Обложка Бакушев C.B. Дифференциальные уравнения и краевые задачи механики деформируемого твердого тела
Id: 256907
477 руб.

Дифференциальные уравнения и краевые задачи механики деформируемого твердого тела

URSS. 2020. 304 с. ISBN 978-5-9710-7163-1.

Аннотация

Книга написана в соответствии со специальностью ВАК 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела» и охватывает области исследований: линейная теория упругости, теория геометрически и физически нелинейной упругости. Рассматриваются дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях и напряжениях, и краевые задачи, как в прямоугольных декартовых координатах, так и в криволинейных — цилиндрических и сферических координатах. Приводятся ...(Подробнее)дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды в перемещениях для случая аппроксимации замыкающих уравнений билинейными функциями. Обсуждаются вопросы обобщения на случай полных диаграмм деформирования. Обозначены подходы к построению дифференциальных уравнений равновесия в случае идеальной пластичности для сдвигового деформирования при сложном напряженном состоянии.

Книга может быть полезной для научных и инженерно-технических работников, специализирующихся в области механики деформируемого твердого тела. Также может быть использована в качестве справочного пособия магистрантами и аспирантами высшей технической школы, выбравшими в качестве направления исследований механику деформируемого твердого тела.


Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ВВЕДЕНИЕ 5

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 7

§1.1. Общая система уравнений линейной теории упругости 7

§1.2. Типы задач теории упругости 10

§1.3. Прямая задача теории упругости в перемещениях 12

§1.4. Прямая задача теории упругости в напряжениях 14

§1.5. Одномерная плоская задача теории упругости в декартовых координатах 19

1.5.1. Одномерная плоская деформация 20

1.5.2. Одномерное напряжённое состояние 23

§1.6. Двумерная задача теории упругости в декартовых координатах 25

1.6.1. Плоская деформация 26

1.6.2. Обобщённое плоское напряжённое состояние 28

1.6.3. Решение плоской задачи теории упругости 31

1.6.4. Определение перемещений 36

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 38

§2.1. Общая система уравнений 38

§2.2. Осесимметричная одномерная задача теории упругости в цилиндрических координатах 41

§2.3. Двумерная задача теории упругости в цилиндрических координатах 43

2.3.1. Плоская деформация 47

2.3.2. Обобщённое плоское напряжённое состояние 49

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 55

§3.1. Общая система уравнений 55

§3.2. Полярно-симметричная одномерная задача теории упругости в сферических координатах 59

ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 62

§4.1. Основы геометрическии физически нелинейной теории упругости 62

§4.2. Основные соотношения в ортогональных криволинейных координатах 78

§4.3. Общая система уравнений 84

§4.4. Одномерная плоская задача нелинейной теории упругости в декартовых координатах 91

§4.5. Плоская задача нелинейной теории упругости в декартовых координатах 93

ГЛАВА 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 103

§5.1. Основные соотношения в цилиндрических координатах 103

§5.2. Осесимметричная одномерная задача нелинейной теории упругости в цилиндрических координатах 107

§5.3. Двумерная задача нелинейной теории упругости в цилиндрических координатах 110

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 123

§6.1. Основные соотношения в сферических координатах 123

§6.2. Центрально-симметричная одномерная задача нелинейной теории упругости в сферических координатах 127

ГЛАВА 7. УРАВНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИ-НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ 131

§7.1. Разрешающие уравнения в напряжениях для трёхмерной задачи физически нелинейной теории упругости 131

§7.2. Плоская задача физически нелинейной теории упругости – решение в напряжениях 148

7.2.1. Обобщённое плоское напряжённое состояние 148

7.2.2. Плоская деформация 153

§ 7.3. Решение плоской задачи физически и геометрически нелинейной теории упругости с использованием функции напряжений 170

ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ЗАМЫКАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 181

§8.1. Аппроксимация диаграмм деформирования билинейными функциями 181

§8.2. Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для одномерной плоской деформации при билинейной аппроксимации замыкающих уравнений 202

§8.3. Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для осесимметричной деформации при билинейной аппроксимации замыкающих уравнений 208

§8.4. Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для центрально-симметричной деформации при билинейной аппроксимации замыкающих уравнений 219

§8.5. Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для плоской деформации в декартовых координатах при билинейной аппроксимации замыкающих уравнений 228

§8.6. Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для плоской деформации в цилиндрических координатах при билинейной аппроксимации замыкающих уравнений 244

ГЛАВА 9. ОБОБЩЕНИЯ НА СЛУЧАЙ ПОЛНЫХ ДИАГРАММ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ 273

§9.1. Классификация диаграмм объёмного и сдвигового деформирования 273

§9.2. Секущие модули при аппроксимации диаграмм деформирования линейными функциями 278

§9.3. Обобщения на случай идеальной пластичности для сдвигового деформирования при сложном напряжённом состоянии 283

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 292

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 294


ПРЕДИСЛОВИЕ

В самом общем случае любая механическая задача, в том числе и задача механики деформируемого твёрдого тела, может быть сформулирована с двух точек зрения. Во-первых, с точки зрения движения механической системы и действующих на неё сил. Во-вторых, с точки зрения энергетического баланса движущейся механической системы (состояние равновесия механической системы можно рассматривать как движение с нулевой скоростью).

Первая точка зрения приводит к математической формулировке механической задачи в виде дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений с соответствующими начальными и краевыми условиями. В механике деформируемого твёрдого тела краевые задачи формулируются, как правило, в виде систем дифференциальных уравнений с частными производными и соответствующими краевыми условиями в напряжениях или в перемещениях.

Вторая позиция математически формулирует механическую задачу в виде некоторых интегральных соотношений или функционалов. Под функционалом понимают переменную величину, зависящую от некоторого класса (множества) функций, если каждой функции из рассматриваемого класса по заданному закону ставится в соответствие определённое число. Как правило, на языке функционалов формулируются задачи оптимизации: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и тому подобного), доставляющее экстремум (минимум или максимум) заданному функционалу. В механике деформируемого твёрдого тела состояние равновесия характеризуется минимумом его потенциальной энергии, следовательно, потенциальная энергия деформированного тела является его функционалом. Решая задачу оптимизации для функционала энергии деформированного тела, можно найти параметры его напряжённо-деформированного состояния.

Оба подхода эквивалентны и приводят к одному и тому же результату. Разница заключается в трудоёмкости решения конкретных задач.

В данной монографии реализован первый подход. Здесь рассматривается постановка краевых задач для различных случаев напряжённо-деформиро¬ванного состояния линейных и нелинейных геометрически и физически сплошных сред в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

Надо сказать, что многие вопросы, изложенные в монографии, хорошо известны в мире научной механики. Сюда следует отнести, прежде всего, материал, изложенный в первой, второй, третьей и, частично, четвёртой, пятой и шестой главах. Однако, зачастую, хорошо известные факты требуют всё же некоторого обобщения, упорядочивания, систематизации и классификации. При написании монографии данные вопросы не ставились. В книге, прежде всего, собраны разрешающие дифференциальные уравнения, как в напряжениях, так и в перемещениях, описывающие эволюцию напряжённо-деформированного состояния сплошных сред, как без учёта, так и с учётом геометрической и физической нелинейности. Содержание глав девятой, восьмой и седьмой, а также, частично, шестой, пятой и четвёртой, является сугубо авторским. Материалы этих глав частично опубликованы в виде журнальных статей в научной периодике.

Следует отметить, что построение и вывод разрешающих дифференциальных уравнений, описывающих напряжённо-деформированное сплошных сред, является довольно сложной задачей механики деформируемого твёрдого тела. Нередко лишь выводу и построению разрешающих дифференциальных уравнений, без решения конкретных расчётных задач и примеров, посвящаются целиком научные журнальные статьи. Ввиду этого, материалы данной монографии будут чрезвычайно полезны для исследователей, специализирующихся на решении прикладных задач механики деформируемого твёрдого тела, механическое поведение которого описывается математическими моделями, учитывающими как физическую, так и геометрическую нелинейность.

Считаю своим долгом выразить искреннюю признательность сотрудникам кафедры "Механика" Пензенского государственного университета архитектуры и строительства, обеспечившими комфортные условия для моей работы над монографией. Выражаю также сердечную благодарность заведующему кафедрой "Прикладная механика" Национального исследовательского Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва доктору технических наук, профессору В. Д. Черкасову за замечания и рекомендации, которые были учтены при подготовке рукописи к изданию.