Обложка Аксененкова И.М., Малыгина О.А., Чекалкин Н.С., Шухов А.Г. Ряды. Интеграл Фурье и преобразование Фурье. Приложения
Id: 256904
677 руб.

Ряды. Интеграл Фурье и преобразование Фурье. Приложения. Изд. 2, испр. и доп.

URSS. 2020. 240 с. ISBN 978-5-9710-7161-7.
  • Твердый переплет

Аннотация

Настоящее пособие обеспечивает совершенствование математической подготовки современных дипломированных специалистов, бакалавров, магистров. Предлагаемый читателю материал раскрывает взаимосвязи высшей математики с некоторыми специальными дисциплинами технического университета (вуза), демонстрирует применение математики при курсовом и дипломном проектировании. Пособие одновременно является и курсом лекций, и задачником. Особенностью данной работы ...(Подробнее)является ориентация на формирование мотивации студентов к активному изучению математики.

Пособие рассчитано на подготовку студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки. Материал может использоваться в системе повышения квалификации преподавателей, в системе дополнительного образования.


Содержание
Введение7
Глава 1.Теория рядов9
 § 1.Числовые ряды9
  1.1.Числовой ряд, сходимость числового ряда11
  1.2.Геометрическая прогрессия14
  1.3.Гармонический ряд15
 § 2.Свойства сходящихся рядов18
  2.1.Необходимое условие сходимости числового ряда18
  2.2.Остаток ряда19
  2.3.Критерий Коши сходимости рядов19
  2.4.Линейные действия с рядами21
 § 3.Числовые ряды с неотрицательными членами22
  3.1.Признаки сравнения22
  3.2.Признак Даламбера25
  3.3.Радикальный признак Коши27
  3.4.Интегральный признак Коши30
  3.5.Признак Раабе34
  3.6.Признак Бертрана36
  3.7.Признак Гаусса36
  3.8.Логарифмический признак37
 § 4.Знакопеременные числовые ряды40
  4.1.Ряд Лейбница40
  4.2.Абсолютная и условная сходимость43
  4.3.Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов47
 § 5.Числовые ряды с комплексными членами49
 § 6.Функциональные ряды51
  6.1.Функциональный ряд, его область сходимости51
  6.2.Равномерная сходимость функционального ряда51
  6.3.Теорема Вейерштрасса (достаточное условие равномерной сходимости)54
 § 7.Свойства равномерно сходящихся рядов58
  7.1.Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда58
  7.2.Почленное интегрирование59
  7.3.Почленное дифференцирование60
 § 8.Степенные ряды62
  8.1.Теорема Абеля62
  8.2.Интервал и радиус сходимости степенного ряда63
  8.3.Равномерная сходимость степенного ряда, его почленное интегрирование и дифференцирование66
 § 9.Степенные ряды с комплексными членами70
 § 10.Ряд Тейлора74
  10.1.Представление функций степенными рядами74
  10.2.Условие сходимости ряда Тейлора заданной функции к этой функции76
  10.3.Единственность представления функции степенным рядом77
  10.4.Разложение основных элементарных функций78
  10.5.Разложение функций в ряд Тейлора с использованием известных разложений78
  10.6.Приближенные вычисления значений функций и определенных интегралов80
 § 11.Тригонометрический ряд Фурье84
  11.1.Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье86
  11.2.Теорема Дирихле88
  11.3.Сходимость в среднем тригонометрического ряда Фурье90
  11.4.Представление рядом Фурье функции произвольного периода92
  11.5.Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций93
  11.6.Разложение функций, заданных на полупериоде, в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам94
  11.6.1. Разложение по косинусам95
  11.6.2. Разложение по синусам96
 § 12.Комплексная форма ряда Фурье100
 § 13.Задача о наилучшем приближении тригонометрическим многочленом103
Глава 2.Приложения теории рядов105
 § 1.Применение теории рядов в математическом анализе105
  1.1.Некоторые методы нахождения сумм числовых и функциональных рядов106
  1.1.1.Нахождение суммы ряда по определению106
  1.1.2.Нахождение суммы числового ряда с помощью ряда Тейлора108
  1.1.3.Нахождение суммы ряда с помощью дифференцирования и интегрирования ряда108
  1.1.4.Нахождение суммы числового ряда с помощью ряда Фурье и равенства Парсеваля109
  1.1.5.Вычисление суммы числового ряда с помощью основной теоремы о вычетах111
  1.2.Вычисление определенных и несобственных интегралов с помощью рядов119
  1.3.Вычисление предела последовательности с помощью теории рядов121
  1.4.Вычисление значения производной функции в точке123
  1.5.Теория рядов -- основа теории функций комплексной переменной125
  1.6.Использование степенных рядов для доказательства тождеств127
  Рекомендуемая литература129
 § 2.Применение теории рядов к решению алгебраических и линейных дифференциальных уравнений130
  2.1.Применение теории рядов к решению алгебраических уравнений130
  2.2.Применение теории рядов к решению линейных дифференциальных уравнений132
  Рекомендуемая литература||135 >
 § 3.Применение теории рядов в математической физике136
  3.1.Функции Бесселя136
  3.2.Решение уравнения колебаний струны методом Фурье138
  3.3.Решение уравнения продольных колебаний стержня методом Фурье145
  3.4.Метод Фурье решения уравнения теплопроводности для ограниченного стержня148
  Рекомендуемая литература151
  3.5.Решение задачи Дирихле методом Фурье для уравнения Лапласа в круге151
 § 4.Применение рядов в теории вероятностей156
  4.1.Производящая функция156
  4.2.Сумма случайного числа случайных величин161
  4.3.Вероятностная задача Чебышева о несократимых дробях163
  4.4.Лемма Бореля-Кантелли164
  4.5.Ряды со случайными слагаемыми165
  Рекомендуемая литература168
 § 5.Применение рядов в теории чисел169
  5.1.Дзета-функция Римана и простые числа169
  5.2.Доказательство иррациональности числа e с использованием теории рядов170
 § 6.Периодические сигналы и их спектры171
  Рекомендуемая литература178
 § 7.Применение теории рядов в дискретной математике179
  7.1.Теория рядов и разностные уравнения179
  7.2.Теория рядов и комбинаторика. Применение производящих функций в комбинаторике182
  Рекомендуемая литература188
 § 8.Z-преобразование и его применения189
  Рекомендуемая литература195
Глава 3.Интеграл Фурье, преобразование Фурье и их приложения196
 § 1.Формула Фурье. Преобразование Фурье196
  1.1.Интеграл Фурье: аналогия с рядами196
  1.2.Формула Фурье, преобразование Фурье: основные понятия198
  1.3.Интеграл Фурье для четных и нечетных функций. Косинус- и синус-преобразования Фурье201
  1.4.Свойства преобразования Фурье207
 § 2.Некоторые приложения интеграла Фурье и преобразования Фурье211
  2.1.Математический анализ: вычисление несобственных интегралов211
  2.2.Преобразование Фурье - математическая основа теории автоматического управления. Частотные характеристики214
  Рекомендуемая литература218
  2.3.Решение уравнения распространения тепла в неограниченном стержне218
  Рекомендуемая литература220
  2.4.Преобразование Фурье в теории вероятностей220
  Рекомендуемая литература224
  2.5.Спектральное разложение стационарных случайных процессов224
  Рекомендуемая литература230
  2.6.Спектры непериодических сигналов и преобразование Фурье в радиотехнике230
  2.6.1.Спектры непериодических сигналов и их свойства230
  2.6.2.Применение преобразования Фурье в радиотехнике и электрических системах: спектральный метод в линейной теории236
  Рекомендуемая литература237
Заключение238
Литература239

Введение

Модернизация российской науки и образования предполагает совершенствование математической подготовки выпускников высшей школы. В процессе изучения математических дисциплин формируется ряд общекультурных, общепрофессиональных компетенций, закладываются основы профессиональных компетенций. В связи с этим актуальным является построение курса высшей математики с учетом межпредметных связей и применения математического аппарата при решении прикладных и профессиональных задач. Использование настоящего пособия в учебном процессе способствует решению ряда проблем совершенствования математической подготовки в техническом университете (вузе).

Пособие состоит из трех глав. В первой главе излагается теория числовых рядов, теория функциональных рядов, включающая изучение рядов Тейлора и тригонометрических рядов Фурье. Вторая глава содержат обзор прикладных задач, связанных с применением теории рядов. Здесь рассматриваются приложения в математическом анализе, в математической физике, теории вероятностей, теории чисел, в радиотехнике и электротехнике. Третья глава посвящена изучению интеграла Фурье и преобразования Фурье, их приложений в математической физике, теории вероятностей, в радиотехнике, теории автоматического управления.

Настоящее пособие является дополненным относительно изданий 2009 (URSS) и 2015 (МИРЭА). В главе 2 введены новые параграфы, в которых рассмотрены вопросы вычисления суммы числового ряда с помощью основной теоремы о вычетах, использования степенных рядов для доказательства тождеств, применения рядов к решению алгебраических уравнений. Расширен параграф о применение рядов в теории вероятностей. Описаны некоторые приложения теории рядов к решению задач дискретной математики, комбинаторики и теории автоматического управления.

Предлагаемый читателю материал раскрывает взаимосвязи высшей математики с некоторыми специальными дисциплинами технического университета, демонстрирует применение математики при курсовом или дипломном проектировании. Детального изложения прикладных вопросов пособие не содержит. Оно задает ориентиры для дальнейшей самостоятельной работы учащихся. Материал, представленный в пособии, можно рассматривать как основу проведения лекций и практических занятий очной, заочной и дистанционной форм обучения. Еще одной особенностью пособия является его ориентация на формирование мотивации студентов к активному изучению математики. Предлагаемый материал, с одной стороны, освещает математическую теорию, с другой — демонстрирует универсальность математики как мощного средства решения практических задач в разных областях, а также содержит некоторые исторические сведения. Список литературы содержит перечень учебников, как по математическим дисциплинам, так и по специальным (радиотехника, теория автоматического управления и др.), в которых применяется теория рядов, интеграл Фурье и преобразование Фурье, а также книги по истории математики.

Данное пособие, по мнению авторов, может использоваться и с целью повышения квалификации педагогов.


Об авторах
Аксененкова Ирина Марковна
Окончила механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики в «МИРЭА — Российский технологический университет». Стаж научно-педагогической деятельности — свыше 30 лет. Область исследований — методика преподавания математики. Имеются работы по методике подготовки к вступительным экзаменам.
Малыгина Ольга Анатольевна
Окончила механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, аспирантуру факультета психологии МГУ. Кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики в «МИРЭА — Российский технологический университет». Стаж научно-педагогической деятельности — около 40 лет. Область исследований — методика преподавания математики. Занимается реализацией новых педагогических технологий (системно-деятельностный подход) в процессе обучения студентов и преподавателей в рамках повышения квалификации. Результаты исследований отражены в семидесяти научных публикациях, учебных и методических пособиях, обсуждались на всероссийских и международных конференциях.
Чекалкин Николай Степанович
Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики в «МИРЭА — Российский технологический университет». Область исследований — теория функций комплексного переменного, методика преподавания математики. Стаж научно-педагогической деятельности — около 40 лет. Занимается реализацией концепции введения исследовательских задач в процесс изучения элементарной и высшей математики. Имеются работы по методике преподавания элементарной математики, рекомендованные Министерством образования РФ.
Шухов Алексей Георгиевич
Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Кандидат физико-математических наук, доцент. Стаж научно-педагогической деятельности — свыше 30 лет. В настоящее время занимается исследованиями в области математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. В область научных интересов включены теория динамических систем, теория управления, актуарная математика, приложения математики в практике работы страховых компаний.