Владимиров Ю.С. Классическая теория гравитации Изд. 3, стереотип.

Оглавление

Предисловие

Содержание предлагаемой читателю книги представляет собой годовой цикл лекций по курсу "Классическая теория гравитации", которые в течение многих лет читаются студентам 4-го курса физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова, а также в Институте гравитации и космологии при Российском университете дружбы народов. Книга состоит из двух частей, соответствующих учебному плану первого и второго семестров.

Первая часть включает 3 главы, каждая из которых состоит из нескольких разделов (лекций). Общее число лекций, включая Введение, предназначенных для первого семестра, – 15.

В первой главе первой части книги излагаются основы римановой геометрии и принципы общей теории относительности. Здесь приводятся необходимые сведения о тензорном исчислении и вводятся ключевые понятия дифференциальной геометрии: метрика, параллельный перенос, ковариантное дифференцирование, уравнения геодезических линий, тензор кривизны – и, наконец, записываются уравнения Эйнштейна и уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени.

Во второй главе первой части рассматриваются наиболее важные точные решения уравнений Эйнштейна: сферически симметричное решение Шварцшильда, на основе которого описываются главные эффекты общей теории относительности, а также аксиально симметричная метрика Керра, создаваемая вращающимися массивными объектами. Здесь же приведены физически наиболее интересные обобщения этих метрик.

Третья глава является своего рода введением в современные представления о мире в целом, основывающиеся на точных однородных изотропных космологических решениях Фридмана. Дана также информация о некоторых других космологических моделях, в том числе и о первом космологическом решении Эйнштейна.

В первой части книги учтен материал лекций по общей теории относительности (ОТО), которые в 1950-е годы читал на физическом факультете МГУ профессор М.Ф.Широков, в свое время слушавший самого А.А.Фридмана. Разумеется, их содержание существенно переработано и дополнено с учетом последних работ по данной проблематике.

Одной из ведущих идей первой части была 4-мерная симметрияпространства-времени. А вторая часть, предназначенная для второго семестра, исходит из противоположной идеи, – (1 + 3)-расщепления единого пространственно-временного многообразия на физически наблюдаемое время и 3-мерное пространственное сечение наблюдателя, что достигается посредством монадного метода задания систем отсчета.

Начальная (четвертая) глава этой части посвящена изложению монадного метода задания системы отсчета как в общековариантном виде, не зависящем от выбора координатной системы, так и в двух специальных групповых калибровках, где понятия системы отсчета и координатных систем связаны специальными условиями. Эти две калибровки монадного метода составляют теории хронометрических и кинеметрических инвариантов. Только при добавлении методов задания систем отсчета к материалу первой части книги общая теория относительности в полной мере может соответствовать своему названию.

В следующей (пятой) главе рассмотрены наиболее важные приложения монадного метода в общей теории относительности. Это, прежде всего, проблема законов сохранения в искривленном пространстве-времени. Здесь обсуждены суть и недостатки как псевдотензорного, так и монадного подходов к ее решению. Далее монадный и диадный методы применяются при анализе проблемы описания гравитационных и грави-инерциальных волн в ОТО. В последнем разделе приводятся формулировки общей теории относительности на основе монадного метода, развитые с целью ее подготовки к квантованию.

Наконец, в заключительной (шестой) главе книги монадный метод используется для корректного изложения и физической интерпретации 5-мерной геометрической модели объединения гравитации и электромагнетизма (теории Калуцы). Известно, что впервые элементы монадного метода, или метода (1 + 4)-расщепления, были введены именно в рамках 5-мерной теории для выделения из 5-мерных геометрических понятий электромагнитных величин. Затем, после уточнения в рамках метода (1 + 3)-расщепления, он был вновь применен для строгой формулировки 5-мерной теории Калуцы.

Вторая часть также состоит из трех глав, в совокупности насчитывающих 15 разделов (лекций). Представленный здесь материал базируется преимущественно на отечественных исследованиях в этой области. Результаты, полученные зарубежными авторами, переработаны в терминологии монадного метода.

Материал данного курса лекций допускает некоторые видоизменения, дополнения и перестановки. Например, можно помещать в иные разделы изложение конформных преобразований, дифференцирование Ли или классификацию Петрова пространств Эйнштейна. Предполагается постоянное обновление материала с учетом новых экспериментальных данных в ОТО, особенно в области релятивистской астрофизики.

В приложении приведены билеты для экзаменов или зачетов по данному курсу лекций, а также примерные темы курсовых работ.

Следует отметить, что представленный в книге лекционный материал нацелен на изложение лишь ключевых идей, принципов и следствий классической теории гравитации (общей теории относительности). Более подробное рассмотрение современной теории гравитации содержится в нашей книге "Геометрофизика".

Автор выражает признательность ученикам, коллегам и слушателям лекций за внимание к данной проблематике, а также за вопросы и замечания, которые помогли в разработке данного курса лекций..

Из введения

Истоки неевклидовой геометрии

Идеологические предпосылки геометрического миропонимания были заложены в трудах Р.Декарта (1596–1650) и И.Канта (1724–1804), а физические (экспериментальные) – сложились после опытов Г.Галилея (1564–1642) с телами, падающими с Пизанской башни. Однако разработке соответствующей теории препятствовали укоренившиеся представления. Так, пространство считалось однородным (одинаковым во всех точках) и изотропным (одинаковым по всем направлениям), а время – однородным. Очевидность устоявшихся представлений о мире практически исключала саму возможность его обсуждения. А как же могло быть иначе! Оставалось только принимать пространство и время априорно заданными именно с такими свойствами, что и проявилось в философии Канта. Понадобились века (если не тысячелетия) для признания возможности более общих пространственно-временных многообразий, позволяющих включить в себя категорию полей переносчиков взаимодействий.

Истоки идеи об искривленности пространства (точнее, пространства-времени) фактически восходят к пятому постулату Евклида, казалось бы, не имеющему никакого отношения к физике и, тем более, к описанию полей переносчиков физических взаимодействий. Принципиально важным моментом здесь стал анализ логических основ евклидовой геометрии, которая трактовалась как единственно возможная, априорно заданная. Многие математики на протяжении более чем двух тысячелетий сомневались в необходимости этого постулата, пытались его доказать на основе остальных аксиом. Существует мнение, что и сам Евклид (III в. до н.э.) испытывал колебания, отнеся его в разряд постулатов. Иначе, чем объяснить, что материал в "Началах" состоит как бы из двух частей: теорем, которые доказываются без использования пятого постулата (абсолютная геометрия), и ряда теорем, опирающихся на пятый постулат (собственно евклидова геометрия)? Видимо, сам Евклид пошел на этот шаг, потерпев неудачу в попытках доказательства пятого постулата.

Так или иначе, но в течение двух тысячелетий было предпринято множество попыток доказать пятый постулат. Из истории математики известно, что различные варианты доказательств предлагали: Посидоний (I в. до н.э.), Птолемей (II в. н.э.), Прокл (410–485), Насирэддин (1201–1274), Валлис (1616–1703), Саккери (1667–1733), Ламберт (1728–1777), Лежандр (1752–1833), Фаркаш Бояи (1775–1856) и многие другие. При внимательном рассмотрении предложенных доказательств выяснялось, что либо в них допускались логические ошибки, либо по ходу дела предполагалось как очевидное нечто такое, что было равносильно утверждению пятого постулата. Например, его формулировке эквивалентны следующие утверждения (см. рис.1):

"Через точку C, лежащую вне данной прямой AB, проходит только одна параллельная ей прямая", т.е. прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой и не пересекающая ее.

"Сумма углов любого плоского треугольника равна двум прямым углам, или 180^o и т.д. Можно привести большое число подобных равносильных утверждений.

Решение проблемы, стоявшей перед человечеством более двух тысячелетий, – выход за "геркулесовы столпы", – удалось найти лишь в первой трети XIX века. Этот важный шаг в развитии науки связан с именами Николая Ивановича Лобачевского (1792–1856), Карла Гаусса (1777–1855) и Яноша Бояи (1802–1860).

При некотором различии использованных методик, глубины и объема разработки проблемы суть сделанного открытия была одна, да и ход рассуждений был близким. Ставился вопрос: что будет, если отказаться от пятого постулата, т.е. предположить противное: пусть через одну точку C, лежащую вне данной прямой AB, проходит не одна, а две (а следовательно, и бесконечно много) параллельных ей прямых? Дальше задача состояла в построении геометрии с новой аксиомой. Расчет был прост. Если пятый постулат представлял собой теорему, то в геометрии с измененным утверждением рано или поздно должно встретиться противоречие, что и будет означать ложность сделанного допущения. Это и стало бы доказательством пятого постулата.

Однако, развивая такую геометрию, авторы не только не обнаружили каких-либо противоречий, но, наоборот, довольно быстро убедились, что перед ними разворачивается новая стройная геометрия с рядом интересных своеобразных свойств. Оказалось, что в новой геометрии сумма углов треугольников меньше 180^o и эта величина зависит от линейных размеров треугольника. Кроме того, в теории возникает некий параметр с размерностью длины, а геометрические свойства систем зависят от отношения к нему их размеров, что приводит, в частности, к отсутствию подобныхфигур. В малых областях новая геометрия практически совпадает с геометрией Евклида, но в больших – они отличаются. Лобачевский назвал свою геометрию "воображаемой" (или "пангеометрией") (см. [с.11–17]bib:11), а Швейкарт – "звездной", или "астральной". Но дело не в названии, а в ее отличии от геометрии Евклида.

Несмотря на уверенность в своей правоте, Гауссу, Лобачевскому, Яношу Бояи и другим не удалось найти окончательного доказательства логической непротиворечивости построенной геометрии. Одно дело – отсутствие противоречий в геометрических построениях, даже продвинутых достаточно далеко, и их логическая стройность, и совершенно другое – доказательство их непротиворечивости в новой теории вообще. Окончательное подтверждение геометрия Лобачевского получила лишь в 70-х годах XIX века в работах итальянского геометра Эудженио Бельтрами (1835–1900) и немецкого математика Феликса Клейна (1849–1925). Основная идея предложенного доказательства состоит в том, чтобы свести неевклидову геометрию, впервые построенную как планиметрия, к геометрии на трехмерной гиперповерхности постоянной отрицательной кривизны (на трехмерном гиперболоиде) в четырехмерной геометрии Евклида. При этом нужно только заменить понятия прямых (кратчайших линий в мире Евклида) на геодезические линии (экстремальные кривые) на гиперповерхности. Тогда все утверждения относительно прямых в геометрии Лобачевского перейдут в соответствующие утверждения о свойствах таких линий на гиперболоиде.

Поскольку невозможно наглядно представить себе гиперболически искривленный трехмерный мир, это можно проиллюстрировать с помощью линий – гипербол на двухмерном гиперболоиде. Так, на рис.2 пояснено обобщение пятого постулата Евклида. Через точку C, не лежащую на выбранной гиперболе AB, проходят две гиперболы, которые не пересекаются с AB. Следовательно, все другие гиперболы, обозначенные пунктирными линиями, не будут пересекать AB. На рис. 2 изображен треугольник, образованный пересечением трех гипербол. Легко понять, что сумма его углов alpha + beta + gamma < 180^o.

В силу указанных причин первую неевклидову геометрию (геометрию Лобачевского) в литературе часто называют гиперболической. Содержащийся в геометрии Лобачевского параметр размерности длины имеет геометрический смысл кривизны трехмерного гиперболоида. Теперь легко понять зависимость свойств геометрических фигур от их размера.

Об авторе

Физик-теоретик, доктор физико-математических наук (1976), профессор кафедры теоретической физики физического факультета МГУ, профессор Института гравитации и космологии Российского университета дружбы народов, академик РАЕН, вице-президент Российского гравитационного общества, главный редактор альманаха "Метафизика. Век XXI". Окончил физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова в 1961 г. Область научных интересов: классическая и квантовая теория гравитации, проблема объединения физических взаимодействий, многомерные модели физических взаимодействий, теория прямого межчастичного взаимодействия, теория систем отношений, метафизические и философские проблемы теоретической физики. Ю. С. Владимиров – автор ряда монографий, среди которых: "Системы отсчета в теории гравитации" (1982), "Пространство-время: явные и скрытые размерности" (1989), "Метафизика" (2002; 2009), "Геометрофизика" (2005), "Основания физики" (2008) и др.