Обложка Смольяков Э.Р. Динамическая теория игр: Дифференциальные игры и конфликты
Id: 257100
541 руб.

Динамическая теория игр:
Дифференциальные игры и конфликты Изд. 2, стереотип.

URSS. 2020. 160 с. ISBN 978-5-9710-7192-1.

Аннотация

В монографии излагается новый подход к исследованию антагонизмов, позволивший получить совершенно новые понятия игровых равновесий и описать в рамках единой теории как уже известные в теории игр равновесия, так и предложенные новые. Показывается, что все равновесия (известные и предлагаемые) могут быть выстроены в две иерархические цепи — симметричных (состоящих из различных типов седловых точек) и несимметричных (состоящих из гарантированных ...(Подробнее)оценок) игровых равновесий, один конец каждой из которых замыкают всегда существующие слабые равновесия, а другой — сильные равновесия. Для всех равновесий в монографии доказываются теоремы существования и необходимые условия оптимальности. Исследование проводится как в чистых, так и в смешанных стратегиях. Наибольшее внимание уделяется программным антагонистическим дифференциальным играм. Применение теоретических результатов как для задач принятия или отказа от предложения, так и для собственно игровых задач демонстрируется на большом числе примеров.

Для специалистов в области теории игр, оптимизации и принятия решений.


Оглавление
Введение
Глава 1.Равновесия в антагонистических играх
 1.Иерархические семейства антагонистических равновесий
 2.Типы седловых точек и связи между ними
 3.Антагонистические равновесия в играх с многозначными целевыми функционалами
 4.Антагонистические задачи с дискриминацией участников
 5.Процедуры поиска антагонистических равновесий
Глава 2.Седловые точки в дифференциальных играх со свободным правым концом: игры на независимых множествах
 1.Постановка задачи
 2.Теорема существования и необходимые условия существования классической седловой точки
 3.Примеры решения игровых задач
Глава 3.Дифференциальные игры с закрепленными концами: игры на зависимых множествах
 1.Постановка задачи и вспомогательные теоремы
 2.Условия существования седловых точек
 3.Симметричное $A$-равновесие в дифференциальных играх
 4.Необходимые условия существования симметричного согласованно активного равновесия
Глава 4.Седловые точки в дифференциальных играх с подвижными концами: игры с многозначными платежными функциями
 1.Постановка задачи и существование решения
 2.Необходимые условия существования зависимой седловой точки
 3.Некоторые обобщения необходимых условий существования зависимой седловой точки
Глава 5.Дифференциальные игры с дискриминацией участников в смешанных стратегиях
 1.Постановка задачи и теоремы существования антагонистических равновесий
 2.Необходимые условия существования равновесий
 3.Процедуры поиска седловых точек
Глава 6.Многокритериальные дифференциальные игры
 1.Постановка задачи, существование решений
 2.Необходимые условия существования индивидуально-эффективных ситуаций
 3.Некоторые обобщения индивидуально-эффективных ситуаций
Список литературы

Введение

В монографии предлагается новый подход к поиску решения задач принятия или отказа от предложений в случае двух участников с противоположными интересами и задач, определяемых как антагонистические игры, в основу которого положена иерархическая система разработанных автором игровых равновесий. В жизни классические игровые ситуации встречаются, вообще говоря, реже, чем ситуации, в которых приходится соглашаться со сделанным нам предложением или отказываться от него. Действительно, вся наша жизнь состоит из цепи ситуаций, в которых нам приходится делать выбор -- оставаться пассивными в реализовавшейся ситуации или же предпринимать какие-либо действия, чтобы изменить эту ситуацию, но если мы предпринимаем действия по выходу из сложившейся ситуации, то неизбежно Природа или люди реагируют на наши действия, и эти их реакции в общем случае отслеживают цели, вовсе не совпадающие с нашей целью. Так что жизнь постоянно ставит нас перед выбором: принять или отказаться от сделанного нам случаем (или кем-то) предложения.

Основы теории принятия или отказа от предложения, как показали исследования, оказавшиеся пригодными также и в качестве базы для разработки игровых равновесий, изложены в монографии [40]. В предлагаемой читателю работе теория отказа или принятия предложений разрабатывается в направлении использования ее для разрешения антагонистических ситуаций как собственно в задачах принятия или отказа от предложения, так и в антагонистических играх.

Известно, что наиболее обоюдовыгодное разрешение антагонистических отношений, моделируемых антагонистической игрой, оказывается возможным в тех случаях, когда платежная функция игры имеет седловую точку. Для игр как в статической, так и в динамической постановке, допускающих решение в форме седловой точки в том или ином классе стратегий, к настоящему времени создан относительно хорошо разработанный, хотя еще и относительно далекий от завершения, математический аппарат. Однако в реалистичных игровых моделях седловые точки (в наиболее естественном классе -- чистых стратегий) в большинстве случаев отсутствуют, и тогда в качестве решения зачастую приходилось довольствоваться не очень-то удовлетворительным понятием гарантированной оценки.

В первой главе монографии излагаются основы предложенной автором теории антагонистических равновесий, базой для создания которых послужили понятия активных равновесий в бескоалиционных играх [40]. Не будет преувеличением сказать, что если в антагонистической игре существует ситуация, называемая седловой точкой в естественном классе стратегий -- чистых стратегий, то любое другое понятие решения игры не удовлетворит его участников. Но, к сожалению, седловая точка (в известной ее классической форме) существует лишь в очень узких классах игр. Ее отсутствие в математической модели игры, однако, вовсе не устраняет антагонизма между участниками, а приводит к необходимости поиска иной ситуации, которая разрешила бы игровую задачу или задачу принятия или отказа от предложения при обоюдном согласии с нею ее участников.

Исторически проблему отсутствия (классической) седловой точки пытались разрешить посредством введения понятия смешанной стратегии. И было доказано, что в реальных играх смешанные стратегии позволяют реализовать решение типа седловой точки, если игра состоит из очень большого числа партий. Но когда она разыгрывается однократно или состоит из небольшого числа партий, смешанные стратегии не оказываются разумными стратегиями для участников.

В первом параграфе главы 1 излагаются концептуальные основы теории активных антагонистических равновесий в рамках задачи принятия или отказа от предложения, аксиоматически вводимых в виде двух групп равновесий -- симметричных и несимметричных -- и позволяющих даже в классе чистых стратегий указать в любой задаче наиболее устойчивые игровые равновесия. Обе группы равновесий содержат в своем составе равновесия, существующие в любых задачах, и имеют иерархическую структуру, причем в группе симметричных равновесий наиболее сильными и наиболее предпочтительными являются решения типа (классической) седловой точки, отсутствие которых в игре позволяет, однако, удовлетвориться ближайшим к нему в иерархической цепи равновесием из существующих в игре более слабых активных равновесий (в числе которых -- и новые типы седловых точек).

Во втором параграфе главы 1 установлена иерархия между четырьмя типами седловых точек -- независимой (классической), слабозависимой, самой общей из известных до настоящего времени -- зависимой и предлагаемой новой, еще более общей -- сильнозависимой, и доказаны наиболее общие теоремы существования зависимой седловой точки. В третьем параграфе рассматриваются по существу совершенно не изученные игры с многозначными функционалами, для которых доказаны теоремы существования симметричных активных равновесий. В четвертом параграфе изучаются игры с дискриминацией участников в чистых и смешанных стратегиях в случае наличия зависимости между стратегиями участников. Получены конструктивные необходимые условия существования максиминов и минимаксов и доказана теорема существования седловой точки для совершенно неизученного в теории игр случая смешанных стратегий на зависимых множествах. В пятом параграфе предложены методики поиска активных равновесий и седловых точек в прикладных задачах.

В главе 2 для программных дифференциальных игр со свободным правым концом траектории доказана теорема существования классической седловой точки и получены конструктивные необходимые условия оптимальности поведения игроков. На большом числе примеров продемонстрированы методики поиска седловых точек.

В главе 3 рассматриваются программные дифференциальные игры с двухточечными краевыми условиями, вносящими в игру неявную зависимость между стратегиями участников. В первых двух параграфах этой главы доказаны теоремы существования и необходимые условия существования зависимой седловой точки. В третьем параграфе предложено новое понятие симметричного согласованно активного равновесия, несколько более слабого, чем зависимая седловая точка, для которого оказалось возможным доказать столь же конструктивные необходимые условия существования в смешанных стратегиях, как и для зависимой седловой точки.

В главе 4 рассматриваются наиболее сложные -- программные дифференциальные игры в смешанных стратегиях с подвижными концами траектории, для которых доказаны конструктивные необходимые условия существования зависимой седловой точки.

В главе 5 для совершенно неизученных классов программных дифференциальных игр, в которых, с одной стороны, имеются двухточечные краевые условия, вносящие неявную зависимость между стратегиями участников, а с другой, введена явная зависимость между множествами чистых стратегий, а следовательно, и особенно трудно поддающаяся математическому исследованию зависимость между смешанными стратегиями, получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования максиминных и минимаксных задач и зависимой седловой точки в смешанных стратегиях и аналогичные условия для некоторого подмножества множества симметричных активных равновесий. На примерах продемонстрированы методики поиска вышеуказанных решений.

В главе 6 изучаются антагонистические программные дифференциальные игры с векторными платежными функционалами. Получены необходимые условия существования введенных понятий решения в дифференциальных играх с векторными критериями в классе смешанных стратегий. На примере сложной задачи динамического взаимодействия двух государств в сфере внешней торговли с учетом математических моделей развития их экономик демонстрируется целесообразность использования предложенных новых понятий игрового равновесия.


Об авторе
Смольяков Эдуард Римович
Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Московский физико-технический институт и аспирантуру МФТИ. С 2002 г. работает в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова в должности профессора кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики. До перехода в МГУ работал в Центральном аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ), в Институте прикладной математики АН СССР, в Институте проблем управления, в Институте системного анализа РАН (в последние годы в должности главного научного сотрудника).

Э. Р. Смольяковым получено множество оригинальных результатов в различных областях науки, не имеющих аналогов в мировой литературе и опубликованных им более чем в 350 научных статьях и в 26 книгах. В области теории игр и конфликтов им построена теория, позволившая, в отличие от классической теории, находить решения любых конфликтных и игровых задач, и были разработаны основы нового научного направления — теории конфликтных задач с побочными интересами участников. В области теоретической физики в 2000–2007 гг. им было введено понятие обобщенного закона Ньютона и разработана теория двойственных электромагнитных четырехмерных пространств — нашего и комплексно-сопряженного к нему, что позволило объяснить причину отсутствия в нашем пространстве единичных магнитных зарядов. Были найдены уравнения движения в этих пространствах, условия перехода между ними и обоснована возможность быстрых межзвездных полетов за счет перехода в двойственное пространство. В 2008 г. им была создана экстремальная теория размерностей, которая позволила очень просто получать множество новых неизвестных фундаментальных физических законов и дифференциальных уравнений любых процессов. В 2018 г. им предложена новая теория устойчивости движения, неоценимо более простая и эффективная, чем классическая теория Ляпунова.