Буров В.А., Румянцева О.Д. Обратные волновые задачи акустической томографии.
Часть 1: ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ В АКУСТИКЕ. Ч.1. Изд. 3, стереотип.

Оглавление

Введение

Под обратными задачами обычно понимают задачи, в результате решения которых удается определить те или иные характеристики причины на основании наблюдения ее следствий. Они достаточно ясным образом отличаются от прямых задач – предсказания следствий известной причины. На интуитивном уровне подобные решения обратных задач находятся нами непрерывно: интерпретация зрительных или слуховых ощущений – типичные примеры таких решений. Вместе с тем, содержательная математическая формулировка подобного рода проблем и разработка строгих или приближенных методов их решения является одним из сложнейших разделов математики, а в приложении к физическим проблемам – разделом математической физики.

Обратные волновые задачи относятся к этим сложным областям. Можно предположить самые разнообразные принципы классификации подобных задач. Например, решение обратной задачи может состоять в оценке значений конечного числа ее параметров (так называемые параметрические постановки задачи), в качестве которых могут рассматриваться координаты излучателей или рассеивателей, ориентация распределенных рассеивателей или параметры, описывающие форму рассеивателей, и т.д. С другой стороны, по статистическому характеру исследуемых полей обратные волновые задачи делятся на когерентные и некогерентные, а также на обратные задачи излучения (определение характеристик источников по излучаемому ими полю) или рассеяния (определение характеристик рассеивающего объекта по полю, измеренному вне него). Вполне реальны промежуточные и комбинированные задачи, например, частично когерентные задачи и задачи, в которых необходимо восстановить характеристики как излучателей, так и рассеивателей, влияющих на процесс распространения излучаемого ими поля. Возможен также переход к нелинейным волновым процессам. В этом случае перечень восстанавливаемых параметров пополняется параметрами нелинейных характеристик рассеивателя.

В приложении к акустическим проблемам, перечень задач, относящихся к области обратных волновых задач, очень велик и хорошо известен. Это:

– задачи акустического мониторинга окружающей среды, атмосферы и океана;

– дефектоскопия;

– медицинская акустоскопия;

– идентификация естественных шумов и вибраций, сейсмоакустика, кардиофоноскопия и респираторная фоноскопия...

Список прикладных проблем можно продолжать неопределенно долго. В предлагаемой книге рассматриваются обратные задачи, связанные с акустической томографией. Они представляют собой широкий спектр обратных волновых задач, в полной мере отражающих всю сложность таких проблем. Кратко рассматриваются известные обратные когерентные задачи излучения (глава 1 части I книги), – самыми важными их свойствами являются некорректность и сильнейшая степень неединственности, лежащая в основе многих сложностей, возникающих также при решении когерентных обратных задач рассеяния. Далее в книге излагаются различные подходы к решению обратных волновых проблем излучения (часть I книги) и рассеяния (часть II), ставших к настоящему времени уже классическими. При рассмотрении обратных задач рассеяния авторы стремились опираться и на результаты, полученные при исследовании "родственных" обратных задач рассеяния квантованных полей на потенциалах, хорошо локализованных в пространстве. Колоссальный багаж полученных при этом фундаментальных результатов нам удалось, пока лишь в самой малой доле, использовать в приложении к обратным волновым задачам акустической томографии. Здесь нам чрезвычайно помог длительный творческий контакт с Р.Г.Новиковым и М.И.Белишевым, оказавшими на нас неоценимое влияние и помогшими глубже вникнуть в обсуждаемую проблему. Попыткам применения результатов строгого математического рассмотрения обратных задач рассеяния методами функционального анализа и полученным при этом результатам модельных исследований посвящена последняя часть IV книги.

Возрастающие технические и вычислительные возможности позволяют обратиться к менее традиционным методам акустического томографирования – пассивной акустической термотомографии, а также к методам активной томографии нелинейных акустических характеристик, прежде всего, биологических сред. Рассмотрение этих проблем позволило предложить достаточно перспективные, на наш взгляд, подходы к их практической реализации. Нелинейная томография (часть III) связана с использованием сравнительно простых антенных схем в сочетании с временньй обработкой сложных рассеянных сигналов, порожденных нелинейным взаимодействием первичных волн. В этих системах возможно расширение поставленной задачи вплоть до решения проблемы одновременного измерения как нелинейных, так и линейных характеристик среды, т.е. разработки методов комбинированного томографирования. Подобные же возможности открываются при внимательном рассмотрении некогерентных задач активно-пассивного термотомографирования (главы 2–4 части I). Оказывается, этот режим позволяет проводить томографирование совокупности акустических и термических характеристик среды в рамках общей томографической схемы.

Необходимо подчеркнуть, что настоящая книга ни в коей мере не претендует на глубокий обзор всей совокупности достижений, накопленных к настоящему времени в мировой литературе в области решения обратных задач. Математической стороне обратных задач, посвящены, например, крупные работы [1–7] рассматриваются, в первую очередь, рентгеновские методы томографирования, как с математической, так и с прикладной точек зрения. Однако постановка многих обратных задач носит достаточно общий характер, и методы их решения могут быть полезными при решении акустических обратных задач. Прикладная сторона обратных задач затрагивается также в [5–7]. В предлагаемой книге рассматриваются, прежде всего, прикладные задачи томографического типа и подытоживаются основные результаты исследований, выполненных в лаборатории обратных задач на кафедре акустики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова в течение нескольких последних десятилетий. Ссылки на работы других авторов и обсуждение их результатов приводятся по ходу изложения.

Книга разделена на Введение и четыре части. Каждая часть нумеруется римскими цифрами (например, часть IV) и состоит из несколько глав. В конце Введения и каждой части приводится список литературы, в котором используется двухындексная нумерация типа IV.3, обозначающая номер части и текущий номер в списке. Во Введении нумерация формул, рисунков и литературы – типа (3). Для глав принята сквозная одноиндексная нумерация на протяжении всей книги (например, глава 5). Содержание главы может подразделяться, в свою очередь, на разделы (двухындексная нумерация типа 5.3, обозначающая номер главы и раздела; при ссылке в тексте книги пишется "раздел 5.3"). Разделы могут подразделяться на параграфы (трехындексная нумерация типа 5.3.2, обозначающая номер главы, раздела и параграфа; при ссылке пишется "\S5.3.2"), а параграфы – на пункты (четырехындексная нумерация типа 5.3.2.1, где последняя цифра означает пункт; при ссылке пишется "п.5.3.2.1"). Формулы и рисунки имеют сквозную нумерацию внутри главы, типа (4.10), где первая цифра обозначает номер главы, а вторая – текущий номер формулы или рисунка.

Авторы стремились, чтобы каждую главу или даже раздел главы можно было бы использовать как самостоятельный текст. В связи с этим в начале крупного фрагмента могут кратко повторяться основные положения, рассмотренные в предшествующем тексте со ссылкой на соответствующую главу, раздел и т.п. В то же время, обозначения основных величин сохраняются неизменными на протяжении всей книги для удобства сопоставления материала.

Авторы выражают глубокую благодарность за помощь по оформлению книги сотрудникам и выпускникам кафедры акустики физического факультета МГУ Елене Евгеньевне Касаткиной, Дмитрию Игоревичу Зотову, Антону Инсановичу Яфасову.

Об авторах

Буров Валентин Андреевич

Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Окончил физический факультет МГУ по специальности «физика» (1958) и аспирантуру физического факультета МГУ (1961). Был оставлен на кафедре акустики физического факультета МГУ, где проработал всю жизнь. Научная работа В. А. Бурова относится в основном к трем крупным областям современной физики: нелинейной акустике, гидроакустике и обратным волновым задачам. Им выполнен ряд основополагающих экспериментов по нелинейной и физической акустике; с группой сотрудников в полной мере освоен морской эксперимент. Теоретические идеи В. А. Бурова нашли важное практическое применение; за эти работы он удостоен Государственной премии СССР (1980).

В. А. Буров — признанный специалист в области решения обратных акустических задач, в том числе прикладных задач акустической диагностики: медицинской томографии, дефектоскопии материалов, океанологии. Глубокие знания фундаментальных основ теоретической физики и математики, мастерское владение экспериментальными методами сочетались у него с широким научным кругозором и интересом к новым направлениям современной физики, включая космологию и квантовую теорию. В. А. Буровым опубликовано свыше 260 работ в ведущих отечественных и зарубежных журналах. Он является автором двух учебных пособий, 11 авторских свидетельств и трех патентов по разработке линейного и нелинейного ультразвуковых медицинских томографов, предназначенных для диагностики рака молочной железы на самой ранней стадии его развития. Под его руководством защищено более 130 дипломных работ и подготовлены 22 кандидата наук.

Румянцева Ольга Дмитриевна

Доктор физико-математических наук, доцент кафедры акустики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. После окончания кафедры акустики МГУ (1989) и защиты кандидатской диссертации (1992) работает в группе профессора В. А. Бурова. Область научных интересов — обратные задачи рассеяния и излучения как в общетеоретическом плане, так и с точки зрения прикладных аспектов акустической линейной и нелинейной томографии, а также акустической термотомографии. Соавтор более 140 публикаций по данной тематике, а также трех патентов по разработке линейного и нелинейного ультразвуковых медицинских томографов. Совместно с В. А. Буровым получила премию Международной академической издательской компании «Наука/Интерпериодика» за лучший цикл публикаций в журналах РАН. На кафедре акустики читает спецкурс «Обратные волновые задачи акустики» и часть спецкурса «Теоретические основы акустики». Докторская диссертация (2022) посвящена методам решения акустических обратных многомерных задач и их практическим приложениям — в первую очередь в задачах ультразвуковой медицинской диагностики томографического типа.