|
Содержание
Введение
Математика как особый предмет обучения существует с тех пор, как началось школьное образование людей. В настоящее время ее изучают в школах всех стран мира сотни миллионов учащихся. И во все времена одним из основных понятий курса математики, изучению которого уделяется наибольшее внимание, является понятие числа. При этом изучение математики начинается именно со знакомства с простейшим видом чисел – натуральных, и с той первичной операцией, с которой они связаны – со счетом предметов. И это понятно, ибо без понятия числа невозможно изложить, а значит изучить все другие понятия математики. И не только математики. Без чисел, без своевременного ознакомления в том или ином объеме с числами и числовыми расчетами, невозможно изучение и всех других учебных предметов. О значении чисел и числовых расчетов люди отдали себе отчет уже давно. В трагедии древнегреческого поэта Эсхила (525–456 до н.э.) "Прикованный Прометей" излагается миф о том, как по велению верховного бога на Олимпе – громовержца Зевса – был прикован к скале на вечные мучения герой – титан Прометей. За что же разгневался Зевс на Прометея? За то, что он без разрешения Зевса научил людей всему тому, что облегчает горести жизни и делает ее счастливее и радостнее. Вот как об этом пишет Эсхил: "Послушайте, что смертным сделал я... Как видим, среди самых героических дел, приписываемых Прометею, поэт указывает, что он изобрел числа и научил людей считать, действовать с числами. Конечно, это миф. Не Прометей изобрел числа, не он научил людей считать, они сами постепенно этому научились на протяжении многих веков. Сама жизнь, деятельность людей заставила их создать, изобрести числа и научиться действовать с ними. Точно так же, как жизнь заставила людей создать, изобрести язык, письмо и научиться читать. Действительно, без чисел, без умений производить числовые расчеты, жизнь людей уже давно была бы, тем более сейчас, невозможна. В основе любой человеческой деятельности в той или иной степени, прямо или косвенно, лежат числовые расчеты, простые или не очень простые, менее сложные или очень сложные. Каждый человек, даже часто не замечая этого, все время имеет дело с числами, оперирует ими, производит какие-то числовые расчеты. И ведь если сегодня человечество достигло огромных успехов в развитии культуры, науки, техники и производства, то одним из главных инструментов, с помощью которого это было достигнуто, – это числа и числовые расчеты. Прямо и непосредственно связанным с понятием числа является понятие величины. Пожалуй, первые представления о величинах, о частном виде величин – количестве предметов в множестве, было освоено людьми еще раньше, чем представление о числах. А в дальнейшем историческое развитие понятия числа связано и обусловлено развитием понятия величины: по мере расширения понятия величины, введения новых видов величин, вводились, создавались, изобретались и новые классы чисел. Мы здесь все время говорим о создании, изобретении чисел, величин. Это нужно понимать не в обычном смысле, когда речь идет об изобретении машины или прибора каким-то человеком или группой лиц. Понятия числа и величины создавались, изобретались всем человечеством на протяжении многих тысяч лет. При этом число, величина – это понятия, т.е. формы мысли, отражающие в обобщенном виде определенные свойства и отношения реальных предметов. Это значит, что в природе нет ни чисел, ни величин, – они созданы, изобретены человеком, его умом, и существуют только в его сознании. Но эти не реальные, а мысленные создания человека, образуя его знания и умения, являются могучими орудиями, с помощью которых он создает все для себя и вокруг себя: материальную среду обитания, культуру, технику, производство. Следует отметить еще одну особенность понятий величины и числа: они являются общечеловеческими, одинаковыми для всех людей без различия наций и стран. Поэтому они служат единению людей, их взаимосвязи, а не разъединению, как язык, который разный у разных народов. А ведь на заре человечества первые представления о числах также имели разные формы выражения у разных народов. Но постепенно была выработана общечеловеческая форма их выражения, ибо ведь они отражают одни и те же свойства и отношения, независимо от особенностей страны или национальности. Поэтому математика, изучающая числа и величины, является общечеловеческой наукой. Нет национальной математики, нет русской или немецкой, японской или таджикской математики – есть единая математика – одна и та же для всего человечества, для всех стран и народов, хотя каждый народ вносил и вносит в ее развитие свой вклад, свою лепту, свои достижения. Математика изучает отдельные виды величин и чисел, дает им определения и устанавливает правила и способы действий с числами, методы и приемы измерения величин. Но математика не дает общего определения числа или величины вообще. На вопросы: "Что такое число?" или "Что такое величина?" (без указания их вида) математика не дает ответов. Известный математик А.Я.Хинчин, анализируя проблему изучения чисел в школе, писал: "Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. Историческая эволюция этого понятия воспроизводится, таким образом, в сознании учащегося на протяжении долгого периода, и притом такого периода, в течение которого рост сознания школьника можно уподобить росту сознания человечества за всю историю его сознательной жизни. И подобно тому, как в сознании мыслящего человечества понятие числа, поднимаясь от ступени к ступени, в разные эпохи не только по содержанию, но и стилю, научному уровню и логической зрелости, являло собой совершенно различную картину, – точно так же нельзя говорить и о едином понятии числа, соответствующем уровню сознания школьника. На протяжении школьного обучения понятие числа не только обогащается по содержанию, включая в себя все новые и новые классы чисел, но и качественно эволюционирует вместе с сознанием учащегося, приобретая новые черты и оттенки и поднимаясь на все более высокие ступени абстракции и логической завершенности" (Хинчин А.Я.Педагогические статьи. М., 1963. С.30–31). В этой цитате А.Я.Хинчин, с присущим ему блеском, предельно четко сформулировал основную концепцию современной методики изучения чисел в школе. Однако фактически у учащихся, как показывают обследования, не складывается какое-то более или менее ясное представление о числе, и тем более о величине, как о всеобщих и основных понятиях математики. В лучшем случае у них складывается представление, на которое указывает и А.Я.Хинчин, как об объектах арифметических действий (говоря о числе), или о чем-то таком, что можно измерять (говоря о величинах). Подлинное происхождение и сущность этих понятий, их взаимосвязь и взаимообусловленность остается вне сознания подавляющего большинства школьников, и к сожалению, многих учителей. Поэтому их изучение в школе мало способствует формированию у учащихся научного мировоззрения. Это, должно быть, ясно понимал академик А.Н.Колмогоров, который говорил, что "у математиков существует склонность, уже владея законченной математической теорией, стыдиться ее происхождения... Поэтому на разных ступенях обучения с разной степенью смелости неизменно проявляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить только о числах и соотношениях между ними" (Колмогоров А.Н.Предисловие // Лебег А.Измерение величин. М. 1960. С.10). Отсюда возникает проблема так изложить развитие понятий числа и величины, чтобы обнажить и сделать зримыми реальные корни их происхождения, чтобы показать, как из этих корней вырастает разветвленное дерево различных видов и классов величин и чисел. С этой проблемой связана также важная проблема психологического обоснования введения и развития понятий числа и величины, установления психологического содержания тех этапов, через которые происходит формирование у детей этих сложных понятий. В данной книге мы хотим изложить, по возможности популярно, учение о величинах и числах, исходя из философских и психологических исследований этих понятий. Конечно, излагаемая трактовка не единственно возможная, но нам она кажется достаточно убедительной для более глубокого понимания сущности этих понятий. В данной книге мы не касаемся вопросов истории происхождения и развития понятий числа и величины. Это особая тема, достаточно подробно изложенная в различных учебниках по истории математики. Данная книга написана главным образом для старшеклассников, студентов и учителей, но она может быть полезна и другим, кто так или иначе интересуется основами математики. Рукопись книги была очень внимательно прочитана проф. А.П.Сманцером, проф. Л.П.Стойловой и доцентом Я.Л.Крениным. Их замечания были мною учтены при окончательной доработке рукописи. Всем им приношу глубокую благодарность. Об авторе
Лев Моисеевич Фридман (1915–2005)
Доктор педагогических наук, профессор психологии, ведущий научный сотрудник Психологического института РАО. Научная деятельность Л.М.Фридмана была сосредоточена в области педагогической психологии и психологических основ обучения математике. Автор более 250 публикаций, в том числе таких известных книг, как "Психолого-педагогические основы обучения математике в школе", "Логико-психологический анализ школьных учебных задач", "Педагогический опыт глазами психолога", "Как научиться решать задачи", "Учитесь учиться математике", "Психопедагогика общего образования", "Теоретические основы методики обучения математике" (URSS, 2005), "Что такое математика" (URSS, 2005) и многих других. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||