Бакушев С.В. Геометрически и физически нелинейная механика сплошной среды:
Плоская задача. Изд. стереотип.

---

Предисловие
Введение
Глава 1.	Теория деформаций
	§1.1.	Перемещения
	§1.2.	Деформации
	§1.3.	Преобразование компонентов деформации
	§1.4.	Главные деформации
	§1.5.	Преобразование параметров exx, exy, eyy и wz при переходе от одних координатных осей к другим
	§1.6.	Относительное изменение площади
	§1.7.	Условие сплошности деформаций
	§1.8.	Общая картина деформации в окрестности произвольной точки тела
	§1.9.	Упрощения и переход к линейным соотношениям
Глава 2.	Теория напряжений
	§2.1.	Напряжённое состояние в точке
	§2.2.	Формулы для пересчёта компонентов напряжения при переходе от одной системы координат к другой.
	§2.3.	Инварианты тензора напряжений
	§2.4.	Условия равновесия элементарного параллелепипеда, выделенного из деформированного тела (плоская задача).
	§2.5.	Преобразование уравнений равновесия к декартовым координатам точек тела до деформации.
	§2.6.	Упрощение уравнений равновесия
	§2.7.	Граничные условия
Глава 3.	Физические соотношения
	§3.1.	Работа деформации
	§3.2.	Тензор обобщённых напряжений
	§3.3.	Связь между напряжениями и деформациями
	§3.4.	Упрощения и переход к линейным уравнениям
	§3.5.	Феноменологический подход при построении математических моделей сплошной среды
Глава 4.	Определяющие соотношения теории деформирования массивных тел
	§4.1.	Математические модели
	§4.2.	Анализ физических зависимостей
		4.2.1.	Плоское одномерное деформирование
		4.2.2.	Плоская деформация массивных тел
Глава 5.	Дифференциальные уравнения и краевые задачи
	§5.1.	Плоское одномерное деформирование
	§5.2.	Плоская деформация
		5.2.1.	Разрешающие уравнения плоской деформации массивных тел
		5.2.2.	Исследование системы разрешающих уравнений
		5.2.3.	Пример расчёта
	§5.3.	К вопросу о решении плоской задачи в напряжениях
Глава 6.	Определяющие соотношения теории прочности физически и геометрически нелинейных массивных тел
	§6.1.	Критерии прочности массивных тел с учётом геометрической нелинейности
	§6.2.	Условия прочности для плоской одномерной деформации
	§6.3.	Условия прочности для плоской деформации сплошной среды
Глава 7.	Деформационная теория пластичности геометрически нелинейной сплошной среды
	§7.1.	Общие положения
	§7.2.	Замыкающие уравнения деформационной теории пластичности
	§7.3.	Одномерное плоское деформирование
	§7.4.	Плоская деформация сплошной среды
Глава 8.	Вопросы динамики для физически и геометрически нелинейной сплошной среды
	8.1.	Одномерные плоские волны
		8.1.1.	Активная деформация
		8.1.2.	Пассивная деформация
		8.1.3.	Характеристические соотношения в криволинейных координатах
		8.1.4.	Определение скоростей распространения волн деформаций
	§8.2.	Двумерные волны деформаций
Заключение
Библиография
Приложение*

^*В Приложении представлены графики и диаграммы, показывающие распределение характеристик и инвариантов напряжённо-деформированного состояния внутри расчётной области полупространства с учётом и без учёта геометрической нелинейности.

---

Современная механика деформируемого твёрдого тела - одна из фундаментальных естественных наук - это совокупность дисциплин (теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, теория разрушения, теория сыпучей среды и грунтов, строительная механика и т.д.), рассматривающих различные вопросы поведения твёрдого тела под действием внешней нагрузки или какого-либо иного механического воздействия. Наиболее общим всех этих дисциплин является феноменологический подход, основанный на результатах экспериментальных исследований, связанный с созданием математической модели, достаточно простой для возможности решения поставленных задач, и как можно более точно описывающей физическую сущность явления [34]. Целью расчёта является определение напряжённо-деформированного состояния деформируемого твёрдого тела для обеспечения прочности, жёсткости, устойчивости и надёжности сооружения.

Основой механики деформируемого твёрдого тела, её теоретическим фундаментом, является теория упругости, берущая своё начало ещё от работ Галилея (1638). Теория упругости как стройная научная дисциплина зародилась в начале XIX столетия, когда почти одновременно Л.Навье (1821) [128], А.Коши (1822) [111] и С.Пуассон (1829) [129] вывели общие уравнения равновесия и движения упругих тел и дали правильную постановку соответствующих задач [77]. Характерной чертой данного варианта теории упругости является линейность всех его формул относительно искомых величин (перемещений, деформаций, напряжений и их производных). Линейная теория упругости не утратила своего значения и в настоящее время. Существует обширный класс задач, для которых линейная теория упругости даёт достаточно удовлетворительные результаты. Вместе с тем уравнения линейной теории упругости являются довольно грубым приближением при описании и прогнозировании механического поведения твёрдых тел в реальной постановке. Это находит своё объяснение, прежде всего, в тех допущениях и предпосылках, которые положены в основу линейной теории упругости:

1) Идеальная упругость материала. Это допущение исключает из рассмотрения твёрдые тела, в которых после снятия внешнего воздействия имеются остаточные деформации.

2) Линейная зависимость между напряжениями и деформациями. Это допущение для большинства конструкционных материалов соблюдается лишь при очень небольших внешних воздействиях.

3) Сплошность идеально упругого тела. Данное допущение даёт возможность рассматривать перемещения и деформации как непрерывные функции пространственных координат.

4) Однородность материала упругого тела. Это допущение может быть признано справедливым, если рассматривать достаточно малую область деформируемого твёрдого тела.

5) Изотропность твёрдого тела. Данное допущение исключает из рассмотрения обширный класс анизотропных конструкционных материалов.

6) Малость перемещений тела по сравнению с его линейными размерами. Принятие данного допущения исключает из рассмотрения гибкие тела типа стержней, пластин, оболочек и т.д., а также массивные тела, находящиеся под воздействием значительных внешних нагрузок.

7) Допущение о естественном ненапряжённом состоянии твёрдого тела. Данное допущение предполагает, вообще говоря, что все твёрдые тела являются невесомыми, что тоже противоречит реальному положению вещей.

Из всего сказанного следует, что современный курс теории упругости, как на это указывал ещё В.В.Новожилов в своём фундаментальном труде [77], должен базироваться на общей (нелинейной) теории напряжений и деформаций. Общая (нелинейная) теория упругости основывается, вообще говоря, лишь на предположении о сплошности и однородности деформируемого твёрдого тела. 

Основы нелинейной теории упругости были заложены ещё в прошлом веке работами Б. де Сен-Венана [107], Г. Кирхгоффа [120], И. Фингера [114] и других учёных-механиков. Лучшие из ранних монографий по теории упругости (например [63, 71, 86, 101, 112]) достаточно подробно для своего времени и предельно строго освещали весь комплекс вопросов, рассматриваемых данной дисциплиной. В дальнейшем, однако, наметился отход от строгого изложения теории упругости в сторону упрощения и почти полного игнорирования нелинейных задач. Этому способствовали, в основном, две взаимосвязанные причины: во-первых, уравнения нелинейной теории получались значительно сложнее их линейных аналогов и практически исключали возможность качественного исследования аналитическими методами; во-вторых, отсутствовали средства, позволявшие проводить численные эксперименты и моделирование сложных математических систем.

Обзор литературы последнего и предыдущего десятилетий показывает, что интерес исследователей, проектировщиков и инженеров к вопросам расчёта физически нелинейных строительных конструкций с учётом геометрической нелинейности не только не ослабевает, но и, более того, приобретает всё более широкий размах, особенно при расчёте стержневых, плоских и пространственных конструкций [1, 65, 67]. Хотя, строго говоря, работ, где учитывалась бы и геометрически нелинейная теория деформаций, и соответствующая ей геометрически нелинейная теория напряжений, и  соответствующая физическая теория, практически нет.

В.В.Новожилов в своих работах [74, 77, 83, 84] систематически, строго, достаточно подробно и доступно изложил основы нелинейной теории упругости. Изложение основ нелинейной теории упругости было столь удачным, что книга "Основы нелинейной теории упругости" сразу была издана на английском (Foundation of the nonlinear theory of elasticity, - Graylock press? New York, 1953) и китайском языках. Из ряда зарубежных на неё рецензий выделяют рецензию К. Трусделла (Book reviews, Bull. Amer. Math. Soc. Vol. 59.1953. P.467-473), где дан подробный анализ и высокая оценка её содержания. "Оригинальность "Основ нелинейной теории упругости" состояла не столько в новизне результатов, сколько в стиле изложения. До этой монографии нелинейная теория упругости была элитарной дисциплиной, излагаемой в общей абстрактной форме, без выходов на приложения. В "Основах…" её изложение было предельно упрощено и все выкладки сопровождались пояснениями физического характера. Именно после книги "Основы нелинейной теории упругости" вошли в употребление представления о физически и геометрически нелинейных задачах теории упругости".

Изложение основ нелинейной теории упругости было продолжено в работах А.И. Лурье [68, 69, 70], где содержится последовательное изложение принципов и приёмов рассмотрения задач нелинейной теории упругости,  А.Н.Гузя [44, 45], где достаточно последовательно рассмотрены основные соотношения нелинейной механики деформируемых тел и выполнена их линеаризация. Общими вопросами нелинейной механики деформируемого твёрдого тела и строительной механики занимались многие исследователи [41, 43, 55, 61, 64, 93, 96, 113, 116, 117, 123, 127]. Вопросами экспериментального изучения больших деформаций занимался Людвик [122].

Общие подходы к решению задач строительной механики с учётом физической и геометрической нелинейности изложены в работах Лукаша П.А. [65, 66, 67] и других авторов [2, 20, 47, 48, 49]. В работе [1] в рамках строительной механики изложены особенности расчёта висячих и комбинированных конструкций как геометрически нелинейных систем. Основные принципы и приёмы построения решения задач механики деформируемого твёрдого тела методом конечных элементов с учётом физической и геометрической нелинейности излагаются во многих работах, в частности, в работах [88, 115, 121, 136].

Физически и геометрически нелинейная теория упругости в последние годы находит своё практическое применение в основном лишь при расчёте гибких тел (стержни, пластинки, структуры, оболочки и т.п.) и совершенно не применяется для расчёта тел массивных. Это объясняется скорее историческими традициями и устоявшимися воззрениями, чем целесообразностью её применения для расчёта сплошных массивных тел.

Вместе с тем, именно расчёт массивных тел со сложными реологическими свойствами требует щепетильного отношения к используемой теории. Так, например, расчёт грунтовых оснований под здания и сооружения за последние десятилетия претерпел значительные изменения и эволюционировал от расчёта по теории Винклера к рассмотрению грунта как линейно-деформируемой среды упругого полупространства. Однако и гипотеза упругого полупространства не даёт результатов, согласующихся с данными экспериментов. Намечены основные пути совершенствования методов расчёта оснований [42]: это применение теории упругости совместно с теорией пластичности грунтов или теории нелинейных деформаций грунта для модели тяжёлого полупространства.

Учёт геометрической нелинейности, как показано в работе [97], "коренным образом меняет многие представления, утвердившиеся логикой, базирующейся на линейной теории деформации". Так при решении задачи о плоском продольно-поперечном изгибе стержня учёт геометрической нелинейности, связанной с общей деформацией тела, позволил обнаружить новую качественную сторону явления - устойчивость деформирования. Суть его заключается в том, что при некоторых условиях внешняя поперечная нагрузка не вызывает потери устойчивости стержня когда продольная нагрузка равна критической силе. (В случае расчёта без учёта геометрической нелинейности стержень теряет устойчивость при любом как угодно малом значении поперечной нагрузки, если продольная нагрузка равна критической). Далее, например, центрально сжатый стержень с позиций линейной теории испытывает чистое сжатий, а с позиций нелинейной теории - сжатие, сопровождающееся поворотом оси стержня.

Учёт геометрической нелинейности при расчёте сплошных массивов, как показано в ряде работ автора, например [7, 12], также выявляет некоторые особенности процесса деформирования, не имеющие места для геометрически линейных теорий.

Некоторые авторы, в частности Работнов Ю.Н., в своей монографии [89], указывает, что область применения теории конечных деформаций слишком ограничена и имеющиеся решения крайне немногочисленны. Кроме того, доказав для линейного закона упругости теорему единственности, Работнов Ю.Н. указывает, что для геометрически нелинейных систем теорема единственности несправедлива, причём нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела.

В настоящее время появилась возможность решать задачи механики деформируемого твёрдого тела и строительной механики в строгой постановке с максимальным учётом реальной работы конструкции и учётом практически всех механических свойств материала. Этому способствует развитие средств вычислительной техники, в частности широкое внедрение персональных компьютеров, а также значительные достижения в области их программно-математического обеспечения. Разработанные в последнее десятилетие программные средства для персональных компьютеров позволяют создавать изящные приложения не только для решения самых разнообразных математических задач, но и для проведения численного моделирования и численного эксперимента в многопараметрической и многофакторной постановке.

---

В данной работе, на основе исследований В.В.Новожилова, рассмотрены вопросы плоской деформации сплошной среды, описываемой геометрически и физически нелинейными моделями. На основе сформулированного автором принципа эквивалентности формы записи замыкающих уравнений удалось не только построить замкнутую систему разрешающих уравнений геометрически и физически нелинейной теории упругости, но и рассмотреть вопросы прочности геометрически и физически нелинейных сплошных сред, а также сформулировать геометрически нелинейный аналог деформационной теории пластичности.

В своих исследованиях автор ограничился самыми простыми задачами: рассмотрены задачи определения напряжённо-деформированного состояния геометрически и физически нелинейной сплошной среды находящейся в условиях одномерной и двумерной плоской деформации. Кроме того, рассмотрены вопросы определения скоростей распространения одномерных и двумерных волн деформаций, выявлены закономерности их распространения.

Общий подход к построению решения задач механики деформируемого твёрдого тела, механическое поведение которого описывается геометрически и физически нелинейными моделями, предложенный автором, как показали исследования, является весьма плодотворным и может быть с успехом применён не только для расчёта континуальных систем, но и для расчёта дискретных систем - стержневых конструкций, плит, оболочек и так далее.

Вместе с тем следует обратить внимание на то обстоятельство, что существующие в настоящее время теории расчёта стержневых систем, плит, оболочек и так далее, опираются, прежде всего, на линейный закон, связывающий напряжения и деформации, даже при решении физически нелинейных задач. Построение же решения при полном отказе и от принципа затвердевания, и от закона Гука будет связано с огромными физическими, математическими и логическими трудностями. Здесь нужно ещё много и упорно работать.

---

Сергей Васильевич БАКУШЕВ

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов и теория упругости» Пензенского государственного университета архитектуры и строительства, ученый секретарь диссертационного совета ДМ 212.184.01. Основное научное направление – разработка теории и методов расчета массивных тел с учетом геометрической и физической нелинейности (на основе нелинейных соотношений теории упругости В. В. Новожилова) на статические и динамические воздействия. Автор более 140 опубликованных научных работ. Окончил факультет «Промышленное и гражданское строительство» Пензенского инженерно-строительного института. Кандидатскую диссертацию на тему «О закономерностях распространения волн деформаций в неупругой сыпучей среде» защитил в 1982 г. в Центральном научно-исследовательском институте строительных конструкций им. В. А. Кучеренко. Докторскую диссертацию на тему «Теория деформационного и прочностного расчета массивных тел с учетом геометрической и физической нелинейности» защитил в 2001 г. в Саратовском государственном техническом университете. В 2006 г. избран действительным членом Академии информатизации образования.

С. В. Бакушевым впервые в отечественной и зарубежной науке о сопротивлении материалов была поставлена задача деформационного и прочностного расчета массивных тел, описываемых геометрически и физически нелинейными моделями. В его докторской диссертации теоретически обобщены, сформулированы и обоснованы научные положения, которые легли в основу деформационного и прочностного расчета массивных тел с учетом геометрической и физической нелинейности. Он также является активным сторонником внедрения в учебный процесс инновационных обучающих технологий на базе персональных компьютеров. По направлению «Новые технологии в образовании» занимается разработкой темы «Использование возможностей математического пакета MathCAD в курсах "Сопротивление материалов" и "Теория упругости"».