Обложка Боярчук А.К. АнтиДемидович. Т.4. Ч.2: Интегрирование в комплексной плоскости, ряды аналитических функций, аналитическое продолжение. СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Т.4: Функции комплексного переменного: теория и практика
Id: 258664
339 руб.

АнтиДемидович.
Т.4. Ч.2: Интегрирование в комплексной плоскости, ряды аналитических функций, аналитическое продолжение. Т.4: Функции комплексного переменного: теория и практика. Справочное пособие по высшей математике Т.4. Ч.2. Изд. стереотип.

АнтиДемидович. Т.4. Ч.2: Интегрирование в комплексной плоскости, ряды аналитических функций, аналитическое продолжение. СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Т.4: Функции комплексного переменного: теория и практика
URSS. 2020. 224 с. ISBN 978-5-397-07281-6.
Типографская бумага
  • Мягкая обложка

Аннотация

Предлагаемая читателю серия книг "Справочное пособие по высшей математике" охватывает почти все разделы высшей математики.

В четвертом томе "Функции комплексного переменного: теория и практика" наряду с необходимыми теоретическими сведениями содержится свыше 370 детально разобранных примеров, в том числе повышенной сложности. Читателю также предлагается около 200 упражнений с ответами для самоконтроля. Книга является логическим... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие6
Глава 1. Интегрирование в комплексной плоскости. Интегралы Ньютона—Лейбница и Коши8
§1. Интеграл Ньютона—Лейбница8
1.1. Первообразная8
1.2. Интеграл Ньютона—Лейбница10
1.3. Линейность интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям13
§2. Производные и интегралы Ньютона—Лейбница любых порядков16
2.1. Определение n-производной и п-интеграла16
2.2. Формула Ньютона—Лейбница. Производные по пределам интегрирования19
2.3. Формула Тейлора21
§3. Производная Ферма—Лагранжа. Формула Тейлора—Пеано22
3.1. Производная Ферма—Лагранжа22
3.2. Теорема Тейлора—Пеано и ее обращение24
§4. Криволинейные интегралы27
4.1. Интегрирование функций по ориентированной гладкой кривой27
4.2. Гомотопия двух кривых (путей)31
§5. Теорема и интеграл Коши33
5.1. Существование локальной первообразной аналитической функции33
5.2. Первообразная вдоль кривой (вдоль пути)38
5.3. Теорема Коши41
5.4. Интегральная формула Коши52
Примеры55
§6. Интеграл типа Коши58
6.1. Определение и основное свойство интеграла типа Коши58
6.2. Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части63
6.3. Теоремы Лиувилля и Морера65
6.4. Главное значение и предельные значения интеграла типа Коши66
6.5. Формулы Шварца и Пуассона70
Примеры74
Упражнения для самостоятельной работы96
Глава 2. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки100
§ 1. Ряд Тейлора100
1.1. Общие сведения о рядах100
1.2. Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость103
1.3. Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда104
1.4. Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов109
1.5. Функциональные свойства равномерной суммы функционального ряда115
1.6. Степенные ряды121
1.7. Теорема Тейлора127
1.8. Теорема единственности131
Примеры135
§ 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций150
2.1. Теорема Лорана150
2.2. Классификация изолированных особых точек в С155
2.3. Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке156
2.4. Бесконечная изолированная особая точка162
Примеры163
Упражнения для самостоятельной работы173
Глава 3. Аналитическое продолжение178
§1. Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути180
1.1. Свойство единственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения180
1.2. Аналитическое продолжение вдоль пути185
1.3. Инвариантность аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути188
§ 2. Полные аналитические функции191
2.1. Понятие полной аналитической функции191
2.2. Примеры полных аналитических функций194
2.3. Особые точки полной аналитической функции196
2.4. Существование особой точки на границе круга сходимости степенного ряда198
§3. Принципы аналитического продолжения199
Примеры202
Упражнения для самостоятельной работы207
Ответы211
Литература214
Предметный указатель215

Предисловие

В учебной литературе, рекомендованной для изучения теории функций комплексного переменного, имеется много содержательных учебников и учебных пособий, авторами которых являются известные ученые М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат, И.И.Привалов, А.И.Маркушевич, А.В.Бицадзе, М.А.Евграфов, А.Гурвиц, Р.Курант и другие. К сожалению, большинство из них не приспособлено как по объему, так и по выбору и распределению материала к учебным программам по теории функций комплексного переменного для физико-математических факультетов университетов России и других стран СНГ. Ничтожно мало написано пособий по решению задач. Начинающему преподавателю, а тем более студенту и аспиранту, нелегко выделить из объемистой книги основной материал так, чтобы образовался целостный, логически завершенный курс, отвечающий учебной программе.

Указанные выше обстоятельства натолкнули автора на мысль о необходимости написания на современном уровне требований книги, которая соответствовала бы учебным университетским программам по данному предмету, не была перегружена частностями и содержала большое количество решенных задач. В книгу включено более 370 решенных задач средней и повышенной трудности.

Характерной чертой многих книг по теории функций комплексного переменного является разнобой и нечеткость основной терминологии. Например, основное понятие аналитической функции в разных местах одной и той же книги может иметь разный смысл. Это обстоятельство принято во внимание автором, и все рассматриваемые понятия имеют вполне определенный смысл.

В первой главе первой части книги дано строгое определение функции (а не описание ее, как это принято в большинстве учебников), рассмотрены операции над множествами и основные вопросы теории метрических пространств. Без включения этого материала в книгу изложение основных вопросов на современном математическом уровне оказалось бы невозможным. Поэтому читателю будет полезно хотя бы бегло прочитать эту небольшую по объему главу для понимания остальных глав, включающих традиционные вопросы, относящиеся к теории аналитических функций, которая была создана в XIX столетии в первую очередь благодаря работам О.Коши, Г.Римана, К.Вейерштрасса.

В книге уделено большое внимание практическим вопросам конформных отображений. Новыми для читателя окажутся понятия интеграла Ньютона--Лейбница и производной Ферма--Лагранжа.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, владеющих знаниями в объеме стандартных программ по математическому анализу для студентов физико-математических специальностей университетов.

Автор

Об авторе
Боярчук Алексей Климентьевич
Родился 4 февраля 1925 г. в селе Фесюры Киевской области. В феврале 1944 г. был призван в армию, участвовал в боевых действиях, награжден орденами и медалями. Окончив в 1956 г. механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко и работая на этом факультете преподавателем, защитил в 1965 г. кандидатскую диссертацию, посвященную исследованию теории разностных схем для дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. С 1967 г. — доцент кафедры вычислительной математики факультета кибернетики Киевского университета. Автор 60 научных работ, в том числе 21 учебника и учебного пособия, изданных на нескольких языках мира. Лауреат Государственной премии Украины и награды Ярослава Мудрого АН высшей школы Украины в области науки и техники.