Обложка Киселев А.П. Элементы алгебры и анализа. Часть 1: Элементы алгебры
Id: 262341
499 руб.

Элементы алгебры и анализа.
Часть 1: ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ Ч.1
Элементы алгебры и анализа. Часть 1: Элементы алгебры

URSS. 2021. 400 с. ISBN 978-5-9710-7653-7.

Аннотация

Учебники, написанные выдающимся педагогом А. П. Киселевым, выдержали множество переизданий и на долгое время стали классическими для преподавания математики в российской и советской школе. Отказ от обучения «по Киселеву», по мнению многих учителей, ныне привел к значительному падению качества знаний школьников в этой области.

Книга «Элементы алгебры» значительно отличается от классической книги «Элементарная алгебра», которая многократно ...(Подробнее)совершенстовалась и переиздавалась, в итоге была официально утверждена (под названием «Алгебра») как единственный учебник по алгебре в советской средней школе, и под этим названием продолжает переиздаваться в нашем издательстве (Киселев А. П. Алгебра. Ч. 1. 176 с.; Ч. 2. 280 с. М.: URSS).

Материал в «Элементах» был заново переработан в сторону его лучшего распределения. Некоторые разделы упрощены, некоторые дополнены. В целом весь материал значительно расширен и дополнен новыми сведениями, в том числе предназначенными для углубленного изучения предмета. В книге содержится материал по базовым понятиям алгебры, таким как тождественные преобразования, функции, уравнения, неравенства, прогрессии, а также дополнения в виде раздела, посвященного соединениям и биному Ньютона, и таблиц четырехзначных квадратных корней, логарифмов и антилогарифмов.

Продолжением книги «Элементы алгебры» служит вторая часть учебника — «Элементы анализа», посвященная базовым понятиям анализа.

Отдельным изданием выходит книга «Задачи и упражнения к "Элементам алгебры и анализа"» (М.: URSS), в которой содержатся составленные А. П. Киселевым многочисленные упражнения и задачи.

Издание предназначено для учащихся средней школы, желающих усовершенствовать свои знания в области алгебры, студентов, практикующих педагогов, а также всех интересующихся математикой.


Содержание
От издательства 15
Предисловие к первому изданию 16
Предисловие к пятому изданию 20
Раздел I. Предварительные понятия 22
Глава 1. Система обозначений в алгебре 22
§ 1. Употребление букв 22
§ 2. Алгебраическое выражение 24
§ 3. Действия, рассматриваемые в алгебре 24
§ 4. Знаки, употребляемые в алгебре 25
§ 5. Исторические сведения 26
Глава 2. Свойства первых четырех арифметических действий 28
§ 6. Сложение 28
§ 7. Вычитание 29
§ 8. Умножение 30
§ 9. Деление 33
§ 10. Замечание 36
§ 11. Применения свойств действий 36
Глава 3. Положительные и отрицательные числа 38
1. Понятие о величинах, которые можно понимать в двух противоположных смыслах 38
§ 12. Задачи 38
§ 13. Другие величины, которые можно понимать в двух противоположных смыслах 40
§ 14. Положительные и отрицательные числа 40
§ 15. Изображение чисел с помощью отрезков прямой 41
2. Сложение 43
§ 16. Задача 43
§ 17. Сложение двух чисел 43
§ 18. Другое выражение правил сложения 44
§ 19. Сложение трех и более чисел 45
3. Вычитание 45
§ 20. Задача 45
§ 21. Нахождение разности как одного из двух слагаемых 46
§ 22. Правило вычитания 47
§ 23. Формулы двойных знаков 48
§ 24. Алгебраическая сумма и разность 48
4. Главнейшие свойства сложения и вычитания 49
§ 25. 49
5. Умножение 51
§ 26. Определение 51
§ 27. Вывод правила умножения 52
§ 28. Задача 52
§ 29. Произведение трех и более чисел. Знак произведения 56
6. Деление 57
§ 30. Определение 57
§ 31. Вывод правила деления 57
§ 32. Другое правило деления 58
§ 33. Случаи, когда делимое или делитель равны нулю 58
7. Некоторые свойства умножения и деления 59
§ 34. 59
Глава 4. Понятие об уравнении 63
§ 35. Равенства и их свойства 63
§ 36. Тождество 64
§ 37. Уравнение 65
§ 38. Примеры решения других уравнений 66
§ 39. Два основных свойства уравнения 67
§ 40. Члены уравнения 67
§ 41. Перенос членов уравнения 67
Раздел II. Тождественные преобразования 69
Глава 1. Многочлен и одночлен 69
§ 42. Многочлен и одночлен 69
§ 43. Коэффициент 70
§ 44. Свойства многочлена 71
§ 45. Приведение подобных членов 72
Глава 2. Алгебраическое сложение и вычитание 73
§ 46. Что представляют собой алгебраические действия 73
§ 47. Сложение одночленов 73
§ 48. Сложение многочленов 74
§ 49. Вычитание одночленов 75
§ 50. Вычитание многочленов 75
§ 51. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или «-» 76
§ 52. Заключение в скобки части многочлена 76
Глава 3. Алгебраическое умножение 78
§ 53. Умножение степеней одного и того же числа 78
§ 54. Умножение одночленов 78
§ 55. Умножение многочлена на одночлен 79
§ 56. Умножение многочлена на многочлен 80
§ 57. Многочлен, упорядоченный по степеням переменной 82
§ 58. Умножение упорядоченных многочленов 82
§ 59. Старший и низший члены произведения 83
§ 60. Число членов произведения 84
§ 61. Некоторые формулы умножения двучленов 84
§ 62. Геометрическое истолкование некоторых из этих формул 85
§ 63. Применение 87
Глава 4. Алгебраическое деление 88
§ 64. Деление степеней одного и того же числа 88
§ 65. Нулевой показатель 88
§ 66. Деление одночленов 89
§ 67. Признаки невозможности деления одночленов 89
§ 68. Деление многочлена на одночлен 90
§ 69. Деление одночлена на многочлен 91
§ 70. Деление многочлена на многочлен 91
§ 71. Примеры 93
§ 72. Признаки невозможности деления многочленов 93
Глава 5. Разложение на множители 96
§ 73. Предварительное замечание 96
§ 74. Разложение целых одночленов 96
§ 75. Разложение многочленов 96
Глава 6. Алгебраические дроби 99
§ 76. Отличие алгебраической дроби от арифметической 99
§ 77. Основное свойство дроби 99
§ 78. Приведение членов дроби к целому виду 100
§ 79. Замена знаков у членов дроби 101
§ 80. Сокращение дробей 101
§ 81. Приведение дробей к общему знаменателю 102
§ 82. Сложение и вычитание дробе4й 103
§ 83. Умножение дробей 104
§ 84. Деление дробей 105
§ 85. Замечания 106
§ 86. Освобождение уравнения от знаменателей 106
Глава 7. Отношение и пропорция 108
§ 87. Отношение 108
§ 88. Зависимость между отношением и его членами 109
§ 89. Приведение членов отношения к целому виду 110
§ 90. Сокращение отношения 110
§ 91. Обратные отношения 110
§ 92. Пропорция 110
§ 93. Основное свойство числовой пропорции 111
§ 94. Обратное предложение 112
§ 95. Следствие 113
§ 96. Среднее геометрическое 113
§ 97. Среднее арифметическое 114
§ 98. Производные пропорции 114
§ 99. Свойство равных отношений 116
§ 100. Арифметическое применение (пропорциональное деление) 117
§ 101. Геометрическое применение 117
Глава 8. Пропорциональная зависимость (прямая и обратная) 119
§ 102. Пропорциональная зависимость 119
§ 103. Выражение пропорциональной зависимости формулой 119
§ 104. Обратная пропорциональная зависимость 120
§ 105. Выражение обратной пропорциональной зависимости формулой 121
Раздел III. Графическое изображение функций 124
Глава 1. Понятие о функции и координатах 124
§ 106. Понятие о функции 124
§ 107. Графики температуры, влажности и пр. 125
§ 108. Координаты точки 127
Глава 2. График пропорциональной зависимости (прямой и обратной) 131
§ 109. График пропорциональной зависимости 131
§ 110. Замечание 132
§ 111. Изменение положения прямой в зависимости от коэффициента пропорциональности 133
§ 112. График обратной пропорциональности 135
Глава 3. График двучлена первой степени 138
§ 113. Задача 138
§ 114. Двучлен первой степени 138
§ 115. График двучлена первой степени 139
§ 116. Изменение двучлена y=ax+b с изменением x 141
§ 117. Замечания 142
§ 118. Построение прямой y=ax+b по двум точкам 143
§ 119. Графическое решение уравнения 144
Раздел IV. Дополнительные сведения об уравнениях. Неравенства 146
Глава 1. Пересмотр двух основных свойств уравнения 146
§ 120. Предварительное разъяснение 146
§ 121. Первое из указанных свойств уравнений 147
§ 122. Второе свойство уравнений 148
§ 123. Умножение или деление частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение 149
§ 124. Посторонние корни 150
Глава 2. Решения положительные, отрицательные, нулевые и другие. Буквенные уравнения 152
§ 125. Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным 152
§ 126. Положительное решение 152
§ 127. Отрицательное решение 153
§ 128. Нулевое решение 154
§ 129. Случай, когда уравнение не имеет корня 154
§ 130. Бесконечное решение 155
§ 131. Неопределенное решение 156
§ 132. Графическое истолкование решения уравнения ax=b 157
§ 133. Буквенные уравнения 158
Глава 3. Неравенства первой степени 160
§ 134. Определение понятий «больше» и «меньше» 160
§ 135. Свойства неравенств 161
§ 136. Решение неравенства первой степени с одним неизвестным 163
Раздел V. Системы уравнений первой степени 165
Глава 1. Система двух уравнений с двумя неизвестными 165
§ 137. Задача 165
§ 138. Нормальный вид уравнения первой степени с двумя неизвестными 166
§ 139. Неопределенность одного уравнения с двумя неизвестными 167
§ 140. Система уравнений 168
§ 141. Способ подстановки 169
§ 142. Способ сложения или вычитания 170
§ 143. Графическое решение 171
Глава 2. Система трех уравнений с тремя неизвестными 174
§ 144. Нормальный вид уравнения первой степени с тремя неизвестными 174
§ 145. Неопределенность одного и двух уравнений с тремя неизвестными 174
§ 146. Система трех уравнений с тремя неизвестными 175
§ 147. Способ подстановки 175
§ 148. Способ сложения или вычитания 176
Глава 3. Некоторые особые случаи систем уравнений 178
§ 149. Случай, когда не все неизвестные входят в каждое из данных уравнений 178
§ 150. Случай, когда неизвестные входят в виде дробей 1x,1y и т. д. 179
§ 151. Случай, когда полезно все данные уравнения сложить 180
Раздел VI. Степени и корни 181
Глава 1. Возведение в квадрат одночленных алгебраических выражений 181
§ 152. Определение степени 181
§ 153. Правило знаков при возведении в квадрат 181
§ 154. Возведение в квадрат произведения, степени и дроби 182
Глава 2. Возведение в квадрат многочлена 184
§ 155. Вывод формулы 184
§ 156. Замечание о знаках 185
§ 157. Сокращенное возведение в квадрат целых чисел 185
Глава 3. Графическое изображение функций y=x2 и y=ax2 188
§ 158. График функции y=x2 188
§ 159. График функции вида y=ax2 190
Глава 4. Возведение в куб и в другие степени одночленных алгебраических выражений 193
§ 160. Правило знаков при возведении в степень 193
§ 161. Возведение в степень произведения, степени и дроби 193
Глава 5. Графическое изображение функций y=x3 и y=ax3 195
§ 162. График функции y=x3 195
§ 163. График функции y=ax3 197
Глава 6. Основные свойства извлечения корня 198
§ 164. Задачи 198
§ 165. Определение корня 198
§ 166. Арифметический корень 199
§ 167. Алгебраический корень 200
§ 168. Извлечение корня из произведения, из степени и из дроби 201
§ 169. Простейшие преобразования радикалов 203
Раздел VII. Извлечение квадратного корня из чисел 205
Глава 1. Извлечение из данного целого числа наибольшего целого квадратного корня 205
§ 170. Предварительные замечания 205
§ 171. Извлечение корня из числа, меньшего 10 000, но большего 100 205
§ 172. Извлечение корня из числа, большего 10 000 208
§ 173. Число цифр корня 210
Глава 2. Извлечение приближенных квадратных корней из целых и дробных чисел 211
§ 174. Признаки точного квадратного корня 211
§ 175. Приближенный корень с точностью до 1 211
§ 176. Приближенный корень с точностью до 110 212
§ 177. Приближенный квадратный корень с точностью до 1100, до 11000 и т. д. 214
§ 178. Описание таблицы квадратных корней 216
§ 179. Извлечение квадратных корней из обыкновенных дробей 218
Глава 3. График функции x=y 220
§ 180. Обратная функция 220
§ 181. График функции y=x 220
§ 182. Соотношение между графиками прямой и обратной функций 222
Раздел VIII. Действия над иррациональными числами и выражениями 223
Глава 1. Понятие об иррациональном числе 223
§ 183. Соизмеримые и несоизмеримые с единицей значения величины 223
§ 184. Понятие об измерении 223
§ 185. Иррациональные числа 225
§ 186. Приближенные значения иррационального числа 226
§ 187. Определение действий над иррациональными числами 226
Глава 2. Иррациональные значения радикалов 229
§ 188. Приближенные корни любой степени 229
§ 189. Иррациональное значение корня 230
Глава 3. Понятие о приближенных вычислениях 232
§ 190. Предварительное замечание 232
§ 191. Приближения с недостатком и с избытком 232
§ 192. Десятичные приближения 233
§ 193. Погрешность приближенной суммы 234
§ 194. Погрешность приближенной разности 236
§ 195. Погрешность приближенного произведения 237
§ 196. Сокращенное умножение 238
§ 197. Погрешность приближенного частного 241
§ 198. Сокращенное деление 242
§ 199. Замечание 245
§ 200. Задача на приближенные вычисления 245
Глава 4. Преобразование иррациональных выражений 247
§ 201. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения 247
§ 202. Основное свойство радикала 247
§ 203. Некоторые преобразования радикалов 248
§ 204. Подобные радикалы 249
§ 205. Действия над иррациональными одночленами 249
§ 206. Действия над иррациональными многочленами 251
§ 207. Освобождение знаменателя дроби от радикалов 251
Раздел IX. Некоторые уравнения степени выше первой 254
Глава 1. Квадратное уравнение 254
§ 208. Задача 254
§ 209. Нормальный вид квадратного уравнения 254
§ 210. Решение неполных квадратных уравнений 255
§ 211. Двучлен второй степени 257
§ 212. График двучлена второй степени 258
§ 213. Корни неполных квадратных уравнений в графическом изображении 260
§ 214. Примеры решения полных квадратных уравнений 261
§ 215. Формула корней приведенного квадратного уравнения 262
§ 216. Общая формула корней квадратного уравнения 264
§ 217. Упрощение формулы, когда b — четное число 265
§ 218. Число корней квадратного уравнения 265
§ 219. Два свойства корней квадратного уравнения 265
Глава 2. Трехчлен второй степени и его графическое изображение 268
§ 220. Трехчлен второй степени 268
§ 221. Разложение трехчлена x2+px+q на множители первой степени относительно x 268
§ 222. Разложение трехчлена ax2+bx+c 271
§ 223. Следствие 272
§ 224. График трехчлена второй степени 272
§ 225. Замечание 275
§ 226. Графическое решение полного квадратного уравнения 276
§ 227. Наибольшее и наименьшее значение трехчлена 278
§ 2281. Изменение трехчлена при изменении x 279
§ 2282. Решение неравенства второй степени с одним неизвестным 281
Глава 3. Биквадратное уравнение и некоторые другие 284
§ 229. Биквадратное уравнение 284
§ 230. Уравнения, у которых левая часть разлагается на множители, а правая — нуль 285
Глава 4. Иррациональные уравнения 287
§ 231. Задача 287
§ 232. Посторонние решения 288
§ 233. Возведение частей уравнения в квадрат может ввести посторонние решения 288
§ 234. Освобождение уравнения от двух квадратных радикалов 289
Глава 5. Системы уравнений второй степени 291
§ 235. Степень уравнения с несколькими неизвестными 291
§ 236. Система двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое — второй 291
§ 237. Система двух уравнений, из которых каждое второй степени 292
§ 238. Графический способ решения 293
Раздел X. Прогрессии 296
Глава 1. Арифметическая прогрессия 296
§ 239. Задача 296
§ 240. Определение 297
§ 241. Формула любого члена арифметической прогрессии 297
§ 242. Формула суммы всех членов арифметической прогрессии 299
§ 243. Замечание 301
§ 244. Формула суммы квадратов чисел натурального ряда 301
Глава 2. Геометрическая прогрессия 303
§ 245. Задача 303
§ 246. Определение 304
§ 247. Сравнение геометрической прогрессии с арифметической прогрессией 304
§ 248. Формула любого члена геометрической прогрессии 305
§ 249. Формула суммы всех членов геометрической прогрессии 307
§ 250. Пример задачи на геометрическую прогрессию 308
Глава 3. Бесконечные прогрессии 309
§ 251. Некоторые свойства таких прогрессий 309
§ 252. Понятие о пределе 311
§ 253. Формула предела суммы убывающей геометрической прогрессии 313
§ 254. Применение геометрической прогрессии к десятичным периодическим дробям 314
Раздел XI. Обобщение понятия о показателях 316
Глава 1. Целые показатели 316
§ 255. Свойства целых положительных показателей 316
§ 256. Отрицательные целые показатели 317
§ 257. Действия над степенями с отрицательными показателями 318
Глава 2. Дробные показатели 320
§ 258. В каком смысле употребляются дробные показатели 320
§ 259. Основное свойство дробного показателя 321
§ 260. Действия над степенями с дробными показателями 321
§ 261. Примеры на действия с дробными и отрицательными показателями 322
Глава 3. Некоторые свойства степени с рациональным показателем 323
§ 262. 323
Глава 4. Понятие об иррациональном показателе 328
§ 263. 328
Глава 5. Показательная функция 330
§ 264. Определение 330
§ 265. График показательной функции 331
§ 266. Свойства показательной функции 333
Раздел XII. Логарифмы 334
Глава 1. Общие свойства логарифмов 334
§ 267. Два действия, обратные возведению в степень 334
§ 268. Определение логарифма 335
§ 269. Логарифмическая функция и ее график 336
§ 270. Свойства логарифмической функции 338
§ 271. Понятие о значении логарифмических таблиц 339
§ 272. Нахождение логарифма произведения, частного, степени и корня 340
§ 273. Логарифмирование алгебраического выражения 343
§ 274. Замечания 343
Глава 2. Свойства десятичных логарифмов 344
§ 275. Шесть свойств десятичных логарифмов 344
§ 276. Следствия 348
Глава 3. Устройство и использование четырехзначных таблиц 350
§ 277. Системы логарифмов 350
§ 278. Преобразование отрицательного логарифма в такой, у которого мантисса положительна, и обратное преобразование 350
§ 279. Описание четырехзначных таблиц 351
§ 280. Замечание 353
§ 281. Предел погрешности приближенного логарифма 354
§ 282. Нахождение числа по данному логарифму (таблица антилогарифмов) 355
§ 283. Замечание 356
§ 284. Предел погрешности найденного числа 357
§ 285. Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками 357
§ 286. Замена вычитаемых логарифмов слагаемыми 358
§ 287. Примеры вычислений 359
Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения 362
§ 288. 362
Глава 5. Сложные проценты, срочные уплаты и срочные взносы 364
§ 289. Основная задача на сложные проценты 364
§ 290. Основная задача на срочные уплаты 365
§ 291. Основная задача на срочные взносы 367
Раздел XIII. Соединения и бином Ньютона 369
Глава 1. Соединения 369
§ 292. Определение 369
§ 293. Размещения 369
§ 294. Задачи 372
§ 295. Перестановки 372
§ 296. Задачи 373
§ 297. Сочетания 373
§ 298. Задачи 374
§ 299. Другой вид формулы сочетаний 374
§ 300. Свойство сочетаний 374
Глава 2. Бином Ньютона 376
§ 301. Произведение биномов, отличающихся только вторыми членами 376
§ 302. Формула бинома Ньютона 378
§ 303. Свойства бинома Ньютона 378
§ 304. Применение формулы бинома к многочлену 381
§ 305. Сумма одинаковых степеней членов арифметической прогрессии 381
§ 306. Сумма одинаковых степеней чисел натурального ряда 382
Таблицы четырехзначных квадратных корней, логарифмов и антилогарифмов 386

Об авторе
Киселев Андрей Петрович
Выдающийся российский и советский педагог-математик и методист. Родился в Мценске (Орловская губерния), в бедной мещанской семье. Закончил с золотой медалью Орловскую классическую гимназию. После окончания в 1875 г. физико-математического факультета Петербургского университета до 1891 г. работал преподавателем математики, механики и черчения в Воронежском реальном училище. В 1892–1901 гг. преподавал математику и физику в Воронежском Михайловском кадетском корпусе. Выйдя в отставку в 1901 г., занимался главным образом написанием и улучшением своих учебников по математике и физике. После Великой Октябрьской революции вернулся к преподавательской деятельности, одновременно продолжая работать над совершенствованием своих учебников. За выдающуюся педагогическую деятельность А. П. Киселев в 1933 г. был награжден орденом Трудового Красного Знамени.

Первый учебник "Систематический курс арифметики для средних учебных заведений" А. П. Киселев издал за собственные деньги в 1884 г.; в нем ярко выражено кредо автора: "Точность формулировок и установление понятий, простота в рассуждениях, сжатость в изложении". В 1888 г. вышла "Элементарная алгебра", а в 1892 г. — "Элементарная геометрия". Эти книги отличались от существовавших в то время учебников более высоким теоретическим уровнем, последовательностью, ясностью и краткостью изложения. Они стали основными учебниками по математике в средних учебных заведениях. Всего учебники А. П. Киселева по арифметике, алгебре, геометрии и другим областям математики, а также по физике выдержали более трехсот изданий общим тиражом в несколько сотен миллионов экземпляров.