Предисловие |
Глава I. | Квазилинейные колебания с одной степенью свободы |
| § 1. | Идея метода Пуанкаре. Малый параметр |
| § 2. | Колебания неавтономной системы вдали от резонанса |
| § 3. | Колебания неавтономной системы при резонансе. Условия существования периодического решения |
| § 4. | Колебания неавтономной системы при резонансе. Вычисление периодического решения |
| § 5. | Приложение к теории регенеративного приемника |
| § 6. | Приложение к задаче Дюффинга |
| § 7. | Резонанс n-го рода |
| § 8. | Примеры резонанса n-го рода |
| § 9. | Автономные системы. Условия существования периодических решений |
| § 10. | Вычисление периодических решений для автономной системы |
| § 11. | Фазовая плоскость для системы, рассмотренной в предыдущем параграфе. Предельные циклы. Автоколебания |
| § 12. | Автоколебания лампового генератора |
| § 13. | Задача устойчивости периодических движений |
| § 14. | Устойчивость периодических движений автономных систем. Приложение к теории автоколебаний лампового генератора |
| § 15. | Устойчивость периодических движений неавтономных систем |
| § 16. | Устойчивость колебаний, рассмотренных в |
| §§ 5 и 6 |
| § 17. | Системы с неаналитической характеристикой нелинейности |
Глава II. | Периодические колебания квазилинейных систем со многими степенями свободы |
| § 1. | Линейные уравнения с постоянными коэффициентами |
| § 2. | Периодические решения однородных линейных систем с посто- янными коэффициентами |
| § 3. | Сопряженные системы. Приведение линейных уравнений с постоянными коэффициентами к каноническому виду |
| § 4. | Периодические решения неоднородных линейных систем с постоянными коэффициентами |
| § 5. | Колебания неавтономных систем вдали от резонанса |
| § 6. | Колебания неавтономных систем при резонансе |
| § 7. | Практический способ вычисления периодических решений неавтономных систем при резонансе в случае аналитических уравнений |
| § 8. | Практический способ вычисления периодических решений неавтономных систем при резонансе в случае неаналитических уравнений |
| § 9. | Доказательство сходимости последовательных приближений |
| § 10. | Вычисление периодических решений неавтономных систем при резонансе в особом случае |
| § 11. | Колебания автономных систем |
| § 12. | Вычисление периодических решений автономных систем в случае аналитических уравнений |
| § 13. | Автоколебания в двух связанных контурах |
Глава III. | Устойчивость колебаний |
| § 1. | Постановка задачи. Уравнения в вариациях |
| § 2. | Линейные уравнения с периодическими коэффициентами. Характеристическое уравнение |
| § 3. | Аналитический вид решений линейных уравнений с периодическими коэффициентами |
| § 4. | Доказательство предложения предыдущего параграфа |
| § 5. | Приведение линейных уравнений с периодическими коэффициентами к уравнениям с постоянными коэффициентами |
| § 6. | Теорема Ляпунова о корнях характеристических уравнений сопряженных систем. Фундаментальное уравнение приведенной системы |
| § 7. | Некоторые общие предложения об устойчивости движения |
| § 8. | Теорема Ляпунова о характеристическом уравнении канонических систем |
| § 9. | Теорема Андронова и Витта об устойчивости периодических движений автономных систем |
| § 10. | Приближенное вычисление корней характеристического уравнения методом разложения по степеням параметра |
| § 11. | Другой способ приближенного вычисления корней характеристического уравнения |
| § 12. | Приложение к задаче устойчивости колебаний квазилинейных систем |
| § 13. | Приложение к случаю уравнений, аналитических относительно параметра |
| § 14. | Устойчивость автоколебаний в двух индуктивно связанных контурах |
| § 15. | Некоторые особые случаи |
Глава IV. | Почти-периодические колебания квазилинейных систем |
| § 1. | Постановка задачи. Основные понятия |
| § 2. | Почти-периодические решения неоднородных линейных уравнений |
| § 3. | Некоторые особенности задачи о почти-периодических колебаниях. Малые делители |
| § 4. | Почти-периодические колебания неавтономных систем при отсутствии критических корней фундаментального уравнения |
| § 5. | Преобразование Крылова и Боголюбова |
| § 6. | Почти-периодические решения стандартных систем |
| § 7. | Почти-периодические колебания неавтономных систем при наличии критических корней фундаментального уравнения. Частный случай |
| § 8. | Почти-периодические колебания неавтономных систем при наличии критических корней фундаментального уравнения. Общий случай |
| § 9. | Доказательство сходимости последовательных приближений |
| § 10. | Практические способы вычисления почти-периодических решений, рассмотренных в § 8 |
| § 11. | Критерии устойчивости |
| § 12. | Приложение к задач-е о вынужденных колебаниях регенеративного приемника |
| § 13. | Анализ уравнений, определяющих параметры порождающей системы. Резонансные и нерезонансные частоты |
| § 14. | Некоторые упрощения вычисления почти-периодических решений при наличии нерезонансных частот |
| § 15. | Колебания с нерезонансными частотами. Свойства первого приближения |
| § 16. | Колебания с нерезонансными частотами. Свойства точных решений |
| § 17. | Практические приемы нахождения колебаний с нерезонансными частотами |
| § 18. | Примеры |
| § 19. | Принцип усреднения |
Глава V. | Квазигармонические системы |
А. Свободные колебания квазигармонических систем |
| § 1. | Параметрический резонанс. Постановка задачи |
| § 2. | Области устойчивости и неустойчивости для уравнений второго порядка |
| § 3. | Практический способ определения областей устойчивости и неустойчивости для уравнений второго порядка |
| § 4. | Примеры приложения метода предыдущего параграфа |
| § 5. | Задача о параметрическом резонансе для канонических систем со многими степенями свободы |
| § 6. | Области простого параметрического резонанса для канонических систем со многими степенями свободы |
| § 7. | Другой метод определения областей параметрического резонанса для канонических систем. Области комбинационного резонанса |
| § 8. | Пример. Теорема М.Г.Крейна |
Б. Вынужденные колебания квазигармонических систем |
| § 9. | Условия существования почти-периодических решений систем линейных уравнений с периодическими коэффициентами |
| § 10. | Условия резонанса. Вид вынужденных колебаний |
| § 11. | Зависимость вынужденных колебаний от параметра |
| § 12. | Практический способ вычисления вынужденных колебаний |
| § 13. | Примеры вычисления вынужденных колебаний |
Глава VI. | Системы, близкие к произвольным нелинейным |
| § 1. | Периодические решения неавтономных систем в случае изолированного порождающего решения |
| § 2. | Периодические решения неавтономных систем в случае семейства порождающих решений |
| § 3. | Случай аналитических уравнений |
| § 4. | О практическом вычислении периодических решений |
| § 5. | Критерии устойчивости рассмотренных периодических решений |
| § 6. | Неавтономная система с одной степенью свободы, близкая к консервативной |
| § 7. | Критерии устойчивости периодического решения, рассмотренного в предыдущем параграфе |
| § 8. | Периодические решения автономных систем |
| § 9. | Периодические решения автономных систем. Уравнения для параметров порождающих решений |
| § 10. | Почти-периодические решения неавтономных систем в случае изолированного порождающего решения |
| § 11. | Почти-периодические решения неавтономных систем в случае семейства порождающих решений |
| § 12. | Случай, когда число параметров порождающего решения равно порядку системы |
Глава VII. | Системы Ляпунова |
| § 1. | Постановка задачи |
| § 2. | Периодические решения систем Ляпунова |
| § 3. | Практический способ вычисления периодических решений систем Ляпунова |
| § 4. | Некоторые свойства периодических решений системы Ляпунова |
| § 5. | Главные колебания консервативных систем |
Глава VIII. | Системы, близкие к системам Ляпунова |
| § 1. | Порождающие решения |
| § 2. | Периодическое решение {x(0)s} |
| § 3. | Периодическое решение при резонансе |
| § 4. | Практический способ вычисления резонансного решения |
| § 5. | Периодическое решение {x(p)s} |
| § 6. | Критерии устойчивости |
| § 7. | Приложение к задаче Дюффинга |
| § 8. | Пример определения субгармонических колебаний |
Именной указатель |
Предметный указатель |
В настоящее время в теории нелинейных колебаний широко
применяется так называемый "метод малого параметра". В этой
книге указанный метод систематически применяется к решению
ряда задач теории нелинейных колебаний. В ней излагается
теория периодических и почти-периодических колебаний квазилинейных
систем с одной и многими степенями свободы, теория
периодических и почти-периодических колебаний систем,
близких к произвольным нелинейным, а также теория свободный
и вынужденных колебаний (периодических и почти-периодических)
квазигармонических систем, т.е. систем, описываемых
линейными дифференциальными уравнениями с периодическими
коэффициентами. Большое внимание уделяется при этом вопросу
устойчивости колебаний.
Несмотря на довольно большой объем книги и широкий
круг вопросов, в ней освещаемых, книга отнюдь не претендует
на исчерпывающее изложение всех проблем, в которых находит
успешное применение метод малого параметра (это нашло
отражение и в названии книги). В частности, в ней совершенно
не рассматриваются процессы установления, медленно меняющиеся
процессы в нелинейных системах и другие задачи,
сводящиеся к нахождению решений уравнений движения
на конечном промежутке времени.
Все рассматриваемые в этой книге проблемы излагаются
с достаточной математической строгостью. В частности, много
внимания уделяется доказательствам существования периодических
и почти-периодических решений уравнений колебаний.
Однако основной целью, которую себе поставил автор, является
изложение практических приемов вычисления колебаний. Поэтому
указанному вопросу уделяется в книге основное внимание.
Все излагаемые методы сопровождаются примерами с подробными
вычислениями. В книге дается также решение ряда конкретных
физических и технических задач. Однако и они служат главным
образом для иллюстрации излагаемых методов вычисления.
Автор стремился сделать книгу доступной возможно более
широкому кругу читателей, в связи с чем в ней в известной
мере применен концентрический метод изложения. В частности,
чтение первой главы требует весьма ограниченной математической
подготовки. Для того чтобы придать этой главе законченный
вид, в ней дается элементарное изложение и задачи
устойчивости, которая более обстоятельно и подробно излагается
лишь в третьей главе. Аналогичные повторения изредка встречаются
и в других местах книги. Автор полагает, что этот
недостаток искупается вышеуказанными соображениями методического
характера.
При написании книги частично использована ранее изданная
книга автора "Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных
колебаний".
Автор выражает благодарность С.Н.Шиманову и Н.Г.Булгакову
за помощь, оказанную при чтении корректур.