Обложка Яглом И.М. Булева структура и ее модели
Id: 262906
597 руб.

Булева структура и ее модели. № 213. Изд. 2, стереотип.

URSS. 2020. 200 с. ISBN 978-5-9710-7767-1.
  • Твердый переплет

Аннотация

На конкретном примере структуры (алгебры) Буля в книге излагается общая схема создания математических теорий и приложений этих теорий к явлениям реальной жизни. Главное место в книге занимает алгебра высказываний, являющаяся фундаментом математической логики, алгебра релейно-контактных схем, лежащая в основе проектирования сложных электрических и электронных систем, и теория вероятностей. Изложение сопровождается большим числом ...(Подробнее)примеров и упражнений для самостоятельного решения.

Книга не предполагает никаких специальных знаний, выходящих за пределы школьного курса математики. Предназначается для широкого круга читателей, интересующихся кибернетикой, общенаучными проблемами, математической логикой или теорией вероятностей.


Оглавление
Предисловие к первому изданию............. 3
ГЛАВА 1. АЛГЕБРА ЧИСЕЛ И АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
1. «Сложение» и «умножение» в алгебре множеств...... 7
2. Дополнение множества; принцип двойственности...... 18
3. Множества, подмножества, решетки.......... 23
4. Вычитание множеств — разность и симметрическая разность 28
ГЛАВА 2. БУЛЕВА СТРУКТУРА
5. Определение булевой структуры........... 36
6. Булевы многочлены: аддитивная и мультипликативная форма булева многочлена................. 49
7. Иные аксиоматики булевой структуры......... 55
8. Булевы структуры и решетки; конечные булевы структуры .... 64
9. Булевы структуры и кольца. Идеалы и фактор-структуры .... 81
ГЛАВА 3. МОДЕЛИ БУЛЕВЫХ СТРУКТУР
10. Первые модели................ 90
11. Алгебра высказываний и «законы мысли»........ 106
12. Релейно-контактные схемы............. 131
ГЛАВА 4. НОРМИРОВАННЫЕ БУЛЕВЫ СТРУКТУРЫ
13. Определение и модели; формула включений и исключений .... 140
14. Булевы функции; алгебра высказываний и алгебра контактных схем как нормированные булевы структуры......... 159
15. Что такое теория вероятностей........... 172
Ответы и указания к упражнениям........... 187
Список литературы ............... 189

Предисловие к первому изданию

При написании настоящей книги автор руководствовало я двумя целями, в соответствии с чем книга рассчитана на две разные категории читателей.

Прежде всего мне хотелось заполнить явственно ощущающийся пробел в доступной русскому читателю литературе. Научно-техническая революция наших дней, связанная с созданием ЭВМ, возникновением кибернетики и широчайшей математизацией знания, не только колоссально расширила круг потребителей математики, но и вызвала известную перестройку самих математических наук, заметно сместив здесь акценты и выдвинув на авансцену те направления математической мысли, которые совсем еще недавно считались чисто специальными и интересными лишь узкому кругу специалистов в соответствующей области. При этом особенно бросается в глаза рост значения теории вероятностей и математической (или символической) логики. Возросший авторитет теории вероятностей и логики связан не только (и даже не столько) с их большим местом во всех современных приложениях математики, но и с мировоззренческим значением соответствующих наук: ведь теоретико-вероятностные и статистические представления лежат в основе современной научной картины мира, а без математической логики теряют всякую почву столь модные сегодня дискуссии о том, может ли машина мыслить, и становится бессодержательной актуальная проблема создания искусственного интеллекта. Но обе эти теории (а точнее, науки или даже комплексы наук, имеющие первостепенное прикладное и общетеоретическое значение — теория вероятностей и математическая логика) базируются на одной и той же аксиоматической системе (или математической структуре, если использовать модную и удобную терминологию знаменитого Никола Бурбаки): на алгебре (или структуре) Буля.

Иной реализацией булевой структуры является играющая столь важную роль в современной технике (в частности, в учении о конструировании и функционировании ЭВМ) «алгебра релейных (электрических) цепей», профессионально необходимая каждому инженеру, связанному с электрическими сетями или электронными устройствами.

Все эти обстоятельства привели к тому, что во многих странах учение об алгебрах (структурах) Буля ныне прочно вошло в школьный курс математики. У нас дело обстоит пока иначе, однако элементы этой теории обстоятельно изучаются во многих высших учебных заведениях — не только на математических факультетах и отделениях университетов и пединститутов, но и на специализированных «математических» отделениях филологических, психологических или юридических факультетов и во многих втузах. С этим же связано наличие довольно обширной литературы об алгебрах (структурах) Буля.

Однако вся имеющаяся на русском языке литература об алгебрах Буля достаточно отчетливо распадается на три группы: это либо совсем уж элементарные введения в учение об алгебрах Буля, рассчитанные на малоопытных читателей, в первую очередь на школьников (таковы, например, книги [1.1 —1.31], либо обстоятельные пособия для студентов высших учебных заведений (скажем, [2.1, 2.2 или 2.81], либо, наконец, монографии для специалистов-математиков (как [3.1 или 3.2]). Но при этом упускается из виду еще одна обширная категория читателей: ее составляют лица, ранее не изучавшие соответствующей теории (которая ведь еще совсем недавно не входила в обязательный курс ни одного из наших высших учебных заведений), а ныне желающие с ней самостоятельно познакомиться.

В зарубежной литературе на эту категорию читателей — не получивших должного образования, но достаточно серьезных и по-настоящему заинтересованных в аппарате современной прикладной математики — рассчитано множество разнообразных по уровню требований и методическим установкам книг и статей (в качестве примеров здесь можно назвать сочинения [1.15—1.19 или 2.23—2.261], составляющие лишь весьма малую часть все не иссякающего потока книг такой направленности). У нас же подобных книг практически нет; лишь со значительной натяжкой к этой категории литературы по кибернетике и математике можно отнести переводные сочинения [1.4—1.7 и 1.13, 1.141], все, кстати сказать, очень сильно отличающиеся от настоящего. Таким образом, эту книгу, весьма естественную, как мне кажется, для серии «Кибернетика», можно рассматривать как пособие для самообразования или как книгу для чтения, обращенную к широкому кругу лиц (в том числе к студентам и выпускникам технических, педагогических, естественнонаучных и гуманитарных вузов), желающих самостоятельно познакомиться как с первоначальными представлениями математической логики, теории вероятностей и теории электрически* цепей, так и с внутренними связями этих трех важных теорий.

Наряду со сказанным эта книга преследует еще одну, возможно несколько менее утилитарную цель. Ее вполне можно рассматривать как продолжение книги «Математические структуры и математическое моделирование» [II], призванной пояснить место математики в общем процессе познания, ее уникальность и одновременно тесную связь со всеми другими направлениями научной мысли. В книге [II] обсуждались вопросы об общем устройстве математических теорий, об их развертывании как формально-логических систем и о путях приложения математики к изучению реально существующих явлений материального, социального или духовного порядка (так сказать, к физике, или к социологии, или к литературоведению). Общие идеи иллюстрировались в III] небольшим числом весьма эскизно набросанных примеров математических структур и математических моделей — на более подробный рассказ о каких-либо конкретных образцах математических теорий там просто не было места. Однако для того, чтобы понастоящему понять природу и роль математики, совершенно необходим более тщательный анализ какой-нибудь конкретной темы — и в качестве подобного «эталонного» образца математической теории мне показалось привлекательным остановиться на булевой структуре, характеризующейся широкими связями со многими магистральными направлениями математической науки (например, с учением об алгебраических кольцах или о решетках) и весьма широким спектром приложений. Разумеется, от книги [II] настоящее сочинение нисколько не зависит.

Ориентация на разные категории читателей определила некоторую разноплановость книги, в целом достаточно элементарной (от ее читателя практически нигде не требуются знания, выходящие за рамки курса средней школы), но вовсе не тривиальной ив некоторых своих частях предполагающей известную настойчивость читателя. В частности, несколько более подробные, чем в других сочинениях на ту же тему, исторические сведения, как и другие вставки, расширяющие строгие рамки учения о булевой структуре (скажем, рассказ об аксиоматических системах, более широких, чем алгебра Буля, или отступление о теории размытых множеств Л. Заде), рассчитаны скорее на читателей, интересующихся общими вопросами, чем на лиц, непосредственно заинтересованных в теории вероятностей, математической логике и их приложениях. Напротив, большинство упражнений обращены, в первую очередь, к первой из двух указанных выше категорий возможных читателей книги. Напечатанные мелким шрифтом разделы текста могут быть опущены без ущерба для понимания остальной части книги; некоторым читателям будет, видимо, уместно опустить также и доказательства тех или иных фактов (т. е. принять эти доказательства на веру; начало и конец доказательства в книге всегда обозначаются заметными знаками <4 и ►).

Немногочисленные примеры и упражнения иногда выходят за рамки основного текста, намечая возможные выходы в смежные области; однако в большинстве случаев они рассчитаны лишь на закрепление полученных знаний и самопроверку степени усвоения содержания книги. Упражнения сопровождаются весьма краткими и не* полными указаниями к их решению, собранными в конце книги. Дальнейшие задачи и упражнения по теме книги читатель сможет найти в вузовских задачниках [2.21, 2.22], в некоторых из перечисленных в конце книги пособий, например, в [1.13, 1.14, 2.1 или 2.3], а также в содержательных книгах [2.2 и 2.23]. Читателю, специально заинтере- сованному в изучении математической логики, можно порекомендовать книги 11.4 и [2.4—2.12] (из которых хочется специально отметить элементарное введение в предмет [1.41], классическое сочинение [2.71], превосходный университетский учебник [2.10] и книгу [2.5], входящую в ту же серию, что и настоящая книга); читателю, пожелавшему углубить свои знания по теории вероятностей, хочется, в первую, очередь, указать на весьма богатую по содержанию, однако вовсе не простую книгу [2.17]; читателя-инженера, нуждающегося в более полном изложении теории релейных электрических цепей, естественно адресовать к книге [2.13].

В книге принята двойная нумерация формул и упражнений, где первое число указывает номер параграфа, а второе — номер формулы (упражнения); при ссылке на формулу (упражнение) того же параграфа называется лишь второе число. Сравнительно сложную структуру имеет и список литературы, начинающийся с основополагающего сочинения Буля (к сожалению, пока не переведенного на русский язык) и с предшествующей книги автора. Затем идет (разумеется, весьма неполный) перечень общих сочинений по теории булевых структур, математической логике и теории вероятностей, довольно условно разбитый на три группы, в связи с чем в этой части списка литературы пришлось прибегнуть к двойной нумерации входящих в нее книг. Наконец, последнюю часть списка литературы составляют работы, на которые в тексте книги имеются прямые ссылки.

В заключение мне хочется поблагодарить за помощь моих друзей Л. И. Головину и Д. Б. Персица, прочитавших рукопись и помогавших в составлении окончательного варианта книги.

И. М. Яглом


Об авторе
Яглом Исаак Моисеевич
Выдающийся советский математик и педагог, автор популярных учебных и образовательных книг по математике. Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Свердловский университет в 1942 г.; учился в аспирантуре Московского государственного университета (который тогда переехал в Свердловск) под руководством заведующего кафедрой дифференциальной геометрии МГУ В. Ф. Кагана. Преподавал математику в различных вузах, в том числе в МГУ и Московском государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина.

Будучи блестящим ученым, педагогом и популяризатором науки, И. М. Яглом написал более 40 книг, многие из которых стали классическими не только в нашей стране, но и за рубежом. Он один из соавторов знаменитого трехтомника «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», ставшего на долгие годы основным руководством для многих любителей математики. Кроме популярных математических задачников и пособий, И. М. Яглом выпустил ряд работ по истории математики, в которых исследовались связи математики с естественными и гуманитарными науками, а также ее роль в жизни общества.