Коллектив авторов. Логические исчисления, алгебры и функциональные свойства.
(Многозначные логики и их применения. Том 1). Т.1. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

В этой книге представлены статьи по проблемам многозначных логик и их применениям школы Дмитрия Анатольевича Бочвара. Следовательно, ее началом была публикация в 1938 г. его статьи "Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления" [1]. Алонзо Черч в реферате статьи Д.А.Бочвара усомнился в непротиворечивости его трехзначной логики, но впоследствии признал свою ошибку [3]. Ответом Алонзо Черчу стала статья Д.А.Бочвара "К вопросу о непротиворечивости одного трехзначного исчисления", опубликованная в 1943 г. [4].

Первая статья Д.А.Бочвара явилась в то время единственным содержательным и плодотворным применением многозначной логики. В этой статье он ввел важное различение внутренних и внешних логических связок (возможное только в многозначных логиках): посредством внутренних логических связок (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации) выражаются исследуемые факты, а посредством внешних связок, которые являются двузначными аналогами внутренних, осуществляются доказательства утверждений о фактах, представленных посредством внутренних связок. Внешние же связки определимы посредством соответствующих им внутренних связок и J-операторов, областью значений которых являются "истина" и "ложь" двузначной логики. Для истинностных значений трехзначных логик V3 = 0, 1/2, 1, где 0, 1/2, 1 обозначают, соответственно, "ложь", "истину" и истинностное значение, отличное от 0 и 1, J-операторы J_\nu определимы следующим образом:

J_\nup = 1, если v(p)=\nu,

0, если v(p) не=\nu.

где р – пропозициональная переменная, \nu \in V3, а v[p] – функция оценки.

J-операторы, введенные Д.А.Бочваром для его трехзначной логики В3, впоследствии были применены Б.Россером и А.Тюркеттом в первой основательной книге по многозначным логикам для m-значных логик (m 3) [5].

Оператор J_1/2, где 1/2 – истинностное значение "бессмыслица", был использован Д.А.Бочваром для доказательства бессмысленности внутренней формулы, выражающей парадоксальное высказывание: в В3 доказывается внешняя формула J_1/2 \phi.

Известные применения многозначных логик были в работах Ганса Рейхенбаха: бесконечнозначная вероятностная логика [6, 7] и трехзначная логика для квантовой механики [8].

В 1949 г. (спустя одиннадцать лет после опубликования статьи Д.А.Бочвара о применении трехзначной логики к анализу парадоксов) шведский логик и философ С. Холден опубликовал книгу "The Logic of Nonsense" [9], в которой использовал для анализа парадоксов фрагмент трехзначной логики Д.А.Бочвара (логика С.Холдена в качестве внешней логической связки содержала J_1/2, но не содержала связок J₁ и J₀; кроме того, в отличие от В₃ в ней выделенными истинностными значениями являются 1 и 1/2, а не 1). По-видимому, С.Холдену была неизвестна статья Д.А.Бочвара 1938 г.

Попытка использовать многозначные (и в том числе трехзначные) логики для анализа высказываний естественных языков была предпринята Г.Лаковым в [10]. Но использование логик для задач исследования естественных языков не получило заметного развития, хотя в [11] Ч.Филлмор высказал важную идею о том, что лингвистическую семантику надо развивать как семантику понимания, а не как семантику истинности, что означает, что следует рассматривать не условия истинности/ложности, а условия осмысленности/бессмысленности и, возможно, условия неопределенности в зависимости от контекста. Следовательно, востребованными оказываются трехзначные логики с оценками высказываний "осмысленно", "бессмысленно" и "неопределенно".

Классификация трехзначных логик неопределенностного и бессмысленностного типа с истинностными значениями "истинно", "ложно" и "бессмысленно", предложенная в [12], скорее относится к проблеме понимания языков естественных наук, а не текстов на естественных языках.

Интересная связь между n-значными логиками Я.Лукасевича и простыми числами была обнаружена в [13], а впоследствии развита А.С.Карпенко в [14].

Следует отметить, что интерес к многозначным логикам и их полезные практические применения были стимулированы проблематикой формализации правдоподобных рассуждений в системах искусственного интеллекта и появлением теории нечетких множеств Л.Заде и соответствующих им многозначных логик. В силу этих обстоятельств многозначные логики перестали быть нестандартной ветвью логики, которая является обобщениями двузначной логики, имеющими лишь формально-технический характер.

Это изменение роли и востребованности многозначных логик связано не только с приведенными выше обстоятельствами, но и с самой природой логической науки. Дело в том, что логика – наука о правильном рассуждении, следовательно, предметом логической науки является не только доказательство, вычислимость, аксиоматические теории и их модели, но и различные познавательные процедуры получения нового знания из посылок, представляющих исходное знание. Разумеется, что получение нового знания из имеющихся посылок может быть предметом логики, если формализована "правильность", т. е. сформулированы правила амплиативных выводов, допускающих контроль результатов посредством приписывания соответствующих истинностных значений (например, степеней правдоподобия порождаемых гипотез). Примерами амплиативных выводов являются индуктивные выводы, выводы по аналогии, абдуктивные выводы (принятие гипотез посредством объяснения исходных фактов, являющихся посылками вывода). Многозначные логики оказались адекватным средством формализации правдоподобных рассуждений и в том числе методов автоматического порождения гипотез. Чешские математики П.Гаек и Т.Гавранек использовали трехзначную логику в созданном ими GUHA-методе автоматического порождения гипотез [15]. Работы П.Гаека и Т.Гавранека явились стимулом для создания ДСМ-метода автоматического порождения гипотез (ДСМ-метод АПГ) в базах данных с неполной ИНФОРМАЦИЕЙ. ДСМ-метод автоматического порождения гипотез формализуется посредством бесконечнозначных логик со счетным множеством J-операторов и с конечным множеством истинностных типов значений: таковыми являются "1" – "фактическая истина", " 1" – "фактическая ложь", "0" - "фактическое противоречие" и "\tau" – "неопределенность". <...>

Заметим, что идея использования аргументации для приписывания истинностных значений порождаемым посредством ДСМ-метода гипотезам получает уточнения посредством логик аргументации, рассмотренных в некоторых статьях настоящей книги [19-22].

<...>ДСМ-логики обладают итеративным и конструктивным способом порождения истинностных значений, что отличает формальный аппарат ДСМ-метода АПГ от формального аппарата нечетких множеств, использующего \mu-функции принадлежности, заданные априорно.

Две важные идеи Д.А.Бочвара – различение внутренних и внешних истинностных значений, а также понимание интересных многозначных логик как формализованных семантик с интерпретируемыми истинностными значениями – представлены в статьях этой книги. Следует также отметить цикл статей, в которых сформулирован метод формализации широкого класса многозначных логик посредством семантических таблиц, обобщающий конструкцию польского логика С.Сурмы [25].

Сборник статей "Многозначные логики и их применения" адресован логикам, специалистам в области искусственного интеллекта, а также философам, применяющим логику к проблемам эпистемологии.