Обложка Формалев В.Ф. Уравнения математической физики
Id: 260203
1259 руб.

Уравнения математической физики

URSS. 2021. 648 с. ISBN 978-5-9710-7606-3.
  • Твердый переплет

Аннотация

В учебнике представлен вывод основных уравнений механики сплошных сред, подробно изложены постановки и методы решения задач для уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов с граничными условиями всех родов. Кроме стандартных глав по математической физике в учебник включены главы по уравнениям в частных производных первого порядка, интегральным уравнениям и методам интегральных преобразований, включая конечные ...(Подробнее)интегральные преобразования. Впервые приводятся постановки и аналитические методы решения многомерных задач математической физики, содержащих смешанные производные (анизотропные среды), а также моделирование и методы решения задач волнового теплопереноса и теории солитонов волнового теплопереноса.

Для студентов и аспирантов технических и механико-математических факультетов технических университетов. Книга будет полезной также инженерам, научным работникам и преподавателям математических дисциплин.


Содержание
Предисловие14
Глава 1. Основные определения16
Упражнения19
Глава 2. Основные уравнения в частных производных математической физики, их вывод20
2.1. Вывод уравнения теплопроводности21
2.1.1. Уравнение теплопроводности в изотропной среде21
2.1.2. Уравнение теплопроводности в анизотропной среде24
2.1.3. Волновое уравнение теплопроводности27
2.2. Уравнения Лапласа и Пуассона28
2.2.1. Стационарное температурное поле29
2.2.2. Безвихревое течение идеальной несжимаемой жидкости29
2.2.3. Центральное поле тяготения31
2.3. Уравнение малых колебаний струны. Волновое уравнение32
2.3.1. Продольные колебания струны34
2.3.2. Поперечные колебания струны35
2.4. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны37
2.5. Уравнения движения линейной упругой среды39
2.6. Уравнения гидродинамики46
2.6.1. Уравнения движения идеальной жидкости или газа46
2.6.2. Уравнение неразрывности49
2.6.3. Уравнение состояния50
2.6.4. Уравнение энергии51
2.6.5. Полная система уравнений гидродинамики идеальной жидкости54
2.7. Уравнения математической физики в криволинейных координатах55
Глава 3. Линейные уравнения второго порядка. Классификация. Постановка задач математической физики63
3.1. Линейные уравнения в частных производных второго порядка, их классификация, приведение к канонической форме63
Упражнения76
3.2. Постановка задач математической физики. Начальные и граничные условия76
3.2.1. Начальные и граничные условия77
3.2.2. Постановка задач для уравнений математической физики79
Упражнения94
3.3. Существование решений задач математической физики95
Глава 4. Методы решения нестационарных задач математической физики для уравнений параболического типа в неограниченных, полуограниченных и ограниченных областях99
4.1. Задача о нагреве неограниченного тонкого стержня с начальным распределением температуры и источником теплоты100
4.1.1. Метод применения интеграла Фурье100
4.1.2. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Дельта-функция Дирака. Функция источника103
4.2. Начально-краевые задачи на полубесконечной прямой для уравнения теплопроводности. Метод продолжения. Функция ошибок108
4.2.1. Задача о распределении температуры в полубесконечном стержне с неоднородным начальным и граничным условиями первого и второго родов108
4.2.2. Функция ошибок и ее модификации115
4.2.3. Задача о нагреве полубесконечного стержня при нулевом начальном распределении и наличии тепловых потоков на границе117
4.2.4. Задача о распределении температур в полубесконечном стержне в условиях теплообмена с окружающей средой. Полностью неоднородная третья начально-краевая задача теплопроводности121
4.3. Задачи теории теплопроводности в ограниченных одномерных областях в случаях, когда границы поддерживаются при заданных температурах. Метод разделения переменных128
4.3.1. Задача о распределении температур в конечном стержне без источника теплоты с начальным распределением и нулевыми температурами на концах стержня. Задача на собственные значения и собственные функции128
4.3.2. Задача о нагреве конечного стержня при наличии внутренних источников теплоты, нулевых начального и граничных значений температуры133
4.3.3. Задача о нагреве конечного стержня при наличии внутренних источников теплоты, начального распределения температуры, когда концы стержня поддерживаются при нулевой температуре136
4.3.4. Задача о нагреве конечного стержня при наличии источников теплоты и начального распределения, когда концы стержня поддерживаются при заданных температурах138
4.4. Задача о нагреве конечного стержня при наличии начального распределения температуры, когда на границах заданы тепловые потоки141
4.4.1. На одной из границ стержня задан тепловой поток, другая граница поддерживается при заданной температуре141
4.4.2. Случай задания тепловых потоков на обеих границах конечного стержня144
4.5.1. Задача на собственные значения и собственные функции153
4.6. Теорема Дюамеля160
4.7. Принцип максимального значения и следствия из него. Единственность и устойчивость решения первой начально-краевой задачи для уравнения параболического типа164
4.7.1. Принцип максимального значения164
4.7.2. Теорема о единственности решения задачи теплопроводности167
4.7.3. Следствия из принципа максимального значения169
4.7.4. Теорема о корректности решения задачи теплопроводности170
Упражнения171
Глава 5. Методы решения задач для уравнений гиперболического типа в неограниченных, полуограниченных и ограниченных областях173
5.1. Задачи о свободных и вынужденных колебаниях неограниченной струны с начальными отклонением и скоростью. Решение Даламбера. Метод применения интеграла Фурье173
5.1.1. Решение Даламбера о свободных колебаниях бесконечной струны с начальными отклонением и скоростью174
5.1.2. Применение интеграла Фурье к решению задач о свободных и вынужденных колебаниях бесконечной струны при наличии начального отклонения и начальной скорости177
5.2. Свободные и вынужденные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью. Метод продолжения183
5.2.1. Свободные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда левый конец зажат или свободен183
5.2.2. Свободные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда левый конец движется по заданному закону или к нему приложено ненулевое усилие187
5.2.3. Вынужденные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда к левому концу приложено усилие, пропорциональное перемещению195
5.3. Вынужденные колебания ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы ее движутся по заданному закону. Полностью неоднородная задача для уравнения малых колебаний. Метод разделения переменных200
5.3.1. Задача о свободных колебаниях ограниченного стрежня с начальными отклонением и скоростью и зажатыми концами200
5.3.2. Задача о вынужденных колебаниях ограниченного стержня с нулевыми начальным отклонением и скоростью, когда концы стержня зажаты204
5.3.3. Задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы стержня зажаты207
5.3.4. Полностью неоднородная задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы движутся по заданным законам209
5.4. Малые колебания ограниченного стержня при наличии начальных отклонения и скорости, когда на обоих концах заданы усилия211
5.5. Задача о малых колебаниях ограниченного стержня с начальными отклонением и скоростью, когда концы упруго закреплены и движутся под действием заданных сил218
5.6. Теорема о единственности решения начально-краевой задачи для уравнения малых колебаний226
5.7. Примеры229
Упражнения238
Глава 6. Стационарные задачи математической физики для уравнений эллиптического типа240
6.1. Фундаментальные решения уравнения Лапласа со сферической и цилиндрической видами симметрии241
6.1.1. Фундаментальное решение уравнения Лапласа со сферической симметрией242
6.1.2. Фундаментальное решение уравнения Лапласа с цилиндрической симметрией243
6.2. Метод разделения переменных в краевых задачах для уравнения Лапласа в простейших областях. Задачи Дирихле244
6.2.1. Задача Дирихле в прямоугольнике. Метод разделения переменных245
6.2.2. Задача Дирихле в круге. Метод разделения переменных. Интеграл Пуассона252
6.3. Метод разделения переменных в краевых задачах для уравнения Лапласа с граничными условиями второго рода. Задачи Неймана259
6.3.1. Задача Неймана в прямоугольнике. Метод разделения переменных260
6.3.2. Задача Неймана в круге. Метод разделения переменных266
6.4. Метод функций источника (Грина) решения задач для уравнений эллиптического типа271
6.4.1. Формулы Грина. Интегральное представление гармонических функций272
6.5. Основные свойства гармонических функций277
6.6. Функции источника (Грина) для уравнения Лапласа с различными граничными условиями281
6.6.1. Функция Грина первого рода281
6.6.2. Физический смысл и свойства функции Грина первого рода284
6.6.3. Функция Грина второго рода287
6.6.4. Функции Грина третьего рода291
6.7. Решение задач для уравнения Лапласа методом функции Грина в простейших областях294
6.7.1. Задача Дирихле для полупространства294
6.7.2. Задача Неймана для полупространства297
6.7.3. Задача Дирихле для круга. Метод функции Грина299
6.7.4. Задача Неймана для круга. Метод функции Грина302
6.8. Примеры304
Упражнения311
Глава 7. Специальные функции312
7.1. Гамма-функция, ее свойства312
7.2. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя315
7.3. Простейшие свойства функций Бесселя321
7.4. Ортогональность функций Бесселя. Разложение функций в ряды Фурье—Бесселя327
7.5. Задача о колебаниях круглой мембраны. Использование функций Бесселя331
7.6. Задача о распространении теплоты в цилиндре конечных размеров. Использование функций Бесселя341
7.7. Уравнение Лежандра. Полиномы Лежандра350
7.7.1. Уравнение Лежандра, его ограниченные решения350
7.7.2. Ограниченные решения двумерного уравнения Лапласа354
7.7.3. Производящая функция для полиномов Лежандра355
7.7.4. Основные свойства полиномов Лежандра359
7.8. Уравнения сферических и присоединенных функций. Присоединенные, сферические и шаровые функции364
7.8.1. Уравнение сферических функций. Присоединенные функции Лежандра365
7.8.2. Определение присоединенных функций Лежандра367
7.8.3. Сферические функции370
7.8.4. Шаровые функции. Задача об остывании однородного шара373
7.9. Примеры379
Упражнения387
Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка389
8.1. Основные определения389
8.2. Метод Лагранжа решения уравнений в частных производных первого порядка392
8.3. Постановка и решение задач Коши для уравнений в частных производных первого порядка397
8.4. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка в n-мерном пространстве402
8.5. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка404
8.5.1. Определение общего решения404
8.5.2. Задача Коши408
8.6. Общий метод введения параметра решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка410
Упражнения415
Глава 9. Интегральные уравнения416
9.1. Основные определения и понятия416
9.2. Интегральные уравнения Вольтерра. Методы их решения419
9.2.1. Связь интегральных уравнений Вольтерра второго рода с дифференциальными уравнениями419
9.2.2. Метод последовательных приближений422
9.2.3. Резольвента интегрального уравнения Вольтерра. Решение интегрального уравнения с помощью резольвенты425
9.2.4. Уравнение Вольтерра второго рода типа свертки428
9.2.5. Уравнение Вольтерра второго рода с вырожденным ядром430
9.3. Уравнение Вольтерра первого рода432
Упражнения435
9.4. Интегральные уравнения Фредгольма438
9.4.1. Основные понятия438
9.4.2. Итерированные ядра уравнения Фредгольма. Построение резольвенты с помощью итерированных ядер440
9.4.3. Решение уравнений Фредгольма второго рода с вырожденным ядром443
9.4.4. Метод Галеркина (моментов)446
9.4.5. Метод конечных сумм449
Упражнения452
Глава 10. Методы интегральных преобразований решения задач математической физики454
10.1. Общие сведения об интегральных преобразованиях454
10.2. Интегральные преобразования с бесконечными пределами456
10.3. Связь трансформант производных с трансформантами функций459
10.4. Конечные интегральные преобразования463
Глава 11. Интегральные преобразования при решении задач для уравнений параболического типа468
11.1. Задача о нагреве полубесконечного стержня с начальной температурой и граничным условием первого рода468
11.2. Задача о нагреве полубесконечного стержня с начальной температурой и тепловым потоком на границе472
11.3. Задачи о нагреве полубесконечного тела при наличии источника теплоты, начальной температуры и граничных условий первого и второго родов475
11.3.1. Полностью неоднородная первая начально-краевая задача теплопроводности на полупрямой475
11.3.2. Полностью неоднородная вторая начально-краевая задача теплопроводности на полупрямой477
11.4. Задача о нагреве полубесконечного тела при наличии теплообмена с окружающей средой на границе и начального распределения температуры479
11.5. Конечные интегральные преобразования в задачах теории теплопроводности482
11.5.1. Конечное интегральное преобразование в задаче теплопроводности в ограниченном стержне при наличии начального распределения и нулевых температурах на концах482
11.5.2. Конечные интегральные преобразования в цилиндрических областях. Преобразование Ханкеля485
11.5.3. Задача о распределении температуры в сплошном цилиндре с нулевой начальной температурой и распределением температуры на наружной границе485
11.5.4. Задача о распределении температуры в полом цилиндре с заданной начальной температурой и нулевыми температурами на границах490
11.6. Применение интегральных преобразований в задачах для уравнений теплопроводности, содержащих смешанные производные (анизотропные среды)494
11.6.1. Применение интегральных преобразований Фурье и Лапласа к решению первой начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропной полосе495
11.6.2. Применение интегральных преобразований к решению второй начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропной полосе504
Упражнения512
Глава 12. Интегральные преобразования в задачах для уравнений гиперболического типа517
12.1. Применение интегральных преобразований в задачах для уравнений малых колебаний полуограниченной струны518
12.1.1. Свободные колебания полуограниченной струны с нулевыми начальным отклонением и скоростью, когда левый конец движется по заданному закону518
12.1.2. Случай задания усилия на левой границе полубесконечной струны520
12.1.3. Случай задания усилия, пропорционального продольному смещению на левой границе полуограниченной струны522
12.1.4. Свободные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда левый конец движется по заданному закону524
12.1.5. Свободные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда на левом конце задано усилие528
12.2. Применение конечных интегральных преобразований к решению задач о малых колебаниях ограниченной струны531
12.2.1. Задача о свободных колебаниях ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы струны зажаты531
12.2.2. Применение конечных интегральных преобразований к задачам о свободных колебаниях ограниченной струны с неоднородными начально-краевыми условиями534
12.3. Свободные колебания очень большой тонкой мембраны538
12.4. Случай вынужденных колебаний неограниченной мембраны542
12.5. Колебания круглой ограниченной мембраны. Применение конечного преобразования Ханкеля544
12.5.1. Свободные колебания ограниченной мембраны с начальными отклонением и скоростью544
12.5.2. Вынужденные колебания ограниченной мембраны546
12.6. Волновые явления теплопроводности547
12.6.1. О законах и уравнениях волнового теплопереноса547
12.6.2. Возникновение и распространение бегущих тепловых волн в полубесконечных средах549
12.6.3. Теория солитонов волнового теплопереноса в ограниченных телах557
Упражнения566
Приложение 1. Элементы векторного анализа568
П1.1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент скалярного поля568
П1.2. Векторное поле. Работа векторного поля, ее вычисление571
П1.2.1. Основные определения571
П1.2.2. Работа векторного поля. Циркуляция векторного поля. Формула Грина573
П1.3. Поток и дивергенция векторного поля. Формула Остроградского—Гаусса576
П1.3.1. Поток векторного поля576
П1.3.2. Формула Остроградского—Гаусса. Дивергенция векторного поля577
П1.4. Понятие ротора (вихря) векторного поля. Формула Стокса580
П1.4.1. Ротор векторного поля580
П1.4.2. Формула Стокса581
П1.5. Потенциальные векторные поля. Критерий потенциальности582
Приложение 2. Ряды Фурье. Интеграл и преобразование Фурье586
П2.1. Ортогональные системы функций. Ортогональные системы тригонометрических функций586
П2.2. Система ортогональных тригонометрических функций587
П2.3. Построение тригонометрического ряда Фурье589
П2.4. Построение тригонометрических рядов Фурье для произвольных функций, заданных на произвольных промежутках593
П2.4.1. Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций593
П2.4.2. Тригонометрический ряд Фурье для произвольных (непериодических) функций594
П2.4.3. Тригонометрический ряд Фурье для функций, заданных на произвольных конечных промежутках596
П2.4.4. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье597
П2.5. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье598
Приложение 3. Специальные функции603
П3.1. Гамма-функция603
П3.2. Функции Бесселя605
П3.3. Многочлены (полиномы) Лежандра613
П3.4. Вырожденные гипергеометрические функции618
Приложение 4. Основы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления622
П4.1. Комплексные числа и действия над ними622
П4.2. Функции комплексной переменной624
П4.3. Нули аналитических функций. Особые точки ФКП627
П4.4. Теория вычетов и ее применение631
П4.5. Операционное исчисление635
П4.5.1. Обратное преобразование Лапласа638
П4.5.2. Связь с преобразованием Фурье640
Список используемой литературы645

Об авторе
Формалев Владимир Федорович
Доктор физико-математических наук, профессор Московского авиационного института (национального исследовательского университета). Заслуженный деятель науки РФ, заслуженный работник высшей школы РФ, пятикратный соросовский профессор, пятикратный победитель конкурса Правительства г. Москвы в области науки и образования, награжден медалью им. нобелевского лауреата П. Л. Капицы «За научное открытие». Признанный ученый в РФ и за рубежом в области математического моделирования тепломассопереноса в анизотропных телах, аналитических и численных методов решения задач теплопереноса в анизотропных телах, сопряженных задач теплообмена, волнового теплопереноса, обратных задач теплопереноса в анизотропных телах, дифференциальных уравнений, содержащих смешанные производные. Автор класса экономичных абсолютно устойчивых численных методов решения задач со смешанными производными. 12 лет занимался в НИИ и ОКБ математическим моделированием тепловой защиты скоростных и гиперзвуковых летательных аппаратов. Автор и соавтор свыше 400 научных публикаций, среди которых 22 книги (монографии, учебники, учебные пособия).