Обложка Этингоф П., Гольберг О., Хензель С., Лю Т., Швенднер А., Вайнтроб Д., Юдовина Е., Герович С. Введение в теорию представлений
Id: 257636
219 руб.

Введение в теорию представлений

2019. 224 с. ISBN 978-5-4439-1399-5.
  • Мягкая обложка

Аннотация

Книга представляет собой целостное введение в теорию представлений: представления групп, алгебр Ли и колчанов рассматриваются как частные случаи теории представлений ассоциативных алгебр. В рамках этого подхода подробно излагаются стандартные разделы теории представлений структур указанных трех типов. Теоретический материал дополняют многочисленные задачи и упражнения; отдельные разделы посвящены истории предмета.

Для студентов математических специальностей университетов.


Оглавление

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Глава 2. Основные понятия теории представлений . . . . . . . . 10

§ 2.1. Что такое теория представлений? . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§ 2.2. Алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

§ 2.3. Представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 2.4. Идеалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

§ 2.5. Факторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

§ 2.6. Алгебры, задаваемые образующими

и соотношениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

§ 2.7. Примеры алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

§ 2.8. Колчаны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

§ 2.9. Алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

§ 2.10. Историческая интерлюдия: испытания

и преобразования Софуса Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

§ 2.11. Тензорные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

§ 2.12. Тензорная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

§ 2.13. Третья проблема Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

§ 2.14. Тензорные произведения представлений

и сопряжённые представления алгебр Ли . . . . . . . . . . . 41

§ 2.15. Представления алгебры Ли sl(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§ 2.16. Задачи об алгебрах Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Глава 3. Общие результаты теории представлений . . . . . . . . 46

§ 3.1. Подпредставления в полупростых представлениях . . . . 46

§ 3.2. Теорема плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

§ 3.3. Представления прямых сумм матричных алгебр . . . . . 50

§ 3.4. Фильтрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

§ 3.5. Конечномерные алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

§ 3.6. Характеры представлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

§ 3.7. Теорема Жордана — Гёльдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

§ 3.8. Теорема Крулля — Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Оглавление

§ 3.9. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

§ 3.10. Представления тензорных произведений . . . . . . . . . . . 62

Глава 4. Представления конечных групп:

основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

§ 4.1. Теорема Машке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

§ 4.2. Характеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

§ 4.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

§ 4.4. Двойственные представления и тензорные

произведения представлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

§ 4.5. Ортогональность характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

§ 4.6. Унитарные представления. Другое доказательство

теоремы Машке для комплексных представлений . . . . 73

§ 4.7. Ортогональность матричных элементов . . . . . . . . . . . . 75

§ 4.8. Таблицы характеров, примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

§ 4.9. Вычисление кратностей неприводимых представлений

в тензорных произведениях с помощью таблиц

характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

§ 4.10. Определитель Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

§ 4.11. Историческая интерлюдия: Георг Фробениус

и его «принцип лошадиных торгов» . . . . . . . . . . . . . . . 82

§ 4.12. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

§ 4.13. Историческая интерлюдия: Уильям Роуэн Гамильтон

и его кватернион геометрии, алгебры, метафизики

и поэзии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Глава 5. Представления конечных групп:

дальнейшие результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

§ 5.1. Индикатор Фробениуса — Шура . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

§ 5.2. Алгебраические и целые алгебраические числа . . . . . . 98

§ 5.3. Теорема Фробениуса о делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

§ 5.4. Теорема Бёрнсайда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

§ 5.5. Историческая интерлюдия: Уильям Бёрнсайд

и интеллектуальная гармония в математике . . . . . . . . 105

§ 5.6. Представления произведений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

§ 5.7. Виртуальные представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

§ 5.8. Индуцированные представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

§ 5.9. Формула Фробениуса для характера

индуцированного представления . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Оглавление 5

§ 5.10. Взаимность Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

§ 5.11. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

§ 5.12. Представления группы S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

§ 5.13. Доказательство классификационной теоремы

для представлений группы S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

§ 5.14. Индуцированные представления

симметрической группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

§ 5.15. Формула Фробениуса для характеров . . . . . . . . . . . . . . 121

§ 5.16. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

§ 5.17. Формула крюков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

§ 5.18. Двойственность Шура — Вейля для gl(V) . . . . . . . . . . . 125

§ 5.19. Двойственность Шура — Вейля для GL(V). . . . . . . . . . . 127

§ 5.20. Историческая интерлюдия: Герман Вейль

на пересечении скованности и свободы . . . . . . . . . . . . 128

§ 5.21. Функции Шура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

§ 5.22. Характеры представлений L# . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

§ 5.23. Алгебраические представления группы GL(V) . . . . . . . 136

§ 5.24. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

§ 5.25. Представления группы GL(#) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

§ 5.26. Теорема Артина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

§ 5.27. Представления полупрямых произведений . . . . . . . . . . 147

Глава 6. Представления колчанов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

§ 6.1. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

§ 6.2. Неразложимые представления колчанов A1, A2, A3 . . . 153

§ 6.3. Неразложимые представления колчана D4 . . . . . . . . . . 157

§ 6.4. Корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

§ 6.5. Теорема Габриэля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

§ 6.6. Функторы отражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

§ 6.7. Элементы Кокстера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

§ 6.8. Доказательство теоремы Габриэля . . . . . . . . . . . . . . . . 170

§ 6.9. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Глава 7. Введение в теорию категорий . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

§ 7.1. Определение категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

§ 7.2. Функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

§ 7.3. Морфизмы функторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

§ 7.4. Эквивалентность категорий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

§ 7.5. Представимые функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6 Оглавление

§ 7.6. Сопряжённые функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

§ 7.7. Абелевы категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

§ 7.8. Комплексы и когомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

§ 7.9. Точные функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

§ 7.10. Историческая интерлюдия: Эйленберг, Маклейн

и «общая абстрактная чепуха» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Глава 8. Гомологическая алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

§ 8.1. Проективные и инъективные модули . . . . . . . . . . . . . . 198

§ 8.2. Функторы Tor и Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Глава 9. Структура конечномерных алгебр . . . . . . . . . . . . . . . 205

§ 9.1. Поднятие идемпотентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

§ 9.2. Проективные накрывающие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

§ 9.3. Матрица Картана конечномерной алгебры . . . . . . . . . 207

§ 9.4. Гомологическая размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

§ 9.5. Блоки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

§ 9.6. Конечные абелевы категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

§ 9.7. Эквивалентность Мориты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Библиография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Список литературы к историческим интерлюдиям . . . . . . . . 214

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219