Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц Изд. стереотип.

Оглавление

Из введения

В предлагаемой вниманию читателей книге описываются основные понятия и методы современной микроскопической теории систем многих частиц. Эти методы, заимствованные из релятивистской теории квантованного поля и получившие развитие в последние годы, широко применяются в настоящее время в самых различных разделах физики.

Общая задача, стоящая перед теорией систем многих частиц, заключается во всестороннем описании как внутренних свойств таких систем, так и результатов их взаимодействия с внешними агентами. Имеются в виду такие характеристики системы, как ее энергетический спектр (энергия основного состояния, спектр возбужденных состояний), средние значения динамических переменных и их распределения, вероятности переходов и т.д. Сюда относятся также всевозможные термодинамические и кинетические характеристики системы. Модель рассматриваемой системы, т.е. характеристики отдельных частиц, закон их взаимодействия, внешние условия и т.д. должны задаваться при этом дополнительно как исходное условие.

Теория многих частиц, располагая определенными средствами для решения указанной задачи в том или ином приближении, служит теоретическим базисом многих разделов физической науки: физики конденсированной среды (в том числе твердого тела), физики плазмы, атомного ядра, атома и т.п.

Наиболее важная особенность задач, с которыми приходится иметь дело в теории многих частиц, состоит в принципиальной необходимости учета взаимодействия между частицами. Модель, в которой это взаимодействие игнорируется (модель идеального газа), чрезвычайно бедна по своим свойствам и рассчитывается элементарным образом. Именно взаимодействие между частицами порождает то качественное многообразие объектов, которое свойственно перечисленным выше разделам физики.

Точный учет взаимодействия между частицами сколько-нибудь сложной системы представляет собой, однако, исключительную по трудности задачу. Хотя в последнее время и появились надежды на использование для этой цели вычислительных машин, реальные возможности, которыми располагает теория многих частиц, в целом еще довольно скромные (исключая теорию атома и молекулы).

Главная причина этих трудностей состоит в том, что уравнение Шредингера со многими переменными, не распадающееся на независимые уравнения для каждой из переменных, представляет собой в математическом отношении несравненно более сложный объект, чем, скажем, уравнение Шредингера для частицы во внешнем поле. В системе многих взаимодействующих частиц речь должна идти именно о нераспадающемся уравнении Шредингера. Это математически очевидное обстоятельство проявляется в физическом отношении следующим образом. Вследствие неразрывной силовой связи отдельной частицы с остальными частицами системы понятие о состоянии этой частицы, т.е. о ее волновой функции, энергии и т.п., теряет свой точный смысл. Строго говоря, речь может идти лишь о состоянии всей системы в целом. Поэтому учет взаимодействия между частицами означает в то же время качественный скачок в выборе самого объекта описания: в модели идеального газа таким объектом могла служить каждая из частиц в отдельности, в то время как в реальном случае – обязательно вся система в целом.

Из сказанного ясно, что решение задачи многих частиц может носить лишь приближенный характер. За последние десятилетия в теории многих частиц было разработано большое число разнообразных приближенных методов. К их числу относятся: теория возмущений, методы Хартри – Фока, Томаса – Ферми, Дебая – Хюккеля, Бракнера, метод коллективных переменных и многие другие [1 ]. Эти методы безусловно сыграли огромную роль в развитии соответствующих разделов физики. Однако в целом ряде отношений состояние теории многих частиц до последнего времени было малоудовлетворительным.

Прежде всего, многие из обсуждаемых методов очень громоздки. Этот упрек относится, в частности, к "старой" теории возмущений, оперирующей детерминантами Слейтера – Фока, сложными суммами и т.д. Попытки продвинуться в вычислениях дальше второго, максимум третьего порядка, как правило, наталкиваются на серьезные технические трудности. При этом возникает и ряд трудностей более глубокого характера. Так, например, при вычислении энергии однородной системы появляются фиктивные члены, растущие с увеличением объема системы быстрее первой его степени. Весьма сложен также метод Бракнера [2], требующий проведения трудоемких численных расчетов.

Далее, обсуждаемые методы имеют заведомо ограниченную и самое главное далеко не всегда ясную из способа их формулировки область применимости. Вопросы об условиях, которым должны удовлетворять характеризующие систему параметры в области применимости данного метода, и об исправлении метода при нарушении этих условий в большинстве случаев были разработаны совершенно недостаточно.

Наконец, большую неудовлетворенность оставляло то обстоятельство, что формулировки ряда методов теории многих частиц носят зачастую искусственный, модельный характер и существенно меняются при переходе от метода к методу. В результате в значительной степени была утеряна глубокая внутренняя связь между разными методами, являющимися по своей сущности не чем иным, как различными приближениями к точному уравнению Шредингера.

В целом можно сказать, что необходимость замены отдельных частных методов теории многих частиц единым, общим и достаточно простым аппаратом ощущалась уже давно; в большой мере это диктовалось ростом круга и сложности задач, стоящих перед теорией. Удовлетворяющие соответствующим требованиям методы возникли, однако, лишь в самые последние годы. Эти методы (для краткости будем называть их полевыми) являются прямым и естественным развитием метода вторичного квантования и потому достаточно просты и компактны.

Основной элемент полевого описания – функции Грина – содержит многостороннюю физическую информацию о рассматриваемой системе; извлечение этой информации производится путем весьма несложных математических действий.

Анализ уравнений для функций Грина с учетом малости характеризующих систему безразмерных параметров открывает возможность упрощения этих уравнений. Существенную роль в этом отношении играет так называемая диаграммная техника, позволяющая с помощью несложных правил получить выражение для члена теории возмущений сколь угодно высокого порядка. Такой анализ дает прямое и надежное обоснование "старых" методов теории многих частиц, выясняет пределы применимости этих методов и позволяет их уточнять.

Переходя к краткой характеристике полевых методов теории многих частиц, сразу же отметим, что еще в первые годы становления квантовой механики системы частиц в ней возник подход, носящий название метода вторичного квантования и содержащий по существу все необходимое для полевого описания системы многих частиц. Понятие частицы в этом методе отодвигается на задний план и его место занимает понятие квантованного поля psi(x), psi⁺(x) (операторные функции уничтожения и рождения частиц); что же касается частицы, то она проявляется как квант этого поля. Процесс взаимодействия между частицами может быть интерпретирован как уничтожение частиц в начальном и рождение их в конечном состоянии. Вообще число частиц (в отличие от разности чисел частиц и дырок) в процессе взаимодействия не сохраняется. Важный процесс возбуждения системы также приобретает чиста полевую интерпретацию и в простейшем случае сводится к рождению пары – частица-дырка; обратный процесс возвращения системы в основное состояние отвечает аннигиляции этой пары. Таков далеко не полный перечень тех аспектов полевого описания, которые заложены в аппарате вторичного квантования.

В рамках теории многих частиц соответствующие возможности, однако, в этот первый период не получили развития, и приложение метода вторичного квантования к квантовой механике систем частиц ограничивалось до последнего времени сравнительна узкими рамками [см., однако, 3].

Ситуация коренным образом изменилась после того, как в тридцатые и особенно сороковые годы зародилась и стала развиваться теория элементарных частиц. Теория квантованного поля этих частиц с самого начала строилась по образцу теории систем многих частиц: на базе метода вторичного квантования. Большая физическая значимость этих исследований и в особенности наличие серьезных принципиальных трудностей привели к значительной концентрации усилий в области квантовой теории поля. В результате к началу пятидесятых годов было в основном завершена построение формального аппарата теории квантованного поля.

Этот аппарат в силу своего общего характера и несомненных преимуществ не мог не перерасти рамки теории элементарных частиц. Уже с середины пятидесятых годов начинают появляться первые работы по приложению полевых методов к системе многих частиц, т.е. к объекту, из которого эти методы в конечном счете и выросли. К настоящему времени число таких работ достигло нескольких сотен, и мы имеем сейчас в распоряжении вполне сформировавшийся, достаточно удобный и гибкий аппарат для исследования свойств систем многих частиц.

Необходимо подчеркнуть, что этот аппарат оказался в высокой степени адекватным важнейшему понятию физики систем многих частиц – понятию квазичастицы или элементарного возбуждения. Использующий это понятие подход [4–5] служил в значительной степени залогом успехов, достигнутых в соответствующих разделах теории. Введение понятия квазичастицы позволяет формулировать ряд аспектов описания в одночастичной форме, т.е. рассматривать систему взаимодействующих частиц как совокупность в значительной мере независимых коллективных образований – квазичастиц. Полевые методы теории многих частиц дают естественное обоснование такого подхода и устанавливают пределы его применимости.

В основу книги положены циклы лекций, читавшихся автором в 1960 и 1961 гг. для сотрудников Физического института им. П.Н.Лебедева АН СССР и Физико-энергетического института Государственного комитета Совета Министров СССР по использованию атомной энергии. В связи с этим книга является не монографией, дающей более или менее законченное представление о современном уровне развития полевой теории многих частиц и ее многочисленных приложениях, а скорее носящим вводный характер руководством, которое рассчитано на читателя, не знакомого с квантовой теорией поля и испытывающего поэтому затруднения при освоении полевых методов.

Ограниченный характер задачи, которую ставил перед собой автор при написании книги, не мог не сказаться на охвате имеющегося в литературе материала. Стремление к возможно более подробному изложению материала заставило сузить круг рассматриваемых в книге вопросов.

Не излагаются, в частности, феноменологические аспекты полевой теории многих частиц [8, 89], релятивистская теория систем многих частиц [11], полевая теория кинетических явлений [22]. Мы ограничиваемся рассмотрением наиболее важного случая систем ферми-частиц, охватывающего многоэлектронные и многонуклонные системы. Не излагаются также тесно связанные с теорией бозе-систем [19–21] вопросы теории сверхтекучего (сверхпроводящего) состояния [7–9, 30].

Для иллюстрации излагаемого в книге теоретического материала отобрано сравнительно небольшое число практических задач, относящихся к теории атомного ядра, плазмы, твердого тела и атома.

Глава I содержит вспомогательный материал, включающий необходимые для дальнейшего сведения из квантовой механики и отчасти из теории атомного ядра [23–28]. Изложена также теория псевдопотенциала, прямо и наглядно ведущая к выражению эффективного потенциала взаимодействия через амплитуду рассеяния частиц системы друг на друге. Кроме того, в гл.I приводится общая классификация систем многих частиц по силе взаимодействия между ними и степени сжатости системы. Эта классификация облегчает упрощение аппарата теории многих частиц. Особое внимание в гл.I уделяется методу вторичного квантования, являющемуся, как это уже подчеркивалось, основой полевых методов.

Построение теории многих частиц, как и всякой приближенной теории, следует начинать с выбора подходящего нулевого приближения. В качестве такового в книге выбрано приближение Хартри – Фока, дающее наилучшее описание системы, совместимое с понятием об индивидуальных состояниях частиц. Такой выбор позволяет учесть значительную часть взаимодействия уже на первом этапе вычислений, что приводит к заметному упрощению последующих выкладок. В первую очередь это относится к сжатым системам. Обычный выбор в качестве нулевого приближения модели идеального газа в ряде задач оказывается недопустимо грубым, например в атомных задачах, где эффект экранировки кулоновского поля ядра играет существенную роль, оставаясь вне рассмотрения в модели идеального газа. Гамильтониан возмущения, описывающий так называемые эффекты силовой корреляции, может быть представлен в виде простого нормального произведения операторов, благодаря чему значительно сокращается число подлежащих рассмотрению диаграмм теории возмущений.

Изложению теории многих частиц в приближении Хартри – Фока посвящена гл.II. В основу положен весьма удобный операторный подход. С его помощью осуществлен переход к квазиклассическому предельному случаю приближения Хартри – Фока – приближению Томаса – Ферми. В качестве приложений даны некоторые вопросы теории сильно сжатого вещества и теории ядерного вещества. Рассмотрение последней продолжено в гл.III и IV.

В гл.III строится общий полевой аппарат теории возмущений, основанный на теории S-матрицы и включающий в себя в качестве важнейшего элемента диаграммную технику. Приведена формулировка правил Фейнмана для построения элемента S-матрицы любого порядка. Даны соотношения, позволяющие найти матрицу плотности и энергию основного состояния системы в любом порядке теории возмущений. Особое внимание в главе уделяется связи между классификацией систем и отбором тех диаграмм теории возмущений, которые играют в рассматриваемых условиях основную роль.

В качестве приложений даются теория двухэлектронных атомов и теория ядерного вещества с учетом корреляционных эффектов.

В гл.II и III рассматривается почти исключительно основное состояние системы.

В гл.IV описываются свойства одно- и двухчастичной функции Грина и способы извлечения заключенной в них физической информации о рассматриваемой системе. Сформулированы уравнения для определения функций Грина. Подробно рассмотрена задача о нахождении характеристик возбужденных состояний системы. Дан вывод спектральных представлений функций Грина, на основе которых вводится понятие о квазичастицах и устанавливается связь характеристик квазичастиц с аналитическими свойствами функций Грина.

Далее в главе излагается общая теория разреженных систем многих частиц. Для них выводятся разложения физических величин в ряд по отношению амплитуды рассеяния к среднему расстоянию между частицами. Исследуются свойства фермиевского спектра возбуждений разреженных систем.

Подробно рассматриваются сжатые системы многих частиц как с кулоновскими, так и с короткодействующими силами. Исследуется бозевская ветвь возбуждений (плазмон, нулевой звук). Рассмотрены применения к проблеме плазменных колебаний в однородном электронном газе с компенсирующим фоном и атоме. Обсуждаются также некоторые приложения к теории ядра.

В гл.I–IV описание дается для температуры, равной нулю.

Исследованию поведения системы многих частиц в термостате и построению полевого аппарата квантовой статистики посвящена последняя, V глава книги. Рассмотрено приближение Хартри – Фока для "горячей" системы, которое применяется к выводу уравнения состояния такой системы.

Дано изложение как техники Матцубара, предназначенной для получения термодинамических характеристик системы, так и аппарата температурно-временных функций Грина, определяющего спектр возбуждений "горячей" системы.

Рассмотрены некоторые случаи применения этого аппарата к теории плазмы и коллективных колебаний.

Книга содержит также несколько приложений, в которые вынесен вспомогательный математический материал. В приложении А помещены правила вычисления средних значений всевозможных операторов физических величин. Приложение Б посвящено изложению основных правил и соотношений операторного исчисления. Подробно рассмотрены операторные функции от суммы некоммутирующих аргументов. Приложение В содержит основные сведения об интегралах от сингулярных функций и правилах их вычисления.

Об авторе

Киржниц Давид Абрамович

Выдающийся отечественный физик-теоретик, член-корреспондент АН СССР (1987). В 1949 г. окончил физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Впоследствии читал в МГУ студентам-физикам лекционные курсы, которые были опубликованы в виде книги «Лекции по физике» (М., 2006). С 1954 г. до конца жизни работал в теоретическом отделе Физического института им. П. Н. Лебедева АН СССР. Круг его научных интересов был чрезвычайно широк; им получены фундаментальные научные результаты в различных областях теоретической физики.

Среди важнейших трудов Д. А. Киржница работы по экстремальным состояниям вещества, электромагнитным функциям отклика, внутреннему строению сверхплотных звезд, построению модели космологического фазового перехода во Вселенной. Все основные труды автора собраны в двухтомнике «Труды по теоретической физике» (М., 2001), куда включены работы по квантовой теории поля, электродинамике, строению ядерной материи, физике сверхпроводимости и сверхтекучести, по вопросам неустойчивости физических систем, по астрофизике и космологии и др., а также воспоминания Д. А. Киржница, его друзей и коллег и полный список его научных работ.