие однёрок у Ст. Джевонса | 95
|
| § 37. Объяснение числа с точки зрения единицы или однёрки у Локка, Лейбница и Хессе | 97
|
| § 38. «Однёрка» является собственным именем, «единица» — понятийным словом. Число нельзя определить в качестве единиц. Различие «и» и + | 98
|
| § 39. Трудность, примирить равенство единиц с их различимостью, скрыта многозначностью слова «единица» | 100
|
| 3.3. Попытки преодолеть затруднение | 102
|
| § 40. Пространство и время как средство различия. Гоббс. Тома. Противоположная точка зрения: Лейбниц, Бауман, Ст. Джевонс | 102
|
| § 41. Цель не достигается | 104
|
| § 42. Место в ряду как средство различия. Полагание у Ханкеля | 105
|
| § 43. Замещение предметов знаками 1 у Шрёдера | 106
|
| § 44. Джевонс об отвлечении от характера различия с удержанием его просто как факта. 0 и 1 являются числами, как и все остальные. Затруднение остаётся | 107
|
| 3.4. Решение затруднения | 110
|
| § 45. Ретроспективный взгляд | 110
|
| § 46. Указание на число содержит высказывание о понятии. Возражение, что у неизменного понятия число изменяется | 111
|
| § 47. Фактичность указания на число объясняется объективностью понятия | 113
|
| § 48. Разрешение некоторых затруднений | 114
|
| § 49. Подтверждение у Спинозы | 115
|
| § 50. Пояснение Э. Шрёдера | 116
|
| § 51. Исправление этого пояснения | 117
|
| § 52. Подтверждение, взятое из немецкого словоупотребления | 118
|
| § 53. Различие между признаками и свойствами понятия. Существование и число | 119
|
| § 54. Единицей можно назвать субъект указания на число. Нераздельность и отграниченность единицы. Равенство и различимость | 120
|
| Глава 4 Понятие числа | 123
|
| 4.1. Каждое отдельное число является самостоятельным предметом | 123
|
| § 55. Попытка дополнить лейбницевские определения отдельных чисел | 123
|
| § 56. Пробные определения бесполезны, поскольку они объясняют высказывание, в котором число есть только составная часть | 124
|
| § 57. Указание на число следует рассматривать как равенство чисел | 125
|
| § 58. Возражение, связанное с непредставимостью числа как самостоятельного предмета. Число вообще не представимо | 126
|
| § 59. Предмет не исключается из исследования в результате того, что он непредставим | 127
|
| § 60. Даже конкретная вещь не всегда представима. Слово, когда спрашивается о его значении, необходимо рассматривать в предложении | 128
|
| § 61. Возражение, связанное с непространственностью числа. Не каждый объективный предмет является пространственным | 130
|
| 4.2. Чтобы получить понятие числа, необходимо установить смысл равенства чисел | 131
|
| § 62. Нам нужен критерий равенства чисел | 131
|
| § 63. Возможность однозначного соотнесения как такой критерий. Логическое сомнение, что равенство в данном случае объясняется особым образом | 132
|
| § 64. Примеры сходной процедуры: направление прямой, положение плоскости, контуры треугольника | 133
|
| § 65. Попытка определения. Второе сомнение: соблюдаются ли законы равенства | 135
|
| § 66. Третье сомнение: признак равенства недостаточен | 137
|
| § 67. Дополнение нельзя получить тем, что к признаку понятия добавляется способ, которым вводится предмет | 138
|
| § 68. Число как объём понятия | 139
|
| § 69. Комментарий | 141
|
| 4.3. Дополнение и проверка нашего определения | 142
|
| § 70. Понятие отношения | 142
|
| § 71. Отношение как средство соотнесения | 145
|
| § 72. Взаимно однозначное отношение. Понятие числа | 146
|
| § 73. Число, соответствующее понятию F, равно числу, соответствующему понятию G, если существует отношение, которое взаимно однозначно соотносит предметы, подпадающие под F, с предметами подпадающими под G | 148
|
| § 74. Ноль — это число, соответствующее понятию «неравное себе» | 149
|
| § 75. Ноль — это число, соответствующее понятию, под которое не подпадает ничего. Ни один предмет не подпадает под понятие, если ноль есть соответствующее ему число | 151
|
| § 76. Объяснение выражения «В натуральном ряду чисел n следует непосредственно за m» | 153
|
| § 77. 1 — это число, соответствующее понятию «равное 0» | 154
|
| § 78. Предложения, доказываемые посредством наших определений | 155
|
| § 79. Определение следования в ряду | 156
|
| § 80. Замечание к предыдущему. Объективность следования | 157
|
| § 81. Объяснение выражения «x принадлежит (-ряду, оканчивающемуся на y» | 159
|
| § 82. Набросок доказательства того, что не существует конечного члена натурального ряда чисел | 160
|
| § 83. Определение конечного числа. Ни одно конечное число не следует в натуральном ряду чисел за самим собой | 161
|
| 4.4. Бесконечные числа | 163
|
| § 84. Число, соответствующее понятию «конечное число», является бесконечным | 163
|
| § 85. Бесконечные числа Кантора; «мощность». Различия в терминологии | 164
|
| § 86. Следование в последовательности у Кантора и моё следование в ряду | 165
|
| Заключение | 167
|
| § 87. Природа арифметических законов | 167
|
| § 88. Недооценка аналитических суждений Кантом | 168
|
| § 89. Предложение Канта: «Без чувственности нам не был бы дан предмет». Заслуги Канта перед математикой | 169
|
| § 90. Для полного доказательства аналитической природы арифметических законов не достаёт цепи выводов, лишённой пробелов | 170
|
| § 91. Помочь этому недостатку может мой шрифт понятий | 172
|
| Другие числа | 173
|
| § 92. Смысл вопроса о возможности чисел по Ханкелю | 173
|
| § 93. Числа не являются ни пространственными, внешними нам, ни субъективными | 174
|
| § 94. Отсутствие противоречия в понятии не гарантирует, что под него нечто подпадает, и само требует доказательства | 175
|
| § 95. (c – b) не может безоговорочно рассматриваться как знак, решающий задачу на вычитание | 176
|
| § 96. Математик не может также создать нечто произвольное | 177
|
| § 97. Понятия следует отличать от предметов | 179
|
| § 98. Объяснение сложения Ханкелем | 179
|
| § 99. Недостаточность формальной теории | 180
|
| § 100. Попытка обосновать комплексные числа расширением значения умножения особым способом | 181
|
| § 101. Возможность такого обоснования не равносильно доказательству | 182
|
| § 102. Голое требование, что операция должна выполняться, не является его исполнением | 183
|
| § 103. Объяснение комплексных чисел Коссаком есть лишь руководство к определению и не избегает вмешательства чуждого. Геометрическое изображение | 184
|
| § 104. Всё зависит от того, чтобы установить смысл суждения отождествления для новых чисел | 186
|
| § 105. Очарование арифметики заключается в её разумном характере | 188
|
| § 106–109. Ретроспективный взгляд | 188
|
Фреге Готлоб