|
Оглавление
Предисловие
В математике, как и вообще в научных исследованиях, встречаются две тенденции: тенденция к абстракции – она пытается выработать логическую точку зрения на основе различного материала и привести весь этот материал в систематическую связь – и другая тенденция, тенденция к наглядности, которая в противоположность этому стремится к живому пониманию объектов и их внутренних отношений. Что касается геометрии, то в ней тенденция к абстракции привела к грандиозным систематическим построениям алгебраической геометрии, римановой геометрии и топологии, в которых находят широкое применение методы абстрактных рассуждений, символики и анализа. Тем не менее и ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии, и притом не только как обладающее большой доказательной силой при исследовании, но и для понимания и оценки результатов исследования. Здесь мы будем рассматривать геометрию в ее современном состоянии с наглядной стороны. Руководствуясь непосредственным созерцанием, мы сможем уяснить многие геометрические факты и постановку вопросов и благодаря этому во многих случаях мы сможем также изложить в наглядной форме методы исследований и доказательств, которые приводят к пониманию теорем без введения в рассмотрение деталей абстрактных теорий и выкладок. Например, доказательство того, что сфера со сколь угодно малой дырой все еще разгибаема, или что два различных тора не всегда могут быть конформно отображены друг на друга, можно представить в такой форме, которая дает представление о ходе доказательства, не заставляя следовать за деталями аналитического изложения. Благодаря разносторонности геометрии и ее отношениям к различным ветвям математики мы получим, таким образом, обзор математики вообще и представление об изобилии ее проблем и о богатстве содержащихся в ней идей. Так, с помощью наглядного рассмотрения выявятся результаты важнейших направлений геометрии, содействующие справедливой оценке математики в широкой публике. Ибо вообще математика не пользуется популярностью, хотя ее значение и признается. Причина этого лежит в распространенном представлении о математике как о продолжении и более высокой ступени счетного мастерства. Этому представлению должна противостоять наша книга, в которой вместо формул приведено много наглядных фигур, которые читатель легко дополнит моделями. Книга должна послужить увеличению числа друзей математики, облегчая читателю проникновение в математику без необходимости изучения ее, сопряженного с известными трудностями. При такой целеустановке благодаря богатству материала не может быть никакой речи о систематичности и полноте изложения; не могли быть исчерпаны также и отдельные темы. Далее невозможно во всех разделах этой книги предполагать у читателя равную степень математической подготовки. В то время как вообще изложение совершенно элементарно, некоторые прекрасные математические исследования можно изложить вполне понятно только прошедшим уже некоторую школу, если избегать утомительных длиннот. Все добавления к отдельным главам предполагают известное предварительное образование. Они всегда дополняют, а не поясняют текст. Различные ветви геометрии находятся в тесных и часто неожиданных взаимоотношениях друг с другом. В нашей книге это очень часто проявляется. При большом разнообразии материала было все же необходима придать каждой отдельной главе известную законченность и в последующих главах не предполагать полного знания предыдущих; путем отдельных маленьких повторений мы надеялись достигнуть того, что каждая отдельная глава, а иногда даже отдельные разделы представляют интерес сами по себе и в отдельности доступны пониманию читателя. Пусть читатель прогуливается в огромном саду геометрии, в котором каждый может составить себе такой букет, какой ему нравится. Основу этой книги составили четырехчасовые лекции "Наглядной геометрии", которые я читал зимой 1920/21 г. в Геттингене и которые обработал В.Роземан. В основном содержание и построение их остались неизменными. В деталях С.Кон-Фоссен многое переработал и частично расширил. Давид Гильберт
Геттинген, июнь 1932 г.
Об авторах
 Гильберт Давид Выдающийся немецкий математик-универсал, внесший значительный вклад в развитие многих математических разделов. Родился в г. Велау близ Кенигсберга (ныне Калининград, Россия), в семье окружного судьи. Окончил Кенигсбергский университет. В 1893–1895 гг. профессор Кенигсбергского, а в 1895–1930 гг. — Геттингенского университетов. В 1900 г. на 2-м Международном математическом конгрессе Д. Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешенных проблем математики, постановка которых во многом определила развитие математики в XX в. Исследования Д. Гильберта оказали большое влияние на развитие математической логики, теории инвариантов, теории алгебраических чисел, геометрии, вариационного исчисления, дифференциальных и интегральных уравнений, функционального анализа, математической физики и других областей математики. В число его учеников входили выдающиеся математики Э. Цермело, Г. Вейль, Дж. фон Нейман, Р. Курант, Г. Штейнгауз, чемпион мира по шахматам Э. Ласкер и многие другие.
Кон-Фоссен Стефан Эммануилович Немецкий и советский математик. Родился в г. Бреслау (ныне Вроцлав, Польша). В 1930 г. стал профессором Кельнского университета. В 1934 г. эмигрировал в СССР; работал в Математическом институте АН СССР (МИАН), был профессором Ленинградского университета. Занимался вопросами дифференциальной геометрии, изгибания поверхностей в целом и внутренней геометрии поверхностей.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||