Обложка Шамин Р.В. Концентрированный курс высшей математики. (В двух книгах). Книга 1: Дифференциальное и интегральное исчисление. Числовые и функциональные ряды. Алгебра и геометрия
Id: 263163
717 руб.

КОНЦЕНТРИРОВАННЫЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.
(В двух книгах). Книга 1: Дифференциальное и интегральное исчисление. Числовые и функциональные ряды. Алгебра и геометрия Кн.1
Концентрированный курс высшей математики. (В двух книгах). Книга 1: Дифференциальное и интегральное исчисление. Числовые и функциональные ряды. Алгебра и геометрия

URSS. 2020. 280 с. ISBN 978-5-9710-7789-3.
  • Твердый переплет

Аннотация

Учебник охватывает большое количество разделов высшей математики. Стиль изложения ориентирован на студентов, изучающих высшую математику впервые, поэтому многие понятия и доказательства разъясняются и подробно комментируются. При этом всем терминам даны строгие определения, а почти все теоремы снабжены полными доказательствами.

Курс включает в себя не только все основные темы высшей математики, но и более специальные разделы. Подбор тем обуславливался ...(Подробнее)таким образом, чтобы дать учащемуся довольно объемный «джентльменский набор» в высшей математике.

Издание состоит из двух частей, выходящих отдельными книгами. Настоящая первая книга содержит такие разделы высшей математики, как дифференциальное и интегральное исчисление, числовые и функциональные ряды, алгебра и геометрия. Вторая книга, содержащая разделы: обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы, функции комплексного переменного, теория вероятностей и математическая статистика, оптимизация и дискретная математика, выходит одновременно с первой в нашем издательстве.

Книга будет полезна студентам различных специальностей, от экономических до инженерных и математических, а также для самообразования. Кроме того, концентрированный курс будет полезен аспирантам для быстрого вспоминания или овладения нужными разделами математики на современном уровне.


Содержание
Введение.................................... 10
Часть I
Дифференциальное исчисление............... 13
Глава 1 Числа и множества...................... 15
1 Множества............................. 15
2 Вещественные числа...................... 18
3 Верхние и нижние грани числовых множеств ..... 19
Глава 2 Пределы последовательностей.............. 21
1 Числовые последовательности и их пределы...... 21
2 Монотонные последовательности ............. 25
3 Подпоследовательности.................... 27
4 Критерий Коши ......................... 29
5 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности ....................... 31
Глава 3 Пределы функции....................... 33
1 Предел функции......................... 33
2 Односторонние пределы ................... 35
3 Бесконечно малые функции ................. 37
4 Сравнение функций ...................... 37
Глава 4 Непрерывные функции................... 39
1 Непрерывность и разрывы.................. 39
2 Свойства непрерывных функций .............. 41
3 Точки разрыва.......................... 44
Глава 5 Производные и дифференцируемость......... 46
1 Производная........................... 46
2 Дифференцируемость..................... 49
3 Производная сложной функции............... 51
4 Производные высшего порядка............... 51
Глава 6 Дифференцируемые функции.............. 53
1 Поведение функций ...................... 53
2 Раскрытие неопределенностей
по правилу Лопиталя...................... 57
3 Формула Тейлора........................ 59
4 Исследование на экстремум................. 61
Глава 7 Многомерный анализ.................... 64
1 Многомерные пространства................. 64
2 Предел функции многих переменных........... 65
3 Непрерывность функций многих переменных..... 67
4 Частные производные..................... 67
5 Дифференцируемость функций многих переменных...................... 68
6 Градиент и производная по направлению........ 71
Часть II
Интегральное исчисление.................... 73
Глава 1 Неопределенный интеграл................. 75
1 Первообразная.......................... 75
2 Табличные интегралы..................... 77
3 Приемы интегрирования ................... 78
4 Интегрирование рациональных выражений....... 80
5 Интегрирование тригонометрических выражений . . 82
Глава 2 Определенный интеграл.................. 83
1 Интегральные суммы и определенный интеграл ... 83
2 Суммы Дарбу........................... 85
3 Классы интегрируемых функций .............. 88
Глава 3 Свойства интеграла...................... 90
1 Аддитивность интеграла Римана.............. 90
2 Свойства интегрируемости .................. 91
3 Неравенства ............................ 93
4 Теоремы о среднем ....................... 94
5 Формула Ньютона—Лейбница................ 96
Глава 4 Несобственные уравнения.................100
1 Интегралы с бесконечными пределами .......... 100
2 Интегралы от неограниченных функций.........104
3 Интеграл в смысле главного значения..........106
Глава 5 Кратные и криволинейные интегралы........108
1 Кратные интегралы ....................... 108
2 Криволинейные интегралы .................. 112
3 Поверхностные интегралы .................. 115
4 Теория поля ............................ 118
5 Формулы Грина и Стокса...................122
Глава 6 Мера и интеграл Лебега...................127
1 Интеграл Лебега ......................... 127
2 Мера множества и интеграл Лебега по мере ...... 130
3 Нормированные пространства ................ 145
4 Пространства Лебега......................147
5 Теорема Фубини ......................... 151
Часть III
Ряды......................................155
Глава 1 Числовые ряды.........................157
1 Определение ряда........................157
2 Признаки сходимости знакопостоянных рядов.....160
3 Интегральный признак Коши................165
4 Знакопеременные ряды....................167
5 Знакочередующиеся ряды ..................169
Глава 2 Функциональные ряды...................171
1 Степенные ряды.........................171
2 Функциональные последовательности и ряды.....174
3 Равномерная сходимость...................177
4 Операции с функциональными рядами..........179
Глава 3 Гильбертовы пространства и ряды Фурье......183
1 Скалярное произведение...................183
2 Примеры гильбертовых пространств...........186
3 Геометрия гильбертова пространства...........189
4 Ряды Фурье в гильбертовом пространстве........195
Часть IV
Дифференциальные уравнения...............203
Глава 1 Постановка задачи для дифференциальных уравнений............................205
1 Примеры дифференциальных уравнений ........ 205
2 Задача Коши ........................... 208
3 Системы дифференциальных уравнений ......... 209
4 Частные случаи дифференциальных уравнений . . . .211
Глава 2 Существование и единственность решений.....214
1 Нормальная форма.......................214
2 Существование решения задачи Коши..........215
3 Единственность решения задачи Коши..........218
Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения .....221
1 Линейные системы.......................221
2 Линейная зависимость функций..............223
3 Фундаментальная система решений............225
4 Неоднородные системы....................226
Глава 4 Краевые задачи.........................228
1 Краевые условия ......................... 228
2 Функция Грина..........................230
3 Собственные функции и собственные значения .... 233
Глава 5 Динамические системы...................236
1 Автономные системы .....................236
2 Предельные множества траекторий............238
3 Динамические системы....................238
4 Устойчивость решений.....................239
Литература .................................. 242

Введение

В последнее время по многим специальностям в университетах читается курс под общим названием «Математика», который по идее должен включать все необходимые темы по высшей математики. С другой стороны, при постоянно сокращающемся объеме часов на математические дисциплины, возникает потребность в компактном и концентрированном учебнике по различным математическим дисциплинам.

Настоящий учебник написан для концентрированного обучения различным разделам высшей математики. Учебник выходит в двух частях.

Первая часть включает в себя следующие разделы высшей математики:

1. Дифференциальное исчисление

2. Интегральное исчисление

3. Ряды

Вторая часть учебника включает в себя разделы:

1. Алгебра и геометрия

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

3. Теория функций комплексного переменного

4. Теория вероятности и математическая статистика

5. Теория оптимизации

6. Дискретная математика

Стиль изложения ориентирован на учащихся, изучающих высшую математику впервые, поэтому многие понятия и доказательства разъясняются и подробно комментируются. Однако простое изложение не является упрощенчеством, поскольку всем терминам даны строгие определения, а почти все теоремы снабжены полными доказательствами. Лишь в отдельных дисциплинах некоторые теоремы даны без доказательства.

Курс включает в себя не только все основные темы высшей математики, но и более специальные разделы такие, как алгебраические структуры, топология, методы оптимизации, интеграл Лебега и гильбертовы пространства. Подбор тем обуславливался таким образом, чтобы дать учащемуся довольно объемный «джентльменский набор» в высшей математике.

Учебник написан на основании опыта преподавания автора в различных вузах: МИРЭА — Российском технологическом университете, Московском авиационном институте (МАИ), Российском университете дружбы народов (РУДН). Опыт показывает, что объем данного курса можно уместить в четыре семестра.

Мы рекомендуем этот учебник студентам различных специальностей от экономических до инженерных и математических, а также для самообразования. Кроме того, концентрированный курс будет полезен аспирантам для быстрого вспоминания или овладения нужными разделами математики на современном уровне.

Большая часть лекций, излагаемых в учебнике, доступна в виде видеолекций, читаемых автором. Эти лекции выложены на youtube канале и на сайте shamin.ru.


Об авторе
Шамин Роман Вячеславович
Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой информатики в МИРЭА — Российском технологическом университете, профессор Российского университета дружбы народов, действительный член Академии военных наук.

Окончил Московский авиационный институт, защитил кандидатскую диссертацию в МГУ имени М. В. Ломоносова по специальности «Дифференциальные уравнения». Работал доцентом в МАИ, старшим научным сотрудником Института океанологии имени П. П. Ширшова РАН, где защитил докторскую диссертацию, посвященную волнам-убийцам. Занимал должность заместителя директора Института морской геологии и геофизики Дальневосточного отделения РАН. Создал и возглавлял кафедру «Математическое моделирование и информационные технологии» в Институте космических технологий Российского университета дружбы народов.

Автор более 150 научных трудов, включая несколько монографий и учебников. Область научных интересов: дифференциальные уравнения, функциональный анализ, волны-убийцы в океане, вычислительная математика, прикладная экономика, машинное обучение и искусственный интеллект.