Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

1. Аксиома (или принцип) Цермело, называемая также аксиомой (произвольного) выбора, или мультипликативной аксиомой, является одним из важнейших утверждений современной математики. Основанные на ней или эквивалентных (экви-поллентных) ей предложениях рассуждения и установленные с их помощью факты столь многочисленны и большей частью столь важны, что изъятие их из математики почти полностью изменило бы ее облик. Эта аксиома или ее эквиваленты применялись и применяются в классическом и функциональном анализе, в теории множеств, в топологии, в алгебре, в теории вероятностей, в теоретической кибернетике, в теории графов, в математической логике и т. д., вплоть до исследований по элементарной геометрии и арифметике.

Названная аксиома является одним из наиболее активно обсуждавшихся и обсуждающихся в XX в. предложений теории множеств. Сотни специальных статей, а также книги Рабиных и Йеха полностью посвящены изучению ее или эквивалентных ей предложений; изложение взглядов ряда ученых на нее занимает большую часть книги Гонсета; она анализируется в больших разделах книг, посвященных теории множеств, например в книгах Френкеля и Бар-Хиллела и Серпинского, или топологии (Александров). Во многих тысячах математических работ с помощью этой аксиомы или равнозначных ей утверждений получаются те или иные результаты с прямым указанием на обращение к таким утверждениям; в неизмеримо большем числе исследований нет прямых ссылок на подобные применения, но они присутствуют в них неявно, нередко как неосознаваемые допущения.

В математической литературе давно бытует восходящее по существу к Цермело сравнение изысканий по аксиоме выбора с исследованиями по аксиоме параллельности в геометрии (см.: Френкель, Бар-Хиллел, Коэн, Херш). Уже такое сравнение позволяет в какой-то мере оценить огромную роль аксиомы выбора не только в математике, но и в мировоззрении вообще – достаточно вспомнить клиффордовское сопоставление факта построения неевклидовых геометрий с коперниканской революцией в естествознании. Но это сравнение, пожалуй, недостаточно для оценки роли рассматриваемой аксиомы.

Дело в том, что упомянутые геометрические изыскания не затрагивали арифметику натуральных чисел и построенный на ее основе математический континуум; напротив, свое оправдание они в конечном счете нашли при их отображении на такой арифметизи-рованный континуум.

Ситуация с аксиомой Цермело много сложнее. Если отрицание аксиомы параллельности не изменяло математический континуум, то какая-либо из форм отрицания аксиомы выбора не оставляет такой возможности. Более того, далеко не очень-то ясно, какие изменения потребовалось бы осуществить при этом Лузин, сравнивая ситуации с аксиомой параллельности и высказанным Гильбертом утверждением о непротиворечивости гипотезы континуума, писал: «Совпадение мощности континуума с алеф-один непротиворечиво; но исключается ли этим возможность того, что совпадение мощности континуума с алеф-два также непротиворечиво? И что произойдет, если будет доказана в самом деле и эта последняя непротиворечивость? Первое, что приходит на ум, это то, что установление мощности континуума есть дело свободной аксиомы, вроде аксиомы о параллелях для геометрии. Но в то время как при инвариантности всех прочих аксиом геометрии Евклида и при варьировании аксиомы о параллелях меняется смысл произнесенных или написанных слов: точка, прямая etc., смысл каких слов меняется, если мы делаем мощность континуума подвижной на алефической шкале, все время доказывая непротиворечивость этого движения?».

А ведь аксиома выбора требует даже большего: без нее саму мощность континуума нельзя поместить на алефическую шкалу!

Видимо, еще сложнее проблема связей аксиомы выбора с арифметикой. Уже в конце прошлого столетия Беттацци и Бурали-Форти фактически обнаружили связь понятия конечного множества, а тем самым – в рамках теоретико-множественного подхода – понятия натурального числа с данной аксиомой. Эту связь подчеркнул Цермело, но, по-видимому, достаточно ясной она стала в работах Уайтхеда, Рассела, Тарского и других.

Не менее тесны связи аксиомы выбора с классическим анализом (что сделалось вполне очевидным после изысканий Серпияского, особенно его статей), а также с другими ответвлениями математики.

Но если аксиома выбора неотделима от понятия натурального числа, от арифметики натуральных чисел и от построенного с их помощью континуума, то изменение подхода к ней неизбежно повлечет какую-то существенную перестройку всей математики, ибо без натурального числа, без арифметики, без континуума практически невозможна какая-либо математическая теория.

Но не только математическая. Если принять во внимание фактор математизации современной науки, то подобное изменение будет как-то затрагивать и другие науки, по крайней мере в тех их частях, куда математика проникла на самом деле, а не только в специфически языковом одеянии. В качестве лишь одной иллюстрации сказанного приведем такую цепочку фактов (аналогичных примеров можно привести немало).

Известно, что теория интеграла Лебега связана с аксиомой выбора. Но интеграл Лебега служит основой для введения пространства L², а оно оказалось нужным в квантовой механике. Так что способы рассуждений, ведущие к аксиоме выбора, не миновали и описаний квантовых явлений. Это внешне не заметно, но такова, как мы не раз убедимся далее, одна из характерных черт применений этой аксиомы: она очень часто замаскирована под "невинные", "очевидные" и т. п. допущения, которые не вызывают, казалось бы, никаких возражений, но в конце концов оказываются или ее эквивалентами, или не доказуемы без нее. В подходе фон Неймана к обоснованию квантовой механики она содержится, например, в его допущении существования базиса у абстрактного гильбертова пространства.

К тому же очень давно осознана недостаточность ресурсов традиционной логики для характеристики научных! рассуждений. В XIX столетии начался мощный процесс перестройки логики; он особенно бурно рос в XX в. и чрезвычайно интенсивно продолжается в наши дни. К настоящему времени разработаны очень сильные логические средства. «Однако, – как утверждает Мостовский, – ... просто не существует логики, достаточно сильной, чтобы охватить всю математику». Это было осознано достаточно давно, и когда в 1904 г. Гильберт занялся проблемой оснований логики и арифметики, то прямо писал: «Обычно считают арифметику частью логики и при обосновании арифметики большей частью предполагают традиционные основные идеи логики известными. Однако, внимательно присматриваясь, мы замечаем, что при обычном изложении законов логики применяются уже некоторые основные понятия арифметики, как-то: понятие множества, частично понятие числа, особенно в смысле количества. Мы попадаем, таким образом, в порочный круг, а потому для избежания парадоксов необходимо в некоторой части одновременное развитие и законов логики, и законов арифметики». Ставя же в 1928 г. общим образом проблему обоснования математики, он попросту включил аксиомы арифметики в состав общелогических аксиом. Эту идею поддержал Бернайс: «Обычная аксиоматика опирается на арифметику, когда последняя исследуется, так сказать, как принадлежащая к логике».

При включении же арифметики в логику изменение первой приводит к изменению второй. Так что проблема аксиомы выбора оказывается связанной и с логикой, что, впрочем, понимал и Цермело, впервые явно формулируя ее. После доказательства теоремы о вполне упорядочении он писал: «Предложенное доказательство покоится на... принципе, что для бесконечной совокупности множеств всегда существует отображение, в котором каждому множеству соответствует один из его элементов, или, говоря формально, что произведение бесконечной совокупности множеств, каждое из которых содержит по крайней мере один элемент, отлично от нуля (пустого множества. – Ф. М.). При этом данный логический принцип нельзя свести к более простому, и он всегда применяется в математической дедукции, не вызывая сомнений».

Но аксиома выбора нашла себе дорогу в логику не только через арифметику. Тот же Гильберт в 1923 г. ввел особую логическую аксиому, которую сам он, кажется, считал тогда более общей, чем аксиома выбора Аналогичной точки зрения придерживался в 1938 г. Серпинский. Иначе оценили ее Френкель и Бар-Хиллел, отметив все же связь гильбертовской аксиомы с аксиомой выбора и отдав предпочтение последней. И если аксиома Гильберта еще встретила сопротивление ряда математиков, то введенный в 1936 г. Мальцевым принцип компактности, оказавшийся эквивалентом аксиомы выбора, никто, кажется, уже не опротестовывал, и он занимает прочные позиции в математической логике и вообще в математике.

Можно было бы продолжить подобные общие соображения, но и сказанного, по-видимому, достаточно, чтобы иметь возможность придать аксиоме выбора общенаучный статус.

Между тем ситуация с рассматриваемой аксиомой далека от ясности даже после столь великолепных достижений, как обнаружение Гёделем ее непротиворечивости и установление Коэном ее независимости от остальных аксиом теории множеств Цермело–Френкеля. Мы не будем развивать эту мысль, поскольку предметом настоящей книги является в основном доаксиомати-ческий период развития теории множеств. Отметим все же, что диапазон мнений математиков об этой аксиоме скандально широк: он простирается от исключения из математики любого рассуждения, связанного с общей аксиомой выбора (Борель), от характеристики ее применений как жонглирования пустыми словами (Лузин) до утверждения ее необходимости, неизбежности в самих основах математических умозаключений (Гильберт), до признания, что без нее математика сделалась бы тривиальностью (Френкель), если не упоминать мнении промежуточного типа.

[...]

Об авторе