Обложка Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики
Id: 262384
430 руб.

Курс теории вероятностей и математической статистики. Изд. стереотип.

Аннотация

В основу книги положен годовой курс лекций, читавшихся автором в течение ряда лет на отделении математики механико-математического факультета МГУ. Основные понятия и факты теории вероятностей вводятся первоначально для конечной схемы. Математическое ожидание в общем случае определяется так же, как интеграл Лебега, однако у читателя не предполагается знание никаких предварительных сведений об интегрировании по Лебегу.

В книге содержатся ...(Подробнее)следующие разделы: независимые испытания и цепи Маркова, предельные теоремы Муавра—Лапласа и Пуассона, случайные величины, характеристические и производящие функции, закон больших чисел, центральная предельная теорема, основные понятия математической статистики, проверка статистических гипотез, статистические оценки, доверительные интервалы.

Для студентов младших курсов университетов и втузов, изучающих теорию вероятностей.


Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию.............. 7
Глава 1. Вероятностное пространство ........ 9
§ 1. Предмет теории вероятностей......... 9
§ 2. События.................. 12
§ 3. Вероятностное пространство . ......... 16
§ 4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности
§ 5 Геометрические вероятности........... 23
Задачи..................... 2
Глава 2. Условные вероятности. Независимость .... 26
§ 6. Условные вероятности............. 26
§ 7. Формула полной вероятности.......... 28
§ 8. Формулы Байеса............... 29
§ 9. Независимость событий............ 30
§ 10. Независимость разбиений, алгебр и а-алгебр .... 33
§ 11. Независимые испытания............ 35
Задачи..................... 39
Глава 3. Случайные величины (конечная схема) .... 41
§ 12. Случайные величины. Индикаторы....... 41
§ 13. Математическое ожидание.......... . 45
§ 14. Многомерные законы распределения....... 50
§ 15. Независимость случайных величин........ 53
§ 16. Евклидово пространство случайных величин .... 55
§ 17. Условные математические ожидания....... 59
§ 18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел .... 61
Задачи..................... 64
Глава 4. Предельные теоремы в схеме Бернулли ... 65
§ 19 Биномиальное распределение.......... 65
§ 20. Теорема Пуассона............. 66
§ 21 Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа . . 70
§ 22. Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа 71
§ 23. Применения предельных теорем 73
Задачи.....................76
Глава 5. Цепи Маркова .............77
§ 24. Марковская зависимость испытаний.......77
§ 25. Переходные вероятности............78
§ 26. Теорема о предельных вероятностях........80
Задачи.....................83
Глава 6. Случайные величины (общий случай) ..... 84
§ 27. Случайные величины и их распределения..... 84
§ 28. Многомерные распределения.......... 92
§ 29, Независимость случайных величин........ 96
Задачи..................... 98
Глава 7. Математическое ожидание ......... 100
§ 30, Определение математического ожидания..... 100
§ 31. Формулы для вычисления математического ожидания 108
Задачи..................... 115
Глава 8. Производящие функции ..........117
§ 32. Целочисленные случайные величины и их производящие функции................ 117
§ 33. Факториальные моменты............ 118
§ 34. Мультипликативное свойство.......... 120
§ 35. Теорема непрерывности............ 123
§ 36. Ветвящиеся процессы............. 125
Задачи..................... 127
Глава 9. Характеристические функции ........ 129
§ 37. Определение и простейшие свойства характеристических функций................129
§ 38. Формулы обращения для характеристических функций 136
§ 39. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения............140
Задачи.....................145
Глава 10. Центральная предельная теорема ......146
§ 40. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых.......146
§ 41. Теорема Ляпунова.............. 147
§ 42. Применения центральной предельной теоремы .... 150
Задачи.....................153
Глава 11. Многомерные характеристические функции . , .154
§ 43. Определение и простейшие свойства...... . 154
§ 44. Формула обращения............. 158
§ 45. Предельные теоремы для характеристических функций 159
§ 46. Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения.............. 164
Задачи..................... 173
Глава 12. Усиленный закон больших чисел ........174
§ 47. Лемма Бореля — Кантелли. Закон «О или 1» Колмогорова...................174
§ 48 Различные виды сходимости случайных величин . . .177
§ 49. Усиленный закон больших чисел.........181
Задачи.....................188
Глава 13. Статистические данные .......... 189
§ 50. Основные задачи математической статистики .... 189
§ 51 Выборочный метод.............. 190
Задачи..................... 194
Глава 14. Статистические критерии ..........195
§ 52. Статистические гипотезы . ,..........195
§ 53. Уровень значимости и мощность критерия.....197
§ 54. Оптимальный критерий Неймана — Пирсона . . . .199
§ 55. Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений 201
§ 56. Критерии для проверки сложных гипотез . . . ... 2)1
§ 57. Непараметрические критерии..........206
Задачи.....................211
Глава 15. Оценки параметров ............213
§ 58. Статистические оценки и их свойства.......213
§ 59. Условные законы распределения.........216
§ 60, Достаточные статистики............220
§ 61. Эффективность оценок.............223
§ 62. Методы нахождения оценок.......... 228
Задачи.....................232
Глава 16. Доверительные интервалы . • . . ......234
§ 63. Определение доверительных интервалов......234
§ 64. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения .............. 236
§ 65. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли • , , ,...........240
Задачи.....................244
Ответы к задачам..............245
Таблицы нормального распределения...........251
Литература.....................253
Предметный указатель ................254

Предисловие к первому изданию

Первоначальный курс теории вероятностей и математической статистики должен удовлетворять двум условиям. С одной стороны, он должен помогать развитию теоретико-вероятностной интуиции, т. е. умения строить математические модели, правильно отражающие те или иные стороны реальных случайных явлений. При этом надо иметь в виду, что теория вероятностей и математическая статистика тесно связаны с различными приложениями, с некоторыми из которых выпускникам математических отделений университетов с большой вероятностью придется столкнуться в своей работе, С другой стороны, теория вероятностей должна развиваться как математическая наука, построенная на точных определениях и аксиомах. Однако многие существующие руководства по теории вероятностей придерживаются одной из двух крайностей. В одних курсах, нацеленных на приложения, нет четкого разделения реальных случайных явлений и их математических моделей. В частности, важное в теории вероятностей понятие независимости молчаливо смешивается с причинной независимостью реальных явлений. Другие курсы посвящены, главным образом, строгому изложению математических основ теории вероятностей, поэтому они либо очень велики по объему, либо в значительной степени опираются на такие понятия функционального анализа, как мера и интеграл Лебега, и поэтому не могут быть использованы при обучении студентов младших курсов.

Содержание данного учебника соответствует годовому курсу теории вероятностей и математической статистики, который автор читал в течение ряда лет на механико-математическом факультете Московского государственного университета студентам-математикам 4-го и 5-го семестров. Для преодоления указанных выше трудностей автор придерживается некоторого компромиссного направления. Первоначально многие теоретико-вероятностные понятия введены в простом случае конечного вероятностного пространства. Приведен ряд примеров, в которых указана связь вводимых математических понятий с теми или иными свойствами реальных явлений. Общий случай основан на способе изложения, который связан с введением интеграла Лебега без теории меры. На 4-м семестре, когда студенты еще не знакомы с соответствующими понятиями функционального анализа, аксиоматически вводится понятие вероятностной меры и на ее основе определяется математическое ожидание как интеграл Лебега. Теорема Каратеодори о продолжении меры формулируется без доказательства. Понятия условного распределения вероятностей и условного математического ожидания даны не в полном объеме, а лишь в простых случаях дискретных и абсолютно непрерывных распределений. В основном автор старался опираться лишь на знание студентами классического математического анализа.

Главы 1—5 связаны в основном с конечными вероятностными пространствами. В этих главах введены основные понятия вероятности, математического ожидания, независимости, случайной величины. Распространение этих понятий на общий случай дано в главах 6—12. Главы 13—16 посвящены некоторым задачам математической статистики. Каждая глава сопровождается небольшим количеством задач. Однако автор предполагает, что читатель использует какой-нибудь задачник (например, Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей.— М.: Наука, 1980),

Москва, май 1981 г.

Б.А. Севастьянов


Об авторе
Севастьянов Борис Александрович
Математик, доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН СССР и РАН. В 1948 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова с отличием и был рекомендован в аспирантуру в Институт математики и механики МГУ. Студентом 4-го курса посещал семинар А. Н. Колмогорова, под руководством которого выполнил дипломную работу. С 1948 г. работал в МИАН имени В. А. Стеклова. С 1952 г. кандидат физико-математических наук, в 1968 г. защитил докторскую диссертацию. В 1969–1984 гг. — профессор кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. С 1984 г. — член-корреспондент отделения математики (специальность «математика, в том числе прикладная математика») Академии наук СССР.

В область научных интересов Б. А. Севастьянова входили теория ветвящихся случайных процессов, случайные размещения, теория массового обслуживания, статистические критерии, дискретные задачи теории вероятностей. На мехмате МГУ он читал курсы «Теория вероятностей», «Дополнительные главы математической статистики», «Случайные величины и распределение вероятностей». Награжден орденами «Знак Почета» (1976), Трудового Красного Знамени (1982). Лауреат Государственной премии СССР (1990).


Страницы (пролистать)