Журавлёв В.Ф.Ак★, Розенблат Г.М. Системы с качением.
Неголономные связи. Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В.Мещерского. Кн. 6. Изд. стереотип.

Оглавление

Введение

Механика, как научная дисциплина, до Ж.Лагранжа считалась разделом физики. Ж.Лагранж был первым, кто ввел понятие связей в механике, определив их как некие математические функции, связывающие время, декартовы координаты и, вообще говоря, скорости системы материальных точек. Это позволило существенно уменьшить число независимых координат в динамических задачах механики, привело к фундаментальному понятию обобщенных координат системы связанных материальных точек и преобразовало механику, отчасти, в раздел математики, который и стал называться аналитической механикой Ньютона–Лагранжа. Задачи механики, связанные с качением твердых тел и наличием неголономных связей, уже давно являются неотъемлемым разделом аналитической (теоретической) механики. Здесь достаточно упомянуть фундаментальные (ставшие уже классическими) трактаты Э.Дж.Рауса, П.Аппеля, А.Г.Вебстера, Л.А.Парса, Г.К.Суслова. Кроме того, совсем недавно вышли в свет учебники  и, которые соответствуют курсам теоретической механики, читаемым в МФТИ и на механико-математическом факультете МГУ им.М.В.Ломоносова в настоящее время. Таким образом, учебно-методическая и общеобразовательная ценность таких задач в подготовке специалистов-механиков и квалифицированных инженеров не вызывает сомнений. Подробным решениям этих задач из  сборника И.В.Мещерского  посвящена глава 1 настоящей книги, которая предназначена для студентов вузов, изучающих соответствующие разделы теоретической механики. Авторы надеются, что эти решения будут полезны также и для преподавателей теоретической механики, использующих соответствующие задачи в учебном процессе. Отметим, что этот параграф 50 в многочисленных переизданиях упомянутого сборника  появился, начиная с 1986 года, только благодаря стараниям проф.Н.А.Фуфаева (1920–1996 гг.), который являлся известным педагогом и ученым в области теоретической и прикладной механики. Основные научные результаты Н.А.Фуфаева в области теории качения твердых тел и неголономных связей опубликованы в его монографиях с соавторами. Сам Н.А.Фуфаев эти три монографии называл новыми направлениями в науке. С этими словами трудно не согласиться, учитывая как обширное количество ссылок на эти книги в широком спектре научно-технической и методической литературе, так и актуальность и глубину анализа рассматриваемых в них задач.

Однако следует иметь в виду, что постановки задач сборника  основаны на следующих двух умозрительных ("синтетических") предположениях:

1) контакт в области соприкосновения тел является точечным,

2) проскальзывание в точке контакта отсутствует вовсе или в определенном направлении (частичное проскальзывание).

Первое предположение позволяет использовать при решении задач математический аппарат дифференциальной геометрии, а второе позволяет понизить порядок дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы, за счет использования соответствующих неголономных (дифференциальных) соотношений связей для условий отсутствия проскальзывания. Вопросы о реализации таких связей, получающихся в результате естественных предельных переходов в общих уравнениях динамики, рассматривались в работах В.В.Козлова (см., например, обзорную монографию). Однако, как показано в главе 2, постановки задач качения твердых тел, в условиях упомянутых двух предположений, не являются корректными в смысле Адамара. Напомним, что корректность математической постановки задачи по Адамару требует соблюдения следующих трех условий.

Задача должна иметь решение. Это решение должно определяться однозначно. При достаточно малом изменении параметров задачи, это решение также должно изменяться достаточно мало.

В главе 2 на простейшем примере неголономного качения однородного шара по горизонтальной плоскости установлено, что эти условия всегда нарушаются. Кроме того, ясно, что практическая ценность и полезность указанных предположений требует обоснования. Действительно, в реальных условиях для реальных тел (в частности, колес) контакт отнюдь не является точечным, а отсутствие проскальзывания должно обеспечиваться соответствующими силами сухого трения (сцепления), которые при наличии как угодно малой угловой скорости верчения тела (т.е. наличия вращения тела по вертикали) приобретают характер сил вязкого трения и могут быть значительно меньше соответствующих кулоновских сил сухого трения (подробнее по этому поводу см. монографию). Критическому анализу этих и подобных вопросов посвящена глава 2 настоящей книги. Кроме того, в этой главе приведены и обсуждаются основные определения для различного вида связей в аналитической механике, что делает ее полезной и доступной также и для студентов вузов. В основном же глава 2 предназначена для специалистов и преподавателей теоретической механики, для которых она (как на это надеются авторы) может оказаться полезной.

В заключение отметим, что результаты глав 1, 2 настоящей книги были доложены авторами на заседании Научно-методического совета по теоретической механике при Министерстве образования и науки Российской Федерации (январь, 2012 года) под председательством проф.Ю.Г.Мартыненко. Результаты п.1.2 главы 1 в сокращенном виде опубликованы в работе. Результаты пп.2.1, 2.2 главы 2 были доложены В.Ф.Журавл\"евым на 12Нй Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (конференция Е.С.Пятницкого), 5–8 июня 2012 года, Москва, Россия, а также опубликованы в статье.

Об авторах

Журавлёв Виктор Филиппович

Академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор. Главный научный сотрудник Института проблем механики имени А. Ю. Ишлинского РАН (ИПМех РАН). Лауреат премии Ленинского комсомола и Государственной премии РФ. Лауреат премии имени академика А. Ю. Ишлинского за 2016 год за цикл работ в области гироскопических и навигационных систем.

Розенблат Григорий Маркович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ).