URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики Обложка Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики
Id: 255260
843 р.

Асимптотические методы нелинейной механики № 97. Изд. 3, доп.

URSS. 2021. 408 с. ISBN 978-5-9710-7009-2.
Типографская бумага

Аннотация

Книга представляет собой описание основных методов приближенного исследования нелинейных систем, в том числе расчета характеристик нелинейных колебаний.

В ней подробно излагаются классические методы Пуанкаре, Крылова---Боголюбова и их модификации. Значительное место занимает обсуждение методов анализа систем, содержащих параметры при старших производных. Основное внимание уделяется эффективной реализации процедур расчета параметров движения,... (Подробнее)


Оглавление
top
От редакции............................. 1
Малинецкий Г. Г. Правильный путь.................... 3
Предисловие ко второму изданию................... 7
Предисловие к первому изданию................... 9
Глава I. Некоторые вопросы вспомогательного характера..... 13
§1. Метод фазовой плоскости и некоторые свойства нелинейных колебаний.......................... 13
1. Фазовые траектории (13). 2. Линейные системы (14). 3. Фазовая плоскость уравнения Дюффинга (18). 4. Пример периодической фазовой плоскости (20).
§2. Дальнейшее изучение уравнения Дюффинга.......... 22
1. Некоторые сведения из теории эллиптических функций (22). 2. Выражение общего интеграла уравнения Дюффинга (23). 3. Формула для периода (24).
§3. Примеры колебаний систем с переменными параметрами ... 27 1. Предварительные замечания (27). 2. Случай, когда возвращающая сила стремится к нулю (28). 3. Колебания с диссипативными силами (29).
4. Случай, когда возвращающая сила ограничена (30).
§4. О некоторых достаточных условиях ограниченности колебаний 32
1. Критерий устойчивости для случая, когда возвращающая сила изменяется монотонно (32). 2. Устойчивость колебаний ракеты (33). 3. Основная лемма (35). 4. Критерий устойчивости для уравнения (3.8) (35).
§5. Теорема Пуанкаре...................... 37
1. Формулировка (37). 2. Доказательство утверждения 1 (39). 3. Замечание об аналитичности правых частей (41).
§6. Метод Пуанкаре в задачах управления............ 42
1. Предварительные замечания (42). 2. Слабоуправляемые системы (43). 3. Другой подход к построению теорий возмущений (46). 4 Метод квадратичной аппроксимации (48).
Глава II. Метод Ляпунова—Пуанкаре............... 62
§1. Система Ляпунова — случай одной степени свободы...... 52
1. Консервативные системы (52). 2. Система Ляпунова (53). 3. Приведение к каноническому виду (54). 4. Преобразование интеграла Н (55).
5. Периодичность решений системы Ляпунова (55). 6. Вычисление периода (57). 7. Одно свойство периода (58). 8. Формулировка теоремы Ляпунова (59).
§2. Условия существования периодических решений........ 60
1. Предмет исследования (60). 2. Необходимые и достаточные условия периодичности (69). 3. Случай, когда фундаментальные решения уравнения (2.2) -периодические функции времени (62). 4. Пример (63). 5. Одно уравнение второго порядка (63). 6. Одно уравнение второго порядка. Случай непериодических фундаментальных решений (66).
§3. Метод Ляпунова....................... 68
1. Пример (68). 2. Обсуждение алгоритма (70). 3. Расчет приближенного решения (73). 4. Уравнение Дюффинга (75). 5, Пример неконсервативной системы (76).
§4. Система Ляпунова. Случай произвольного числа степеней свободы ............................. 78
1. Определение (78). 2. Приведение к каноническому виду (79). 3. Теорема Ляпунова (80). 4. Метод Ляпунова (81). 5. Консервативные системы произвольного числа степеней свободы (85), 6. Метод Ляпунова в нелинейных консервативных системах (87).
§5. Автоколебания ....................... 89
1. Пример автоколебаний (89). 2, Формулировка математической задачи (92). 3. Алгоритм построения автоколебательных режимов в случае квазилинейных систем (метод Пуанкаре) (93). 4. Алгоритм построения автоколебательных режимов в случае систем, близких к консервативным (100). 5. Пример (102). 6. Автоколебания в квазилинейных системах со многими степенями свободы (103).
§6. Метод Г. В. Каменкова....................106
1. Квазилинейная теория. Теорема Г В. Каменкова (107). 2. Квазилинейная теория. Расчет периодических решений (ПО).
§7. Неавтономные квазилинейные системы. Метод Пуанкаре. ... 112
1. Замечание о линейных системах (112).. 2. Колебания вдали от резонанса (115). 3. Резонансные колебания. Случай одной степени свободы (117). 4. Пример: уравнение Ван-дер-Поля (122). 5. Один специальный случай (123). 6. О резонансе п-го рода (126). 7. О квазилинейной трактовке нелинейных уравнений (128).
§8. Неавтономные системы второго порядка, близкие к системам
Ляпунова. Метод Малкина..................131
1. Предварительный анализ (131). 2. Решения х° и у°. Нерезонансный случай (133). 3. Пример расчета нерезонансных решений (134). 4. Резонансные режимы в системах, близких к системе Ляпунова (135). 5. Примеры расчета резонансных решений уравнения Дюффинга (140). 6. Еще один пример решений х° (142) 7. О решениях, близких к нетривиальным решениям системы Ляпунова (144).
§9. Заключительные замечания..................147
Глава III. Асимптотические методы разделения движений .... 149
Введение.............................149
§1. Метод Ван-дер-Поля.....................150
1. Предварительные замечания (150). 2. Переменные Ван-дер-Поля (151). 3. Схема В. М. Волосова (152). 4. Укороченные уравнения (153). 5. Стационарные режимы (151). 6. Пример разрывных правых частей (156). 7 Диссипативная система (158). 8. Автоколебательная система (161). 9. Эквивалентная линеаризация в консервативных системах (161). 10. Замечание об исследовании устойчивости (164).
§2. Метод Ван-дер-Поля в системах, близких к консервативным . . 166
1. Замена переменных (166). 2. Укороченные уравнения (168). 3. Пример (169). 4. Другой подход к решению той же задачи (170). 5. Примечания (173).
§3. Системы с медленным временем...............174
1. Вывод укороченных уравнений (174). 2. Адиабатические инварианты (176). 3. Интеграл действия (176). 4. Пример использования адиабатических инвариантов (178). 5. Вычисление амплитуды и энергии (179). 6. Некоторые обобщения (180). 7. Задача о маятнике переменной массы (181).
§4. Описание алгоритма асимптотического интегрирования для случая одной быстрой переменной................183
1. Преобразование переменных (183). 2. Определение членов разложения (134). 3. Построение приближенного решения (188). 4. Оценка точности (190). 5. Независимость точности приближенного решения от выбора функций (193). 6. Замечание о характере приближенных формул (195). 7. Метод последовательных приближений (196). 8. Система стандартного вида (197). 9. О возможных обобщениях (198). 10. Замечание об исследовании стационарных режимов (198).
§5. Алгоритм асимптотического интегрирования. Случай нескольких быстрых переменных.....................199
1. Система с двумя вращающимися фазами (199). 2. Метод Фурье (200). 3. Описание алгоритма в нерезонансном случае (201). 4. Резонансный случай (204). 5. Исследование главного резонанса в случае постоянных частот (205). 6. Общий случай главного резонанса (207). 7. Комбинационные резонансы (209). 8. Установившиеся режимы (210). 9. Вынужденные колебания квазилинейных систем (212). 10. Резонансные решения уравнения. Дюффинга (213). 11. О кратных резонансах в колебательных системах (215). 12. Один пример колебательной системы с большим числом степеней свободы (217).
§6. Исследование стационарных точек и устойчивости.......218
1. Предварительные замечания (218). 2. Исследование устойчивости (219). 3. Устойчивость тривиального решения системы (6.6) (220). 4. Замечания (222). 5. Трактовка результатов (223).
§7. Вращательные движения маятника ..............224
1. Замечания об изучении колебательных движений маятника (224). 2. Новые независимые переменные (226). 3. Построение асимптотики порождающего решения (227). 4. Вращательные движения математического маятника (231). 5. Пример маятника, возвращающая сила которого разрывна (232). 6. Система с вращающимся звеном (233). 7. Маятник с переменной возвращающей силой (234). 8. Теория возмущений (236). 9. Уравнение Ван-дер-Поля (238). 10. Особенности резонансных явлений в системах с вращающимися звеньями (239). 11. Использование метода В. М. Волосова в теории вращательных движений (244). 12. Заключение (247).
§8. Приложения к задачам динамики орбитальных аппаратов . . . 247
1. Предварительные замечания (247). 2, Возмущения кеплеровских орбит (249). 3. Задача о трансверсальной тяге (254). 4. Задача о движении спутника на последних оборота» (359). 5. Задача о движении спутника в конце последнего оборота (264). 6. Резонансные задачи в динамике искусственных спутников (273).
§9. Асимптотические методы усреднения в задачах теории оптимального управления.....................279
1. Частичное усреднение (279). 2. О возможных постановках задач оптимального управления для уравнений в стандартной форме (280). 3. Пример (283).
Глава IV. Асимптотические методы в теории линейных уравнений, содержащих большой параметр...............286
§1. Одно уравнение второго порядка...............288
1. WBKJ-решения (288). 2. Связь с методом усреднения (289). 3. Асимптотический характер приближенных формул (291). 4. Другой метод построения приближенных решений (294).
§2. Однородные системы второго порядка. Случай простых корней 296
1. Асимптотические решения для одного уравнения второго порядка (296). 2. Уравнение произвольного ранга (300). 3. Система второго порядка (302). 4. Некоторые частные случаи (304). 5. Система произвольного ранга (306). 6., Возможные модификации алгоритма построения асимптотических рядов (308).
§3. Однородные системы второго порядка. Случай кратных корней 309
1. Предварительные замечания (309). 2. Случай простых элементарных делителей (314). 3. Один пример механической системы с двумя степенями свободы (315). 4. Системы произвольного ранга (321). 5. Пример колебательной системы, элементарные делители которой непростые (321).
§4. Неоднородные уравнения...................323
1. Одно уравнение второго порядка (323). 2. Система произвольного ранга (324). 3. Основная теорема (325). 4. Случай, когда внешние силы осциллируют (327).
§5. Общий случай линейной системы произвольного порядка . . . 330 1. Общее решение однородной системы в том случае, когда корни простые (330). 2. Случай кратных корней (334). 3. Частные решения неоднородных систем (334).
§6. Задача о движении гироскопа под действием момента, изменяющегося во времени................... 335
1. Вывод уравнений (335). 2. Линеаризация (339). 3. Случай постоянных параметров. Элементарная теория гироскопа (340). 4. Гироскоп в поле переменной напряженности (341). 5. Уравнения баллистики (344). 6. Исследование системы (6.33) (347).
§7. Особые случаи (асимптотика в окрестности точек возврата) . . 349
1. Предварительные замечания (349). 2. Эталонное уравнение, формальное построение асимптотических рядов (351). 3. Асимптотика решений в окрестности точек возврата, в которых корни характеристического уравнения обращаются в нуль (353). 4. Асимптотические разложения в окрестности точки возврата, где элементарные делители перестают быть простыми (356).
§8. О некоторых способах построения асимптотических представлений в случае кратных элементарных делителей характеристической матрицы....................... 35?
1. Система с одним элементарным делителем произвольной кратности (358). 2. Пример 1 (363). 3. Пример 2 (364). 4. Случай, когда аm1 =0, но аms ≠0 (366). 5. Случай, когда аm1=аm2=0, но аms≠0 при s> 2 (368).
§9. Асимптотические методы большого параметра и теория оптимальной коррекции........................ 370'
1. Постановка задачи. Примеры (370). 2. Некоторые свойства управления консервативными системами (377). 3. Асимптотическое представление решений одной частной задачи коррекции (379).
§10. Асимптотика тихоновских систем............... 382
1. Предварительное обсуждение (382). 2. Теорема А. Н. Тихонова (384). 3. Пограничные функции (387). 4. Некоторые примеры и комментарии (393).
Заключение.......... . .......399

Правильный путь
top

Признаюсь, что книга выдающегося математика, мыслителя, философа, академика Никиты Николаевича Моисеева является одной из моих любимых. Очень надеюсь, что для широкого круга читателей, интересующихся нелинейной динамикой и самоорганизацией, она будет очень полезной и интересной. Мне довелось много общаться с этим выдающимся и замечательным ученым, умевшим создавать новые области исследований, стремившимся ставить перед своим коллективом большие задачи и решать их.

Мне довелось докладывать у него на семинаре свою кандидатскую диссертацию и на одной из его школ прочитать курс синергетики. Пожалуй, одной из самых высоких похвал для молодого ученого были слова, которые он иногда говорил: «Я за Вами слежу». И начинающий ученый понимал, что он занимается интересным и перспективным делом, кое-чего уже добился, и его работы читает и разбирает выдающийся исследователь.

Бóльшая часть научного творчества Н. Н. Моисеева была связана с Вычислительным центром АН СССР (ВЦ). Этот научный центр, благодаря его работам и деятельности многих других выдающихся ученых, стал важным центром научной культуры нашего Отечества и получил мировое признание.

Яркие новые идеи, творческая атмосфера, научная романтика, легкое и веселое отношение к неурядицам, неизбежным в большом коллективе, готовность браться за сложные задачи делали его многие годы центром притяжения для специалистов, занимавшихся «машинной математикой» и ее приложениями. Очень жаль, что писать об этой замечательной организации приходится в прошедшем времени. Если В. В. Маяковский писал, что «любовная лодка разбилась о быт», то здесь «научный корабль налетел на рифы реформирования и оптимизации, бессмысленной и беспощадной». Его «слили» в прямом и переносном смысле с другой организацией. Резоны для этого странного шага так и остались неясными. Впрочем, «реформаторы от науки» не очень-то и старались их объяснить. Думаю, что будь живы академики А. А. Дородницын и Н. Н. Моисеев, им бы удалось отстоять свое детище…

Никита Николаевич был очень прост в общении, полагая, что ясность нужно вносить всюду, где это возможно. Его принципиальные, а порой и жесткие суждения смягчались юмором и искренним уважением к кол¬легам.

В научной школе Н. Н. Моисеева считали, что мало получить результат расчета с помощью тех или иных компьютерных программ. Его важно понять и осмыслить. «Целью расчетов являются не числа, а понимание», — часто звучало у него на семинарах.

Но как прийти к этому пониманию? Ответ, который давал Никита Николаевич, а затем его ученики — впоследствии академики П. С. Краснощеков и А. А. Петров, был связан с нелинейными математическими моделями механики. Дело в том, что эти модели движения макроскопических тел прекрасно согласуются со здравым смыслом (мы не имеем в виду сплошные среды, где все намного сложнее). Наша интуиция «настроена» именно на механику. С другой стороны, нельзя сбрасывать со счетов трехвековой опыт работы с этими классами задач.

«Понять» во многих случаях означает свести к чему-то еще более простому, очевидному, легко решаемому. Сделать это помогают приближенные, асимптотические методы (от греческого «асимптота» — несовпадающая). Эти методы учитывают особенности параметров и реше-ний, — «большие» они или «малые», «быстрое» время или «медленное» и прочее. С учетом этого появляются более простые, а иногда и «очевидные» модели, опираясь на которые и можно вырабатывать понимание.

Научный путь самого Никиты Николаевича начинался с расчета движения артиллерийских снарядов, продолжался проблемами исследования движения космических аппаратов и задачами гидродинамики. На определенном этапе ему стало ясно, что как бы ни была хороша конструкция, предложенная учеными и инженерами, — она должна быть «вписана» в существующую экономическую систему. Поэтому он со своей научной школой с большим энтузиазмом взялся за математическое моделирование экономических процессов. Никита Николаевич шел ко все бóльшим масштабам — к системному анализу, к отражению в математических моделях экологических императивов нашей цивилизации.

Мне довелось обсуждать с ним направление своих научных исследований. Тогда я занимался системами «реакция—диффузия», которые близки к задачам механики и по уравнениям, и по методологии, и по применяемым асимптотическим методам. Никита Николаевич настолько интересно, ярко и вдохновенно рассказывал о задачах экономики и экологии, которыми тогда занимался, что у меня возник соблазн, как, наверно, у многих студентов, аспирантов, молодых ученых, оставить свое направление и заняться этими проблемами.

Никита Николаевич меня внимательно выслушал и за чашкой чая, который нашелся в его кабинете, сказал примерно следующее: «Вы идете правильным путем. Самоорганизация – одно из самых интересных и удивительных явлений. Если бы я был сейчас молод, то работал бы именно в этой области. Но чтобы разобраться в самоорганизации, надо исследовать простые нелинейные модели, как вы и делаете. Именно здесь вырабатывается свой взгляд и стиль. Двигайтесь тем же курсом. Не спешите с „большими задачами“, если судьбе будет угодно, они сами вас найдут».

Он вспомнил также известную фразу Чехова, обращенную к молодым авторам — ничего не писать, если они только могут. Ну уж если не могут… Большие задачи — это, по его мысли, примерно то же. По возможности лучше держаться от них подальше. Но иногда этой возможности нет, и тогда все понятое при решении небольших простых задач может оказаться очень полезным.

Я очень благодарен Никите Николаевичу за этот совет и постарался ему следовать. Ученые приходят в теорию самоорганизации разными путями. Однако дорога через математические модели нелинейной механики для многих оказывается наиболее доступной и интересной. Наверно, именно поэтому Н. Н. Моисеев не пожалел времени и написал замечательную книжку, которую вы держите в руках.

Думаю, что многим она откроет тот «правильный» для них путь, по которому можно пройти от университетских и вузовских курсов к хорошо понятым учеными моделям и инструментам, а от них к современным проблемам, стоящим перед теорией самоорганизации.

Профессор Г. Г. Малинецкий


От редакции
top

Издательство URSS продолжает серию книг «Синергетика: от прошлого к будущему».

Синергетика, или теория самоорганизации, сегодня представляется одним из наиболее популярных и перспективных междисциплинарных подходов. Термин «синергетика» в переводе с греческого означает «совместное действие». Вводя его, Герман Хакен вкладывал в него два смысла. Первый — теория возникновения новых свойств у целого, состоящего из взаимодействующих объектов. Второй — подход, требующий для своей разработки сотрудничества специалистов из разных областей.

И это привело к замечательному эффекту — синергетика начала оказывать все большее влияние на разные сферы деятельности и вызывать все больший интерес. Сейчас этим подходом интересуются очень многие — от студентов до политиков, от менеджеров до активно работающих исследователей.

Синергетика прошла большой путь. Тридцать лет назад на нее смотрели как на забаву физиков-теоретиков, увидевших сходство в описании многих нелинейных явлений. Двадцать лет назад благодаря ее концепциям, методам, представлениям были экспериментально обнаружены многие замечательные явления в физике, химии, биологии, гидродинамике. Сейчас этот междисциплинарный подход все шире используется в стратегическом планировании, при анализе исторических альтернатив, в поиске путей решения глобальных проблем, вставших перед человечеством.

Название серии «Синергетика: от прошлого к будущему» тоже содержательно. Как говорил один из создателей квантовой механики, при рождении каждая область обычно богаче идеями, чем в период зрелости. Видимо, не является исключением и синергетика. Поэтому мы предполагаем переиздать часть «синергетической классики», сделав акцент на тех возможностях и подходах, которые пока используются не в полной мере. При этом мы надеемся познакомить читателя и с рядом интересных работ, ранее не издававшихся на русском языке.

«Настоящее» — как важнейший элемент серии — тоже понятно. В эпоху информационного шума и перманентного написания то заявок на гранты, то отчетов по ним даже классики синергетики очень немного знают о последних работах коллег и новых приложениях. Мы постараемся восполнить этот пробел, представив в серии исследования, которые проводятся в ведущих научных центрах страны.

«Будущее...» — это самое важное. От того, насколько ясно мы его представляем, зависят наши сегодняшние усилия и научная стратегия. Прогнозы — дело неблагодарное, хотя и совершенно необходимое. Поэтому ряд книг серии мы надеемся посвятить и им.

В редакционную коллегию нашей серии любезно согласились войти многие ведущие специалисты в области синергетики и нелинейной динамики. В них не следует видеть «свадебных генералов». В их задачу входит анализ развития нелинейной динамики в целом и ее отдельных областей, определение приоритетов нашей серии и подготовка предложений по изданию конкретных работ. Поэтому мы указываем в книгах серии не только организации, в которых работают эти исследователи, но и важнейшие области их научных интересов.

И конечно, мы надеемся на диалог с читателями. При создании междисциплинарных подходов он особенно важен. Итак, вперед — в будущее.

В нашей серии уже вышло более девяноста книг. Книги серии издаются нами еще и на испанском языке. Однако мы уверены, что и самые глубокие проблемы синергетики, и самые интересные книги серии впереди.

Редакционная коллегия серии «Синергетика: от прошлого к будущему»

Председатель редколлегии:

Г. Г. Малинецкий, Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (сложность, хаос, прогноз).

Члены редколлегии:

Р. Г. Баранцев, Санкт-Петербургский государственный университет (асимптотология, семиодинамика, философия естествознания).

А. В. Гусев, Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (вычислительная гидродинамика, технологии, медицина).

A. С. Дмитриев, Институт радиоэлектроники РАН (динамический хаос, защита информации, телекоммуникации).

B. П.Дымников, Институт вычислительной математики РАН (физика атмосферы и океана, аттракторы большой размерности).

C. А. Кащенко, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова (асимптотический анализ нелинейных систем, образование, инновации).

И. В. Кузнецов, Международный институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН (анализ временных рядов, вычислительная сейсмология, клеточные автоматы).

И. Г. Поспелов, Вычислительный центр им. А. А. Дородницина РАН (развивающиеся системы, математическая экономика).

Д. И. Трубецков, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского (теория колебаний и волн, электроника, преподавание синергетики).

Наш электронный адрес — synergy@keldysh.ru


Об авторе
top
Моисеев Никита Николаевич
Выдающийся ученый, занимавшийся исследованиями в области общей механики, прикладной математики и теории управления. Основатель факультета управления и прикладной математики МФТИ. Академик АН СССР (1984) и РАН (1991). Лауреат Государственной премии СССР (1980), премии Совета Министров СССР (1981). Награжден орденом Ленина (1987). Основные темы работ Н. Н. Моисеева — механика, гидродинамика, численные методы в теории оптимального управления, теория иерархических систем, имитационное моделирование, автоматизация проектирования, междисциплинарные исследования экологических проблем. Он автор более 300 научных работ.