Фосс А. Сущность математики.
Пер. с нем. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие ко второму изданию

Я охотно пошел навстречу желанию издательства В. G.Teubner выпустить новым изданием мое сочинение "О сущности математики", так как это дало мне возможности устранить некоторые погрешности, исключить несущественное и зато изложить более пространно вопросы, затронутые прежде слишком кратко или вовсе не затронутые. Надеюсь, что и в новом своем виде книга будет способствовать пробуждению интереса к более общим вопросам математики и углублению их понимания. Для этой цели мне казалось особенно пригодным трактование, в котором развитие абстрактных идей идет рука-об-руку с очерком их исторического возникновения и с указанием на главнейшие источники.

Мюнхен, декабрь 1912 г.

От переводчика

В своем предисловии автор черезчур скромно характеризует работу, произведенную им для второго издания своего труда. На самом деле им не только тщательно просмотрена вся книга, но и внесены в нее многочисленные дополнения, в том числе обширное дополнение об основаниях механики и принципе относительности и заново написанное пространное изложение теории множеств. В итоге книга выросла более, чем на четверть, и специально число примечаний возросло с 130 до 164.

Перевод, впервые выпущенный в 1911 г. издательством "Физика", ныне нами тщательно сверен с оригиналом и дополнен согласно второму его изданию. При этом исправлены замеченные погрешности перевода, а библиография по возможности дополнена указаниями на русскую литературу предмета. Добавления переводчика, для отличия, все заключены в квадратные скобки.

Петроград, сентябрь 1919 г

Отрывок из книги

Нынешнюю нашу эпоху обычно называют веком естественных наук и техники. Название вполне правильное Представим себе только колоссальные приобретения нашего времени! Мы видим их повсюду, – в наших строительных сооружениях, для которых нет ничего слишком большого, в наших открытиях, которые доставляют нам господство над силами природы, в удивительных вспомогательных средствах физики, создаваемых ею в неустанном стремлении к все более утонченным методам, в могучих успехах химии, которая даже синтез наиболее сложных органических соединений не относит уже к области невозможного, в развитии астрономии, которая в состоянии с достаточной точностью предсказать изменения в расположении небесных тел даже для очень отдаленных времен.

Это стремление нашего времени подчинить материальную действительность господству духа сказывается по двум различным направлениям. Одно направление, дар технической изобретательности, проявляется, напр., в различных (отраслях химии, в конструировании машин, в фотографии, в применении электричества и накладывает свою печать на всю нашу социальную жизнь. Но как-бы высоко мы ни ценили эту творческую силу изобретения в интересах нашей материальной культуры, мы все-таки поставим еще выше интеллектуальное проникновение в весь мир явлений, являющееся целью всех точных естественных наук.

Более обстоятельное описание этой цели не входит здесь в мои задачи. Но есть нечто одно, что одинаково объемлет все стремления, направленные на более глубокое понимание действительности. Это есть математика. Что стал бы делать инженер без этой науки, которая единственно дает ему возможность заранее вычислить пригодность и действие его конструкций? Что стал бы делать без нее геодезист, когда без помощи математики было бы немыслимо прокладывать наши туннели, тянущиеся на протяжении многих верст через целые горные массивы? А во что превратилась бы физика или астрономия, которые в теоретических своих частях представляют, в сущности, только приложение математики? Наконец, даже химический анализ заимствует теперь свои наиболее глубокие исследования из области математической абстракции!

Этих кратких замечаний должно быть достаточно для обоснования утверждения, что вся наша современная культура, поскольку она покоится на духовном уяснении и подчинении себе природы, имеет подлинной своей основой математические науки. Это убеждение настолько неотразимо и сильно, что большинство образованных людей в своем преклонении перед математикой доходит чуть ли не до переоценки ее значения. Это выражается не только в том, что за математикой признают все большую ценность, как за средством образования и воспитания нашего юношества, это выражено и в мыслях наших величайших умов. Галилей в следующих выражениях намечает основные черты новой эпохи в познавании природы: "Истинную философию вещает нам природа: но понять ее может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, при помощи которых она говорит с нами. Но этот язык есть математика, а знаки эти суть математические фигуры". А из-под пера Канта вышли следующие неоднократно цитированные слова: "Я утверждаю, что в каждой отдельной естественной науке можно найти собственно науку лишь постольку, поскольку в ней можно найти математику".

При всем том математика, это произведение человеческого ума, с которым никакое другое не может сравниться по древности, математика, зачатки которой несомненно восходят за шесть тысяч лет до наших дней, все еще является наименее популярной из всех наук! Правда, всякая истинная наука по существу своему обречена на непопулярность. Ее нельзя постигнуть легким путем случайного чтения, для этого требуется долгая неутомимая работа. Но в то время, как всякий сколько-нибудь разносторонне образованный человек, вообще говоря, более или менее ориентируется в наиболее выдающихся прочих областях знания, в физике, астрономии, описательных естественных науках, а также в языкознании, истории философии и в процессе мирового исторического развития, и может с большим или меньшим успехом: осмысленно следить за прогрессом этих наук, – по отношению к математике вообще приходится констатировать поразительно слабое понимание, которое совершенно не согласуется с выше отмеченным общим признанием ее ценности, а в иных случаях прямо граничит с невероятным пренебрежением. Как часто приходится слышать даже от умственно высоко развитых людей о непреодолимой антипатии, с которой они относятся к применению математических формул; как часто приходится сталкиваться с вопросом: чем собственно занимается математика? Каким образом она играет в нашей культуре ту выдающуюся роль, какая фактически все же выпала на ее долю?

Причина такого непонимания того, в чем собственно состоит сущность математики, отчасти, конечно, заключается в трудности математических изысканий, требующих, в виду своего абстрактного характера, упорного интенсивного и непрерывного умственного труда, для которого занятой человек нелегко может найти необходимый досуг. Но наше воспитание тоже не мало повинно здесь. Только самая ничтожная часть математики составляет предмет преподавания в наших средних учебных заведениях, в то время как исторические и словесные науки проходятся по обширной программе, которую к тому же представляется много возможностей расширить и в дальнейшей жизни. Преподавание математики в наших школах, напротив, давно уже ведется по неизменной программе, которая, быть-может, весьма пригодна для логического развития и для приобретения практических знаний, но не дает никакого представления о глубине воззрений, характеризующей, начиная с XVIII столетия, математические изыскания, – она, вообще говоря, обнимает только замкнутую и непосредственно, повидимому, не поддающуюся расширению область учений, которые известны под именем элементарной математики.

В таком случае совершенно понятно, почему лишь очень немногие подозревают о том, что за этой школьной математикой, которая в действительности только поверхностному наблюдению представляется столь законченной, возвышается несказанно грандиозное создание человеческого духа, чистейший и подлиннейший продукт духовной деятельности, который с древнейших времен разрабатывается с поразительнейшим остроумием, постоянно находится в стадии громадного развития и непрерывно обогащается новыми и непреходящими истинами.

Но когда ставят вопрос о сущности математики, то обыкновенно ответ гласит, что это дано уразуметь только посвященным. Пусть это правильно не только для математики, но mutatis mutandis для всякой науки, но ведь все же должно быть возможно сколько-нибудь доступное описание содержания, целей и характерных методов математики, хотя бы в самых общих их чертах. Мы ставим поэтому вопрос: в чем собственно состоит сущность математики? Почему мы усматриваем в ней единственный пример науки, высказывающей познание в аподиктической форме, какова та основа, на которой это достигается, и, в частности, что дало последнее столетие развитию математики в этом, если позволено будет так выразиться, теоретико-познавательном отношении?

Об авторе