Журавлёв В.Ф., Петров А.Г., Шундерюк М.М. Избранные задачи гамильтоновой механики Изд. стереотип.

2021. 304 с.

Белая офсетная бумага

Твердый переплет

Аннотация

Книга посвящена, главным образом, конструктивным методам построения асимптотических решений уравнений Гамильтона. Появившиеся недавно новые методы: метод инвариантной нормализации, модификации метода канонического осреднения, применение производящего гамильтониана и параметрической функции Пуанкаре позволяют эффективно строить такие решения. Целью книги является максимально возможное упрощение алгоритмов исследования гамильтоновых систем и представление... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие
Глава 1.	Динамические системы в механике
	§ 1.1. Основные определения
		1.1.1.	Динамические системы
		1.1.2.	Уравнения Лагранжа и обобщенные силы в механике
	§ 1.2. Линейное приближение уравнений Лагранжа
		1.2.1.	Классификация обобщенных сил
		1.2.2.	Свободные колебания консервативных систем
	§ 1.3. Спектральные свойства линейных систем
		1.3.1.	Свойства характеристического уравнения
		1.3.2.	Поведение собственных частот при изменении жесткости или массы
	§ 1.4. Разложение обобщенных сил на потенциальную и циркулярную компоненты
		1.4.1.	Необходимое и достаточное условие потенциальности силы
		1.4.2.	Разложение позиционных сил и его единственность
		1.4.3.	Разложение сил, зависящих от скоростей
	§ 1.5. Уравнения Рауса
		1.5.1.	Преобразования Лежандра
		1.5.2.	Уравнения Рауса
		1.5.3.	Концепция Герца в механике
	§ 1.6. Теория возмущений интегральных многообразий резонансных систем
		1.6.1.	Постановка проблемы
		1.6.2.	Случай двукратной собственной частоты
		1.6.3.	Анализ действия возмущений в линейном случае
		1.6.4.	Маятник Фуко
Глава 2.	Методы осреднения
	§ 2.1. Теоремы Боголюбова
		2.1.1.	Первая теорема Боголюбова
		2.1.2.	Вторая теорема Боголюбова
		2.1.3.	Приведение систем к стандартной форме
		2.1.4.	Примеры, иллюстрирующие первое приближение метода осреднения
	§ 2.2. Построение высших приближений
		2.2.1.	Алгоритм построения высших приближений
		2.2.2.	Примеры построения высших приближений
	§ 2.3. Движение твердой частицы в поле акустической стоячей волны
		2.3.1.	Уравнения движения твердой частицы
		2.3.2.	Метод осреднения без учета силы Бассе
		2.3.3.	Метод осреднения с учетом силы Бассе
Глава 3.	Системы Гамильтона и их свойства
	§ 3.1. Уравнения Гамильтона
		3.1.1.	Гамильтонова система
		Векторная форма
		3.1.2.	Приведение неавтономной гамильтоновой системы к автономной
		3.1.3.	Преобразования Лежандра
		3.1.4.	Структура функций Лагранжа и Гамильтона
		3.1.5.	Первый интеграл автономной гамильтоновой системы
	§ 3.2. О методах возмущений
Глава 4.	Канонические преобразования
	§ 4.1. Условия каноничности преобразования
		4.1.1.	Определение
		4.1.2.	Локальный критерий каноничности
		4.1.3.	Вариационный принцип Гамильтона
		Принцип Гамильтона
		4.1.4.	Критерий каноничности Пуанкаре–Картана
		Критерий Пуанкаре
		4.1.5.	Отображение фазовым потоком гамильтоновой системы
	§ 4.2. Способы построения канонических преобразований
		4.2.1.	Производящие функции Якоби
		4.2.2.	Производящий гамильтониан и ряды Ли
		4.2.3.	Производящая функция Пуанкаре
		4.2.4.	Параметрическая производящая функция Пуанкаре
	§ 4.3. Свойства параметрической производящей функции
		4.3.1.	Уравнение типа Гамильтона–Якоби для параметрической производящей функции $\Psi $
		4.3.2.	Связь параметрической функции $\Psi $ с производящим гамильтонианом
		4.3.3.	Связь параметрической функции $\Psi $ с производящими функциями Пуанкаре и Якоби
	§ 4.4. Параметризация симплектической матрицы
		4.4.1.	Представление симплектической матрицы через симметричную
		4.4.2.	Инвариантность параметризуемости симплектического преобразования
Глава 5.	Канонические преобразования на плоскости
	§ 5.1. Симплектические матрицы
		5.1.1.	Критерий каноничности
		5.1.2.	Отображение малой области
		5.1.3.	Параметризация симплектических матриц
		Формулы параметризации
		Инварианты
		Параметризуемость матрицы $A$
		Инвариантность параметризуемости
	§ 5.2. Производящие функции и производящий гамильтониан
		5.2.1.	Примеры применения производящих функций Якоби
		5.2.2.	Производящий гамильтониан и параметрическая производящая функция
		5.2.3.	Отображение Пуанкаре
		5.2.4.	Точки последования Пуанкаре
		5.2.5.	Инвариантная кривая
		5.2.6.	Исследование устойчивости неподвижных точек
	§ 5.3. Отображение Чирикова
		5.3.1.	Определение
		5.3.2.	Основные свойства и фазовые портреты отображения Чирикова
		5.3.3.	Производящие функции Якоби
		5.3.4.	Параметрическая производящая функция
		5.3.5.	Инвариантные кривые последовательности Чирикова
Глава 6.	Каноническое осреднение
	§ 6.1. Первое приближение для систем стандартной формы
		6.1.1.	Теоремы Боголюбова
		6.1.2.	Приведение гамильтоновой системы к стандартной форме
	§ 6.2. Маятниковые системы под действием вибрации высокой частоты
		6.2.1.	Краткий обзор
		6.2.2.	Модифицированное каноническое осреднение
		6.2.3.	Осредненный гамильтониан маятниковой системы
	§ 6.3. Сферический маятник под действием вибрации высокой частоты
		6.3.1.	Вибрационная энергия сферического маятника
		6.3.2.	Положение равновесия маятника
		6.3.3.	Определение параметров вибрации по заданному положению равновесия маятника
		6.3.4.	Периодическое движение сферического маятника
		Движение маятника в неподвижных осях
		Движение маятника в подвижных осях Кенига, помещенных в точку подвеса
		6.3.5.	Устойчивость положения равновесия
		6.3.6.	Уравнения для радиус-вектора и кинетического момента
		6.3.7.	Периодическое решение в декартовых координатах
		6.3.8.	Двойной математический маятник под действием вибрации высокой частоты
	§ 6.4. Построение высших приближений
		6.4.1.	Отображение Пуанкаре на периоде гамильтоновой системы
		6.4.2.	Производящий и осредненный гамильтонианы
	§ 6.5. Примеры параметрического осреднения
		6.5.1.	Движение твердых частиц в стоячей акустической волне
		6.5.2.	Перенос массы прогрессивной волной в жидкости конечной глубины
		6.5.3.	Перенос массы вращающимся в жидкости цилиндром
		6.5.4.	Движение частиц жидкости около вращающегося в ней эллиптического цилиндра
Глава 7.	Гамильтонова нормальная форма
	§ 7.1. Определение гамильтоновой нормальной формы
		7.1.1.	Комплексная гамильтонова нормальная форма
		7.1.2.	Частные случаи нормальной формы
	§ 7.2. Нормальная форма вещественных квадратичных гамильтонианов
		7.2.1.	Системы с одной степенью свободы
		7.2.2.	Системы с двумя степенями свободы
		7.2.3.	Теоремы устойчивости по линейному приближению
		7.2.4.	Системы с $n$ степенями свободы
	§ 7.3. Нормализация квадратичных гамильтонианов в случае действительных либо мнимых корней характеристического полинома
	§ 7.4. Нормальные формы для нелинейных систем с двумя степенями свободы
		7.4.1.	Общий вид нормальной формы
		7.4.2.	Нормальная форма при отсутствии резонансов
		7.4.3.	Нормальная форма при наличии резонансов
	§ 7.5. Интегрирование уравнений нормальной формы
	§ 7.6. Методы вычисления нормальных форм
		7.6.1.	Нормализация с помощью производящих функций Якоби
		7.6.2.	Нормализация с помощью рядов Ли
		7.6.3.	Нормализация с помощью параметрической производящей функции
		7.6.4.	Нормализация произвольных гамильтонианов, представленных в виде степенных разложений
		7.6.5.	Теоремы устойчивости
		7.6.6.	Симметричная форма в случае, когда квадратичный гамильтониан не приведен к нормальной форме
		7.6.7.	Маятник Фуко
Глава 8.	Симметризация гамильтониана
	§ 8.1. Определение симметризации
	§ 8.2. Алгоритм симметризации с помощью производящего гамильтониана
		8.2.1.	Пример симметризации
	§ 8.3. Алгоритм симметризации с помощью параметрической функции Пуанкаре
		8.3.1.	Вынужденные колебания линейного осциллятора при резонансе
		8.3.2.	Вынужденные колебания нелинейного осциллятора Дуффинга
		8.3.3.	Уравнение Матье
	§ 8.4. Примеры симметризации
		8.4.1.	Система Хенона–Хейлеса
		8.4.2.	Трехмерные колебания тяжелой точки на пружине
		ВВЕДЕНИЕ
		ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
		ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛА ПОВОРОТА ПЛОСКОСТИ КОЛЕБАНИЙ
		ДРУГИЕ РЕЗОНАНСЫ
		ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ РЕЗОНАНСА 1:2 ДЛЯ ДВУМЕРНОГО МАЯТНИКА.
		8.4.3.	Сферический маятник с вибрирующей точкой подвеса
Глава 9.	Ограниченная задача трех тел
	§ 9.1. Треугольные точки либрации
	§ 9.2. Коллинеарные точки либрации
		9.2.1.	Постановка задачи
		9.2.2.	Разложения гамильтониана
		9.2.3.	Нормализация квадратичного гамильтониана в окрестностях коллинеарных точек либрации
		9.2.4.	Сравнение результатов с ранее известными
		9.2.5.	Асимптотические разложения нормальной формы гамильтониана для точек либрации
		9.2.6.	Периодические решения
Глава 10.	Избранные задачи динамики твердого тела
	§ 10.1. Движение твердого тела около неподвижной точки
		10.1.1.	Кинематика
		10.1.2.	Отсутствие момента внешних сил (случай Эйлера)
		10.1.3.	Опыт Джанибекова
	§ 10.2. Движение твердого тела в случае динамической симметрии
		10.2.1.	Движение при отсутствии внешнего момента
		10.2.2.	Уравнения движения в наблюдаемых переменных
		10.2.3.	Регулярная прецессия в случае Лагранжа
		10.2.4.	Функция Гамильтона в углах Эйлера
		10.2.5.	Функция Гамильтона в наблюдаемых переменных
		10.2.6.	Аналогия волчка Лагранжа и маятника Фуко
		10.2.7.	Волчок Лагранжа на вибрирующем основании
		10.2.8.	Движение твердого тела с неподвижной точкой в центре эллипсоида инерции и центром тяжести в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.
Приложение
	§ 10.1. Интегральные инварианты
		10.1.1.	Определения
		Трубка прямых путей
		Интегральный инвариант
		10.1.2.	Теоремы об интегральных инвариантах
		10.1.3.	Интегральные инварианты для неавтономных гамильтоновых систем
		10.1.4.	Критерии каноничности
Литература

Об авторах

Журавлёв Виктор Филиппович

Академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор. Главный научный сотрудник Института проблем механики имени А. Ю. Ишлинского РАН (ИПМех РАН). Лауреат премии Ленинского комсомола и Государственной премии РФ. Лауреат премии имени академика А. Ю. Ишлинского за 2016 год за цикл работ в области гироскопических и навигационных систем.

Петров Александр Георгиевич

Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института проблем механики Российской академии наук, профессор кафедры теоретической механики Московского физико-технического института. Область научных интересов: механика жидкости, аналитическая механика. Опубликовал 7 монографий и более 200 научных работ.

Шундерюк Михаил Мирославович

Кандидат физико-математических наук, выпускник Московского физико-технического института. Область научных интересов: гамильтоновы системы, нелинейные колебания, компьютерная алгебра. Опубликовал 7 научных работ в журналах из перечня ВАК.