|
Содержание
Предисловие
Золушки, а геометрии — любимой дочки. Объем знаний по геометрии, изучаемый в школе, приблизительно совпадает с уровнем в этой области, который был достигнут в Древней Греции и суммирован в сочинении Евклида «Начала» (III в. до Рождества Христова). Долгое время геометрию преподавали по Евклиду, потом возникли упрощенные варианты. Но при всех изменениях, внесенных в курс геометрии, в нем все же сохранилось влияние Евклида и веяние грандиозного научного переворота, произошедшего в Греции. Не раз мне встречались люди, говорившие: «Я не выбрал математику своей профессией, но на всю жизнь запомнил красоту стройного здания геометрии с ее строгим выводом все более сложных положений, начиная с самых простых». К сожалению, мне ни разу не пришлось слышать подобные отзывы об алгебре. Школьный курс алгебры составляет странную смесь полезных правил, логических рассуждений, упражнений в пользовании такими вспомогательными средствами, как логарифмические таблицы или микрокалькулятор. По духу этот курс ближе к тому типу математических знаний, который сложился в Древнем Египте или Вавилоне, чем к направлению развития, возникшему в Древней Греции и потом продолженному в Новое время в Западной Европе. Тем не менее алгебра является столь же фундаментальной, глубокой и красивой частью математики, как и геометрия. Больше того, с точки зрения принятого сейчас деления математики, школьный курс алгебры содержит элементы нескольких частей математики: алгебры, теории чисел, комбинаторики и — в небольшой части — теории вероятностей. Задача этой книги — показать алгебру как часть математики на материале, по возможности примыкающем к школьному курсу. Книга не претендует на то, чтобы быть учебником, хотя и адресована школьникам и учителям. Изложение использует очень небольшой запас знаний: действия с целыми числами и дробями, квадратные корни, раскрытие скобок и другие преобразования буквенных выражений, свойства неравенств. Все эти навыки закрепляются к девятому классу. Сложность математических рассуждений несколько увеличивается по мере продвижения в материале. Чтобы помочь читателям закрепить прочитанный текст, приведены простые задачи. Изложение сгруппировано вокруг нескольких основных тем: «Число», «Многочлен», «Множество», каждая из которых развивается в нескольких главах, а главы, посвященные разным темам, чередуются. В качестве приложений выделено изложение некоторых вопросов, примыкающих по теме к остальному тексту, не использующее ничего, кроме того, что в нем уже есть, но немного более сложное, т. е. такое, при котором в голове надо держать немного больше уже известных фактов и определений. В следующих главах они не используются. Для излагаемых в книге утверждений я выбирал не самое короткое доказательство, но наиболее понятное. «Понятное» в том смысле, что оно связывает доказываемое утверждение с наибольшим числом понятий и других утверждений и тем самым проясняет его место в излагаемой части математики. Впрочем, и более короткое доказательство обычно появляется позже, иногда в качестве задачи. При первом знакомстве с математикой представление об истории ее развития обычно отступает на второй план. Иногда даже кажется, что она так и появилась в виде готового учебника. На самом деле математика возникла в результате трудов многих ученых на протяжении многих тысяч лет. Чтобы обратить внимание на эту ее сторону, в книге помещены портреты некоторых наиболее выдающихся математиков из числа упоминаемых в ней, а в конце даны даты жизни всех математиков (и физиков), имена которых встречались в книге. В книге довольно много формул. Чтобы было удобнее на них ссылаться, они занумерованы. Если при упоминании формулы приводится только ее номер, то имеется в виду формула с этим номером в той же главе. Например, если в главе 2 говорится «перемножая равенства (16), получаем...», то имеется в виду формула с номером (16) в главе 2. Если же речь идет о формуле из другой главы, то указывается номер этой главы. Например, «воспользуемся формулой (12) главы 1». Найти нужную главу вам поможет название и номер главы, напечатанные вверху каждой страницы. Теоремы же и леммы занумерованы подряд, по всей книге. Фонд математического образования и просвещения и особенно С. И. Комаров и В. М. Имайкин очень помогли мне при подготовке рукописи. С. П. Демушкин взял на себя труд прочесть рукопись и сделал много очень важных замечаний. Всем им я приношу сердечную благодарность. Автор
Об авторе
 Шафаревич Игорь Ростиславович Выдающийся советский и российский математик, доктор физико-математических наук, профессор, академик АН СССР и РАН. Еще в школе изучал программу механико-математического факультета МГУ и сдавал экстерном экзамены. После окончания школы был принят на последний курс этого факультета и окончил его в 1940 г. (в 17 лет). Защитил кандидатскую диссертацию в 1942 г. (в 19 лет), докторскую — в 1946 г. (в 23 года). В 1944 г., после окончания аспирантуры, стал преподавателем механико-математического факультета МГУ. С 1946 г. — сотрудник Математического института имени В. А. Стеклова (МИАН). В 1953–1974 гг. — профессор кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. В 1960–1995 гг. работал в должности заведующего отделом алгебры МИАН, с 1995 г. — главный научный сотрудник МИАН (советник РАН). В 1958 г. избран членом-корреспондентом АН СССР, с 1991 г. — академик. Лауреат Ленинской премии (1959). Президент Московского математического общества (1970–1973).
В область научных интересов И. Р. Шафаревича входили алгебра, теория чисел, алгебраическая геометрия. В теории алгебраических чисел он нашел самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел, что явилось в известной мере завершающим этапом 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Леонарду Эйлеру и Карлу Гауссу. Внес фундаментальный вклад в развитие теории Галуа. За работы по алгебраической теории чисел (открытие общего закона взаимности и решение обратной задачи Галуа для разрешимых групп), опубликованные в 1950–1954 гг., был удостоен Ленинской премии. В 1970-1980-х гг. И. Р. Шафаревич, Д. К. Фаддеев и их ученики получили важные результаты, относящиеся к теории групп, теории целочисленных представлений групп и теории Галуа. Кроме того, И. Р. Шафаревич получил известность как общественный деятель и автор историко-философских публикаций. Фото И. Р. Шафаревича: Konrad Jacobs, Erlangen, CC BY-SA 2.0 de, commons.wikimedia.org |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||