Предисловие к "Лекциям" |
Предисловие к двенадцатому т\'ому |
1 | Интуиция как источник парадоксов |
| 1.1. | Противоречия "в" или "вне" |
| 1.2. | Существует ли логический дальтонизм |
| 1.3. | Инерция и неизобретательность |
| 1.4. | Иллюзии неразрешимости |
| 1.5. | Движение по накатанной |
| 1.6. | Портрет интуиции |
2 | Числа и множества |
| 2.1. | Актуальная бесконечность |
| 2.2. | Аксиома выбора |
| 2.3. | Парадокс Банаха--Тарского |
| 2.4. | Химеры на окружности |
| 2.5. | Разрезание группы поворотов |
| 2.6. | Дробление орбит и финиш |
| 2.7. | Разрывная линейная функция |
| 2.8. | Конструктивные числа |
| 2.9. | Последовательность Шпеккера |
| 2.10. | Замечания и дополнения |
3 | Мера и категория |
| 3.1. | Меры Жордана, Бореля и Лебега |
| 3.2. | Осечки наивного подхода |
| 3.3. | К определению линии и кривые Пеано |
| 3.4. | Множества Витали и Бернштейна |
| 3.5. | Категории Бэра |
| 3.6. | Измеримые функции |
| 3.7. | Факультативная экзотика |
4 | Классический анализ |
| 4.1. | Непрерывные странности |
| 4.2. | О несбыточности намерений |
| 4.3. | Скрытые "изъяны" гомеоморфизмов |
| 4.4. | Дифференциальные свойства |
| 4.5. | Интегрирование |
| 4.6. | Повторные пределы |
| 4.7. | Замечания и дополнения |
5 | Метрические пространства |
| 5.1. | Конечномерный прецедент |
| 5.2. | Циклические многогранники |
| 5.3. | Метрика и топология |
| 5.4. | О бесконечной размерности |
| 5.5. | Линейные операторы |
| 5.6. | Слабая сходимость |
| 5.7. | Полная непрерывность |
| 5.8. | Спектральные свойства |
| 5.9. | Обусловленность и спектр |
6 | Теория вероятностей |
| 6.1. | Простейшие неполадки |
| 6.2. | Как теория создает заблуждения |
| 6.3. | Подоплека независимости |
| 6.4. | Корреляционные ляпсусы |
| 6.5. | Проблемы в основаниях |
| 6.6. | Сходимость случайных величин |
7 | Алгоритмическая неразрешимость |
| 7.1. | Алгоритмы и вычислимость |
| 7.2. | Перечислимость и разрешимость |
| 7.3. | Диофантовы множества |
| | О массовых алгоритмах |
| 7.4. | Теоремы Г\"еделя |
| 7.5. | Неформализуемость истины |
| 7.6. | Неаксиоматизируемость арифметики |
| 7.7. | Универсальные функции и нумерации |
| 7.8. | Теорема Райса |
8 | Дискретная проблематика |
| 8.1. | О разрешенных инструментах |
| 8.2. | Парадокс Сколема |
| 8.3. | Конечная природа счетности |
| 8.4. | Арифметика Пеано |
| 8.5. | Аксиоматика Цермело--Френкеля |
| 8.6. | Гипотеза континуума |
| 8.7. | P против NP |
| 8.8. | Сюрреалистические достижения |
9 | Динамические системы |
| 9.1. | Дуализм описания |
| 9.2. | Устойчивость равновесия |
| 9.3. | Связь локального с глобальным |
| 9.4. | Бифуркациии |
| 9.5. | Феномен вибрации |
| 9.6. | Внутренний резонанс |
| 9.7. | Адиабатические процессы |
| 9.8. | Управляемость |
| 9.9. | Аттракторы и фракталы |
| 9.10. | Волны и солитоны |
10 | Игры и теория голосования |
| 10.1. | Сюрпризы смешанных стратегий |
| 10.2. | Антагонистические игры |
| 10.3. | Нэшевские решения |
| 10.4. | Теорема Эрроу |
11 | Оптимизация |
| 11.1. | Морсовские седла |
| 11.2. | Взаимодействие экстремумов |
| 11.3. | Вариационное исчисление |
12 | Перечень фактов и определений |
| 12.1. | Интуиция как источник парадоксов |
| 12.2. | Числа и множества |
| 12.3. | Мера и категория |
| 12.4. | Классический анализ |
| 12.5. | Метрические пространства |
| 12.6. | Теория вероятностей |
| 12.7. | Алгоритмическая неразрешимость |
| 12.8. | Дискретная проблематика |
| 12.9. | Динамические системы |
| 12.10. | Игры и теория голосования |
| 12.11. | Оптимизация |
Сокращения и обозначения |
Литература |
Предметный указатель |
В математике -- что-то не так. Проще сказать, конечно,
что все в порядке. Но вы-то чувствуете, что чего-то не хватает.
То ли -- в избытке.
Для нормального изучения любого математического предмета
необходимы, по крайней мере, 4 ингредиента:
1) живой учитель;
2) обыкновенный подробный учебник;
3) рядовой задачник;
4) учебник, освобожденный от рутины,
но дающий общую картину, мотивы, связи, "что зачем".
До четвертого пункта у системы образования руки не доходили.
Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев -- при параллельном исполнении функций
обыкновенного учебника. Акценты изНза перегрузки менялись,
и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая
результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог
объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе
задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.
"Лекции" ставят 4Нй пункт своей главной целью. Сопутствующая
идея -- экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций
о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20
томов может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью
математики, а не с перегрузкой деталями.
Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ "на всех" выглядит
наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид,
обнаженные конструкции доказательств, -- такого сорта книги
удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой
категории тратят массу сил и времени на освоение математических
секторов, лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же
ко многим проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая
быстро освоить новые области и освежить старые. Для начинающих
"короткие дороги" тем более полезны, поскольку облегчают
движение любыми другими путями.
В вопросе "на кого рассчитано", -- есть и другой аспект.
На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит
"на всех". Звучит странно, но речь не идет о регламентации
кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается
предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.
Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения
инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что
изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых
секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало кто
готов уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить всему -- надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой ли, хороший -- покажет время. Но в любом случае, это продукт нового
поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая
суть, -- но по-другому.
Предисловие к двенадцатому тому
Математика состоит из двух вещей -- теорем
и контрпримеров.
Д.Пойа
В этом мире между поворотными моментами все движется
по инерции. Так и математика течет в рутине эпизодов, однако
время от времени разбивается в фейерверк на крутых виражах. При
этом формообразующая роль противоречий и неожиданностей
не только управляет движением, но и питает эмоции, без которых
суть невидима.
Далее собраны факты и положения, рассеянные по другим томам
и территориям. В центре внимания -- осмысление, ибо цель состоит
не в том, чтобы удивить фактурой, -- а в том, чтобы уловить,
"какова роль, откуда проистекает и на что влияет". Акцент
делается на тех примерах, где суть противоречит либо
интуитивным представлениям, либо побочным эффектам образования
в виде порочных стереотипов мышления.
О загадке бестселлеров В.Босса
Книгу В.Босса "Интуиция и математика" я перечитал три раза! Потом
еще раз, чтобы разобраться,
в чем дело, но скрытых пружин так
и не нашел. Конечно, великолепный
подбор миниатюр, точный язык,
мягкий юмор, располагающая интонация, -- но все это вместе взятое
не объясняет результат даже наполовину.
Сын моего приятеля -- парню
14 лет -- выучил "Интуицию" почти
наизусть. Измучил родителей вопросами,
прочел гору дополнительной
литературы. Понятно -- особый
случай, но показательный! В целом
ситуация, безусловно, мягче. Однако
отзывы все положительные,
а процент восторженных -- удивителен
и необъясним.
"Лекции по математике" того же автора -- другое дело. Кое-кто
из моих коллег принял их в штыки,
поскольку система образования,
естественно, противится нововведениям.
Лишняя головная боль для
преподавателя. Тем не менее, в результате
итогового обсуждения -- первые
два тома "Лекций" пришли
к нам на отзыв -- В.Босс получил
высший бал.
Лично мне "Лекции" нравятся даже
больше, чем "Интуиция". Ясное
и продуманное изложение предмета.
Лаконичное до неправдоподобия,
но без ущерба для содержания.
Вот что по этому поводу пишет сам
автор: "Первая часть книги -- сжатый
курс матанализа. Чушь более
сотни страниц, но "все есть". Некоторые
детали, конечно, опускаются,
но это не потери, а приобретения.
Сбросив десяток лишних
килограмм, человек выглядит лучше,
живет интереснее. Так и здесь.
Многие подробности мешают видеть
суть. И освобождение от балласта,
как ни странно, позволяет
обсуждать принципиальные вопросы,
на которые в толстых учебниках
не хватает места".
Первый опыт показывает, что студенты -- и сильные, и слабые -- благосклонно
принимают "Лекции".
В этом еще одна удивительная, хотя
и понятная особенность изложения.
Короткий и ясный взгляд на предмет,
обсуждение мотивов, общая
картина, -- нужны всем.
Наконец, я бы не писал в газету,
если бы речь шла просто о хороших
и даже очень хороших книгах.
"Лекции" В.Босса, на мой взгляд,
явление неординарное. Дело в том,
что информационная лавина сейчас
многое меняет. В результате,
сложившаяся система образования
подходит к критической точке. Конечно,
как в доме накапливаются
ненужные вещи, так и в образовании
со временем укореняется масса
атавизмов. Но хуже другое. То,
без чего вроде бы нельзя обойтись,
перестает помещаться в рамки. Поэтому
необходимы новые подходы
и принципы. "Лекции" обеспечивают
прорыв в этом направлении.
Профессор МФТИ А.П.Афанасьев
-- Нельзя ли в двух словах о главной особенности "Лекций"?
-- Диалектика обучения -- во взаимодействии сторон. Понимание -- умение.
Суть -- детали. "Лекции" добиваются понимания.
-- Как?
-- Правдами и неправдами (улыбается). Очень важно, например, поместить проблему
"целиком в кадр". Чтобы видно было "сразу все".
-- Объяснениями на пальцах?
-- Когда как, только "коротко и ясно". Упрощения, недомолвки. Но главное -- обнажение сути.
-- А что посоветуете, если завтра экзамен, а в голове пусто?
-- Таблетку димедрола.
В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают
работать. Поэтому учить надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой
ли, хороший -- покажет время. Но в любом случае, это продукт нового
поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, -- но
по-другому.
В.Босс
Из отзывов читателей:
Чтобы усвоить предмет, надо освободить
его от деталей, обнажить центральные
конструкции, понять, как до теорем
можно было додуматься. Это тяжелая
работа, на которую не всегда
хватает сил и времени. В "Лекциях"
такая работа проделывается автором.
Популярность книг В.Босса легко
объяснима. Дается то, чего недостает:
общая картина, мотивация,
взаимосвязи. И самое главное --
легкость вхождения в любую тему.
Содержание продумано и хорошо
увязано. Громоздкие доказательства
ужаты до нескольких строчек.
Виртуозное владение языком.
Босс В.
Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».
Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.
Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».
За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.
Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.
Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».