Кащенко С.А., Григорьева Е.В. Релаксационные колебания в лазерах № 64. Изд. стереотип.

---

От редакции
Предисловие (Г. Г. Малинецкий)
1.	Введение
	1.1.	Краткий обзор содержания глав
	1.2.	О методике исследования
2.	Релаксационные колебания в сосредоточенных моделях лазеров
	2.1.	Затухающие свободные колебания
	2.2.	Модели лазера с насыщающимся поглотителем
	2.3.	Лазер с периодической модуляцией потерь в резонаторе
		2.3.1.	Редукция ОДУ к отображению
		2.3.2.	Динамика отображения
		2.3.3.	Переключение режимов при импульсном возмущении потерь
	2.4.	Лазерспериодическоймодуляциейнакачки
		2.4.1.	Редукция ОДУ к отображению
		2.4.2.	Модель с насыщающимся поглотителем
3.	Лазеры с оптоэлектронной модуляцией внутрирезонаторных потерь
	3.1.	Модель лазера с запаздывающей обратной связью
		3.1.1.	Медленно осциллирущие решения при большой накачке
		3.1.2.	Медленно осциллирующее решение при внешней подсветке
		3.1.3.	Быстро осциллирующие решения
		3.1.4.	Режимы с чередованием импульсов первого и второгорода
	3.2.	Динамика двухмодового лазера
	3.3.	Модель рубинового лазера с обратной связью
4.	Полупроводниковые лазеры с модуляцией накачки
	4.1.	Модель лазера с оптоэлектронной запаздывающей обратнойсвязью
		4.1.1.	Медленно осциллирующие решения
		4.1.2.	Быстро осциллирующие решения
		4.1.3.	Перемежаемость медленно и быстро осциллирующихрешений
	4.2.	Влияние дополнительных факторов эксперимента на установившиеся режимы генерации лазерного диода
		4.2.1.	Высокий уровень спонтанного излучения
		4.2.2.	Лазер с инерционной ОС
		4.2.3.	Двухкомпонентныйлазерныйдиод
	4.3.	Модель лазерного диода с некогерентной оптической обратнойсвязью
		4.3.1.	Медленно осциллирующее решение
		4.3.2.	Модель с периодической модуляцией запаздывания в ОС
5.	Релаксационные колебания в связанных лазерных системах
	5.1.	Связанныелазерныедиоды
		5.1.1.	Модель с запаздыванием в цепи оптоэлектронной связи
		5.1.2.	Медленно осциллирующие режимы
		5.1.3.	Быстро осциллирующие режимы генерации
		5.1.4.	Переключения режимов импульсом накачки
	5.2.	Динамикамногомодовыхлазеров
		5.2.1.	Модель многомодового твердотельного лазера
		5.2.2.	Фазовая синхронизация мод при внешней подсветке
	5.3.	Многомодовый полупроводниковый лазер с периодическоймодуляциейнакачки
Приложения
	A.	Релаксационные циклы в балансных уравнениях лазера с инерционными переменными
	B.	Пространственно-временные структуры в распределенной системе с запаздыванием
		B.1.	Асимптотика релаксационного цикла в уравнении Хатчинсона
		B.2.	Динамика связанных осцилляторов Хатчинсона
Литература

---

Жанр этой книги, ставшей результатом многолетнего плодотворного сотрудничества белорусского и российского исследователя, необычен. Его можно сравнить с конструктором для будущего или с одеждой на вырост, которую дарят ребенку. С другой стороны, на неё можно посмотреть и как на монографию, и как на учебник. Но ближе всего она к забытому жанру «Книги для чтения», например, по курсу дифференциальных уравнений, физики лазеров или теории систем с запаздыванием.

Эта книга очень важна для нашей серии «Синергетика – от прошлого к будущему». Вводя термин синергетика (в переводе с греческого «совместное действие») немецкий физик-теоретик Герман Хакен, активно занимавшийся физикой лазеров, вложил в него два смысла. Во-первых, это теория самоорганизации, исследующая возникновение новых свойств у целого, которыми не обладают его части. Во-вторых, – это междисциплинарный подход, развитие которого требует совместных усилий естественников, гуманитариев, математиков, а сейчас можно добавить – инженеров, управленцев, системных аналитиков, экспертов. Известный методолог и философ науки В.Г. Буданов характеризует синергетику как подход, лежащий на пересечении сферы предметного знания, математического моделирования и философской рефлексии.

И предметное знание, и математическое моделирование ясно, конкретно и точно представлены в книге. Поэтому в предисловии осталось добавить немного методологической и философской рефлексии.

Математические модели во многих случаях играли важнейшую роль в развитии технологий и инженерных наук. Хрестоматийным примером стало развитие теории колебаний. Не менее важным часто оказывалось и обратное влияние.

В самом деле, качественная теория динамических систем, исследование аттракторов и теория бифуркаций, топология и геометрический взгляд на динамику – вся исследовательская программа А.Пуанкаре – обрела «второе дыхание» с развитием радиотехники, с рождением теории колебаний. Оказалось, что львиная доля усилий инженеров, конструирующих радиотехнические системы, направлена на синтез и аппаратную реализацию динамических систем, аттрактором которых является предельный цикл. Абстрактные математические понятия приобрели конкретный физический смысл, наглядность и ясность. Путь от математики к инженерной практике занял почти тридцать лет. Остается лишь гадать, какой сейчас была промышленность и высокотехнологичный сектор экономики, если бы это произошло быстрее. И далее развитие прикладной нелинейной динамики и радиоэлектроники шло в тесном взаимодействии с прикладной математикой. Развитие радиолокации, телевидения, СВЧ-электроники – открыли простор для применения методов асимптотического анализа релаксационных колебаний. Системы защиты информации, постановщики помех, приёмники, позволяющие «вытаскивать сигнал из под шума», передача сигналов на хаотической несущей стимулировали изучение странных аттракторов, алгоритмов управления хаосом. И это сопоставление можно продолжать и продолжать.

Не менее важным такое взаимодействие оказалось и для математики. Студентам и молодым исследователям, занимающимся нелинейной динамикой и развитием идей синергетики, часто кажется, что развитие исследовательской программы А.Пуанкаре, проходившее красной нитью через весь ХХ век, и было магистральным путем в прикладной математике. Но это не так! Историки науки могут сказать, что после ранней смерти А.Пуанкаре в 1912 году его работы были забыты даже на родине, во Франции. И на Западе с его трудами познакомились в значительной степени через исследования школы А.А.Андронова, занимавшейся теорией колебаний, и школы Н.С.Крылова – Н.Н. Боголюбова, работавшей над обоснованием статистической физики. Если бы не работы этих «прикладников», то «пантеон» классиков математики XX века был бы существенно иным.

Наверно, с одной стороны, и в их французском отечестве нет своего пророка. С другой – дело в доминировании алгебраических методов, которое культивировалось Д.Гильбертом и Э.Нетер, и было подхвачено научной школой Н.Бурбаки. С третьей стороны, огромный интерес в эти годы начала вызывать квантовая механика и связанный с её обоснованием функциональный анализ.

Однако всё сложилось так, как сложилось. И курсы нелинейной динамики сейчас, как правило, начинаются с обсуждения исследовательской программы А.Пуанкаре – одного из выдающихся математиков, определивших развитие этой науки в XX веке. Впрочем, лет через 50 понимание и трактовка науки, расстановка акцентов и приоритетов могут существенно измениться. Следующее поколение историков науки будут переписывать и интерпретировать прошлое по-своему. Это определится тем, что удастся сделать следующему поколению исследователей.

Лазер, связанная с ним физика, стал любимой моделью нелинейной динамики, классикой, иллюстрирующей существо коллективных явлений и механизмы самоорганизации. Приложения лазеров огромны – от «звёздных войн», ключевым элементом которых являются лазеры с ядерной накачкой, до микрохирургии, от установок, режущих металл до голографии, методов защиты информации, оптоэлектронных линий связи.

Тем не менее, в книге рассмотрен новый класс «лазерных задач» и для их анализа использована «новая математика».

Как правило, в сегодняшней практике используется режим постоянной генерации, оптическая бистабильность и системы, способные генерировать сверхкороткие импульсы. Всё это поразительно напоминает развитие теории колебаний и радиотехники в 1930-е годы с её триггерами, мультивибраторами, блокинг-генераторами.

Но как потом оказалось, круг аттракторов, которые можно и практически интересно реализовать в радиотехнике, намного шире. Один динамический хаос с его возможностями чего стоит. И это было сделано «во втором семестре» – второй половине XX века после того как теория колебаний «обрела права гражданства» и выщла в программы физических факультетов и многих технических вузов - «и привело к ряду прорывов как в теории, так и в практической радиоэлектроники.

В книге нечто подобное предлагается сделать на другом уровне, рассмотрев более сложные аттракторы, чем это сегодня делается, для светового диапазона в котором работают лазеры. Эта идея представляется очень интересной и перспективной в контексте разработок оптических компьютеров. С одной стороны, огромные усилия, которые сегодня вкладываются в разработку больших интегральных схем, состоящих из миллиардов элементов, в разводку, позволяющую минимизировать взаимное влияние различных элементов, становятся не нужны. С другой стороны, не возникает проблем с системами охлаждения. Наконец, с третьей, – множество нелинейных оптических элементов уже создано. Поэтому осталось решить ряд традиционных «радиотехнических» проблем, может быть, предложить новые элементы, собрать всё это воедино и вывести на уровень технологий, сравнимый с тем, что сегодня имеется для микроэлектроники. Путь неблизкий, но очень заманчивый.

В книге в качестве таких новых элементов рассматриваются лазерные системы, в которых те или физические процессы обеспечивают эффект запаздывания, а с ним целый мир сложных, необычных режимов генерации.

Исследование подобных систем началось давно. На семинарах в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН мы в тех или иных вариантах слушали их с 1992 года. В это время активно велись работы в исследовательском проекте «Информхаос», который выполнялся на факультете прикладной математики Российского открытого университета. Научным руководителем этого факультета был один из основоположников синергетики в России, директор Института прикладной математики, замечательный человек Сергей Павлович Курдюмов, деканом – Наталья Рахманова. Сам университет был создан Борисом Михайловичем Бим-Бадом, рассматривавшим науку не только как подспорье учебному процессу или источник инноваций, но и как школу творчества и рационального мышления. Факультет, да и сам университет в его исходном варианте просуществовали недолго – лихие 90-е не оставляли много простора для романтики и педагогических экспериментов. Тем не менее, многое из начатого и посеянного в те годы дало замечательные всходы и продолжает активно и успешно расти. Это относится и к направлению, которое разрабатывают Е.В.Григорьева и С.А.Кащенко и которому посвящена эта книга.

Большое впечатление производит конкретность моделей, параметры которых известны и то, что подобные или близкие лазеры уже созданы и изучены. Физическая основа заложена, и можно надеяться на то, что произойдёт сборка, что научные идеи получат конкретное технологическое воплощение.

Мы говорили о физических и технологических аспектах направления, развитого в книге. Но не менее важен математический аспект рассматриваемых идей. Профессор С.А.Кащенко в настоящее время является главой научной школы, занимающейся асимптотическим исследованием нелинейных систем с запаздыванием. Эта школа в течение десятилетий складывалась в Ярославском государственном университете им.П.Г.Демидова. Её работы получили широкую известность в России и за рубежом.

Для исследования лазерных задач асимптотический подход представляется более, чем оправданным. В самом деле, численное решение сингулярно возмущённых задач с запаздыванием сталкивается с очень большими трудностями. Вносимые численным алгоритмом погрешности могут очень серьёзно исказить решение для этого класса задач, а иногда и дать качественно иной результат. С другой стороны, в этом, как и во многих других случаях, асимптотический анализ позволяет «понять решение», почувствовать физические процессы, описываемые моделью на другом, более глубоком уровне.

В книге представлен оригинальный метод асимптотического интегрирования, работающий, в частности, в системах с большим запаздыванием. Для этого вводится специальное пространство функций, показывается, что оператор, соответствующий изучаемому уравнению, отображает эти функции в себя и позволяет, зная одну часть решения, построить следующую. В конечном итоге анализ сложных нелинейных систем с запаздыванием сводится к простейшим одномерным отображениям, о которых известно почти всё. Удивительно красиво! Впрочем в ряде случаев возникают более сложные отображения, о которых сегодня известно не очень много. И это приглашение к будущим исследованиям, к поискам на переднем крае науки.

Уравнения с запаздыванием являются одним из самых сложных математических моделей в современной математике. Например, известны примеры подобных систем, в которых увеличение запаздывания может приводить к возникновению хаотических аттракторов сколь угодно большой размерности.

Однако, по-видимому, пока уравнения с запаздыванием недооцениваются, ни в математике, ни в моделях естественных и гуманитарных наук, ни в технических приложениях. Счастливым исключением здесь являются работы профессора А.С.Дмитриева, его коллег и учеников из Института радиоэлектроники РАН. Они, используя элемент с запаздыванием, получили генератор хаотических сигналов с аттрактором большой размерности. Подобные схемы легли в основу серийных приборов, обеспечивающих защиту информации.

У недооценки систем с запаздыванием, на мой взгляд, есть две стороны – принципиальная и техническая. Запаздывание отражает память, инерцию, развитие процессов, начавшихся конкретное фиксированное время назад, влияние других уровней организации. В фундаментальные физические теории члены с запаздыванием со времён Ньютона не входят – всё сплошь и рядом определяется координатами и скоростями в данный момент времени. Поэтому уравнения с запаздыванием обычно используются в мягком моделировании – в экологии, в нейробиологии, моделировании иммунитета, в социологии либо при описании технических объектов, в особенности систем управления. Каждый, кто имел с ними дело представляет, что сделать что-то быстро и сразу почти невозможно, и запаздывание приходится учитывать в полной мере. С другой стороны – велики технические трудности – мы плохо представляем динамику уравнений с запаздыванием, да и математическая теория весьма сложна. И чтобы привлекать такие сложные объекты надо иметь веские основания и ясно понимать, что, пользуясь более простыми описаниями, мы упустим что-то очень существенное.

На мой взгляд, книга С.А.Кащенко и Е.В.Григорьевой даёт счастливый шанс и самим уравнениям с запаздыванием выйти из тени более простых и привычных моделей. Как тут не вспомнить задачи радиотехники и теорию колебаний, которая дала мощный импульс изучению динамических систем, а с ними и многим другим разделам математики. Может быть, уравнения с запаздыванием ждёт нечто подобное?

Недавно, на годичном собрании Нанотехнологического общества России выступал известный белорусский специалист в области микроэлектроники академик В.А.Лабунов, с именем которого связано несколько прорывов в этой области. Он высказал такую мысль: «В микроэлектронике из десяти перспективных идей девять идут в корзину и только десятая обычно даёт результат. Но надо развивать все десять – без девяти отброшенных не состоялась бы десятая».

В книге рассматривается очень яркая перспективная междисциплинарная идея, лежащая на стыке лазерной физики, теории колебаний, теории систем с запаздыванием, проектов новых компьютерных архитектур. Надеюсь, читатели её оценят и смогут использовать.

Но как же хочется, чтобы именно эта идея оказалась той самой, десятой! Той, которая откроет путь от сегодняшних терний к завтрашним звёздам.

---

Широкое использование лазеров в науке и технике поддержива­ет интерес к задачам нелинейной светодинамики. Востребованными оказались стационарные режимы генерации низкой и высокой интен­сивности в различных частотных диапазонах, режимы генерации ги­гантских импульсов и сверхкоротких импульсов. Активно изучаются также вопросы генерации сложных режимов со специальными свой­ствами, что связано с перспективами применить новые принципы об­работки информации в оптических устройствах распознавания обра­зов, для защиты оптических систем связи и в других информационных технологиях. Для таких приложений актуальной остается разработка методов анализа и управления режимами лазеров.

Теоретическое описание динамики генерации требует решения са­мосогласованной системы квантово-электродинамических уравнений для поля и вещества с учетом статистических и динамических законо­мерностей шумового и генерируемого излучения. Сложность решения и сопоставления с результатами эксперимента привела к разработке упрощенных моделей, представленных например, в книгах [1—5]. Су­ществует также обширная оригинальная литература, обзоры и спе­циальные выпуски журналов с результатами, непосредственно касаю­щимися сложных режимов генерации [6, 7]. Отдельно отметим моно­графии А.М.Самсона, Л.А.Котомцевой и Н.А.Лойко «Автоколебания в лазерах» [8] и Я.И.Ханина «Основы динамики лазеров» [9], в ко­торых можно найти обоснование многих моделей динамики лазеров, рассмотренных в настоящей работе.

Эти модели составляют целый класс и описывают колебания, обусловленные процессами релаксации инверсии населенностей, образо­ванной и поддерживаемой накачкой, и затуханием фотонов в резона­торе. В лазерной физике такие колебания принято называть релак­сационными (в том числе и колебания около состояния равновесия по форме близкие к гармоническим) в отличие от колебаний, обусловлен­ных другими причинами: когерентным взаимодействием излучения и поляризации атомов, взаимодействием продольных мод и др., и кото­рые имеют частоты другого порядка. В данной монографии используется термин "релаксационные колебания" так, как принято в теории колебаний, т.е. для обозначения колебаний с резко выраженными ин­тервалами быстрого и медленного изменения переменных.

При исследовании динамических неустойчивостей в большинстве работ применяется бифуркационный анализ в окрестности стационарных состояний. В результате исходные системы редуцируются к нормальным формам - обыкновенным дифференциальным уравнениям специального вида для медленно меняющихся амплитуд неустойчивых компонент решения. Тип бифуркации при потере устойчивости определяет универсальный вид нормальной формы, учитывающей особен­ности нелинейности исходной задачи только в значениях ее коэффициентов [10—13]. Исходя из решений нормальной формы, например, при бифуркации Андронова-Хопфа, делают вывод об устойчивости возни­кающих пульсаций излучения малой амплитуды.

В то же время при типичных параметрах лазерных систем на­блюдаются релаксационные колебания при большом отклонении от состояния равновесия. Их исследование обычно проводят численно, поскольку применение бифуркационного анализа усложняется необ­ходимостью аналитического описания нелинейных режимов. В работе Андронова А.А. с соавторами [14] при рассмотрении уравнения ти­па Ван-дер-Поля было определено решение, состоящее из нескольких участков относительно медленного изменения и асимптотически быст­рых по времени промежутков перескока с одного такого участка на другой. Эти идеи привели к разработке методов описания релаксаци­онных колебаний и их исследования с помощью точечных отображений [15, 16].

При изучении динамики лазерных систем непосредственное ис­пользование ранее обоснованных методик по ряду причин затрудне­но. В настоящей монографии предлагается специальный асимптоти­ческий метод построения нестационарных решений релаксационного типа. Путь к применению метода открывается при наличии большого параметра в правой части системы (или малого параметра при производной одной из переменных). В результате как конечномерные систе­мы обыкновенных дифференциальных уравнений, так и бесконечно­мерные системы с запаздыванием редуцируются к дискретным отоб­ражениям. По динамике отображений можно судить о существовании и эволюции импульсных режимов, изучать бифуркации импульсных режимов. Уравнения такого типа в лазерной физике ранее практиче­ски не исследовались. При этом развитый подход оказывается кон­структивным для широкого класса лазерных моделей.

Отметим преимущества предлагаемой методики. Размерность фа­зового пространства исходных математических моделей варьируется от несколько единиц (в случае учета релаксационных процессов) до бесконечности (если время распространения сигнала в линии обратной связи учитывается явным образом посредством функции с запаздывающим аргументом), а учет влияния физических процессов с различными скоростями приводит к наличию моделях больших и малых параметров. Численный анализ таких уравнений даже на современных компьютерах не может обеспечить полноты исследования. Предлагаемые аналитические подходы значительно упрощают такие задачи.

Ключевым моментом при построении нелинейных решений ока­зывается описание множества их начальных условий. Естественным образом возникает классификация решений в бесконечномерном фа­зовом пространстве. Выделяются медленно и быстро осциллирующие (по сравнению с характерным временным масштабом) режимы, режимы с "мгновеными" пичками и импульсами конечной ширины. В процессе построения решений каждого типа из условия сохранения их структуры определяются области параметров, в которых они могут реализоваться. Синтезируя подходы к заданию множеств начальных условий, можно определить области существования решений со сложной наперед заданной структурой.

Полученные в монографии выводы иллюстрируются численными результатами с использованием типичных лазерных параметров. При этом нам представлялось возможным опустить строгие математические доказательства некоторых утверждений. Большее внимание уделялось физической интерпретации полученных результатов.

Аналитические результаты позволяют детально описать экспери­ментально наблюдаемые режимы генерации, понять тенденции разви­тия динамики при изменении параметров, определять области мультистабильности и, тем самым, решать задачи оптимизации параметров для управления сложными состояниями лазерного излучения.

Разработка аналитических методов имеет и самостоятельное междисциплинарное значение. Математические идеи и символы синерге­тики, в том числе параметры порядка Хакена [17, 18], катастрофы [19], странные аттракторы [20] и диссипативные структуры Пригожи-на [21,22], находят адекватное отражение в реальной лазерной светоди-намике. Полученные отображения, наряду с нормальными формами, могут дополнить список базовых моделей синергетики. Поэтому лазер является важным объектом для дальнейшего изучения закономерно­стей самоорганизации и хаотизации в нелинейных системах различной природы.

[...]

В монографии представлен анализ импульсных режимов генера­ции в лазерных системах с дополнительными нелинейными элемента­ми. Рассматриваются модели устройств с пассивной (насыщающийся поглотитель) и активной периодической модуляцией внутрирезонатор-ных потерь или скорости накачки, с оптоэлектронными элементами запаздывающего действия, управляющими внутрирезонаторными по­терями или накачкой, с внешней оптической обратной связью; много-модовые лазеры и связанные лазеры. Полная библиография по дина­мике таких лазеров включает тысячи наименований, здесь приводятся ссылки только на некоторые типичные работы, которые в свое время стимулировали данное исследование.

---

Сергей Александрович КАЩЕНКО

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова. Директор научно-образовательного центра "Нелинейная динамика". Основные научные интересы: нелинейная динамика, синергетика. Автор более 250 научных работ, соавтор монографий "Управление риском" (М., 2000), "Новое в синергетике: взгляд в третье тысячелетие" (М., 2002), "Нелинейные волны" (Н. Новгород, 2005), "Модели волновой памяти" (М.: URSS, 2009, 2013).

Елена Викторовна ГРИГОРЬЕВА

Доктор физико-математических наук, профессор. Окончила физический факультет Белорусского государственного университета. Основные работы написаны в области нелинейной динамики лазеров.