Целищев В.В. Алгоритмизация мышления:
Гёделевский аргумент. № 37. Изд. 2, испр.

---

Оглавление				3
Предисловие				8
Глава 1. Математика и мышление				14
1. Математическая логика, мозг и компьютеры				14
2. Генезис и постановка проблемы				17
3. Методология философских заключений из математических результатов				19
4. Гедель: философия и математика				22
5. Дилемма Геделя				25
6. Анализ дилеммы				29
7. Машины, математики и математические предложения				32
8. Лукас, Пенроуз и Гедель				34
Глава 2. Человек, машина и геделево предложение				37
1. Математические результаты и метафизика				37
2. Аргумент Лукаса				40
3. Экспликация менталистского аргумента				41
4. Критика Бенацеррафом аргумента Лукаса				45
5. Следует ли формализовать аргумент Лукаса?				51
6. Возражение в стиле Дж. Мура				55
7. Диалектика первого и третьего лица				56
8. Бремя доказательства непротиворечивости				60
9. Нормативное постулирование непротиворечивости				62
10. Эмпирическая природа установления непротиворечивости				63
11. Металингвистические соображения относительно непротиворечивости				65
Глава 3. Трансфинитный аргумент и принципы рефлексии				69
1. Трансфинитное расширение системы				69
2. Игра человека с компьютером				70
3. Расширение системы и понимание				72
4. Теорема Клини—Черча				74
5. Антропоцентризм и человеческие возможности				75
6. Геделево предложение как принцип рефлексии				78
7. Непротиворечивость как принцип рефлексии				79
8. Сильные принципы рефлексии и неестественное расширение системы				82
9. Алгоритмы и геделизация				83
10. Формализация и «скачки» в мышлении				88
11. Принцип рефлексии для рекурсивных ординальных чисел				90
12. Рационалистический оптимизм Геделя				94
Глава 4. Компьютер, истина и доказуемость				96
1. «Видение» истины				96
2. «Видение» истины геделева предложения машиной Тьюринга и человеком				101
3. Расхождение истины и доказательства				102
4. Ничья в игре между человеком и машиной				108
5. Синтаксические и семантические характеристики формальных систем				110
6. Оператор доказуемости				112
7. «Знание» машины				114
8. Оператор истины				117
9. Con(T) как дополнительная аксиома и принцип рефлексии				118
10. Более мощные логические системы				122
Глава 5. Алгоритмическая версия ментализма				128
1. Вычисления и алгоритмы				128
2. Диагональный аргумент Пенроуза				132
3. Истина и алгоритм				137
4. Платонизм и истинность геделева предложения				140
5. Обоснованность формальной системы и мышление				143
6. Неосознаваемый факт эквивалентности алгоритма и мышления				144
7. Сводка аргумента Пенроуза о неосознаваемости эквивалентности ума машине				146
8. Как следует понимать формальную систему, симулирующую ум?				147
9. Неопровержимость математических истин				151
10. Новый аргумент Пенроуза				152
11. Еще одна версия «нового» аргумента Пенроуза				157
Глава 6. Непротиворечивость и полнота				164
1. Логика и мышление				164
2. Теоремы Геделя о неполноте				165
3. Интермедия: короткое доказательство Булоса				167
4. Сфера и причина ограничений в «ограничительных» теоремах Геделя				170
5. Локальная и глобальная непротиворечивость				172
6. Судьбы непротиворечивости арифметики				176
7. Относительность обоснованности				177
8. Эмпирические и дедуктивные факторы в обнаружении непротиворечивости				180
9. Неопровержимость знания о собственной непротиворечивости				181
10. Противоречиво ли человеческое мышление				184
11. Полнота формальной системы				187
12. Различные виды полноты				189
13. Какого рода неполнота имеется в виду в теоремах Геделя				191
Глава 7. Истинность геделева предложения				195
1. Три взгляда на причину истинности геделева предложения				195
2. Истинность и непротиворечивость				196
3. Стандартная интерпретация				198
4. Нестандартные модели				200
5. Структура геделева предложения				202
6. «Семантический» аргумент				204
7. «Дефляционная» теория истины				207
8. Неразрешимость и семантический аргумент				210
9. Истина и выразительные возможности языка				212
10. Предикат истины и консервативность расширения системы				215
11. Принципы рефлексии и истина				216
12. Аналитические и синтетические математические истины				219
13. Познаваемость математических истин				221
Глава 8. Человеческая математика				227
1. Геделево предложение и платонизм				227
2. Объективная и субъективная математика				228
3. Дедуктивный базис человеческой математики				231
4. Некомпьютерных характер мышления				235
5. Эффективность рационального мышления				238
6. Окончательные правила				241
7. Прямой доступ к истине				244
8. Математическое мышление и рекурсивные функции				248
9. Неполнота и кодирование				252
10. Роль Принципа Рефлексивности в постижении бесконечного				256
11. Самореференция и кодирование				258
12. Теорема Гудстейна и человеческая математика				260
13. Геделево предложение и человеческая математика				266
Приложение. Глава 9. «Сознание» машины				268
1. Эпистемическая и теоретико-доказательная интерпретации				268
2. Самосознание машины				271
3. Стадии самоосознания				276
4. Регулярность, нормальность и непротиворечивость				279
5. Сводка результатов				282
6. Рефлексивность				283
7. Неподвижные точки				286
8. Стабильная система				287
9. Логические машины				290
Литература				295

---

Настоящая книга представляет собой итоги исследования по проблеме алгоритмизации мышления. Основная проблема, стоявшая перед автором, заключалась в трех аспектах. Во-первых, алгоритмизация мышления часто увязывается с очень широким вопросом, который романтически формулируется как вопрос о том, «может ли машина мыслить». В такой формулировке проблема приобретает столь большую неопределенность и метафоричность, что практически уходит из сферы рационального. Правда, известный тест Тьюринга ставит проблему в определенные рамки, но и в этом случае она приобретает в значительной степени скорее психологический характер. Наше же исследование планировалось в русле философии логики и математики, и по этой причине нужно было выделить более формальный аспект проблемы, который бы имел ярко выраженный философский интерес.

Во-вторых, широкий спектр так называемых когнитивных исследований, посвященных созданию компьютерных моделей мозга, прибегает к использованию ряда теорий и концепций из математики, физиологии, теории сложности, компьютерных исследований и пр., другими словами, всего, что еще пару десятилетий уже неохотно, но все еще пытались объединить под названием «кибернетика». Это практически необъятное поле действия, в значительной степени связанное с программами построения систем искусственного интеллекта. Предлагаемое же нами исследование должно было бы быть исследованием скорее принципиальных возможностей алгоритмизации мышления, чем исследованием практических попыток такой алгоритмизации.

Наконец, коль скоро речь идет о принципиальных возможностях алгоритмизации мышления, следовало опереться на такой результат, который был бы достаточно значим, и одновременно заслуживал бы тщательного философского анализа. В этом отношении на ум сразу приходит теоремы Геделя о неполноте, которые, с одной стороны, представляют один из самых известных и значительных результатов в математической логике, а с другой — предмет множества самых разнообразных философских спекуляций, которые никак не хотелось повторять.

В результате был выбрано направление, которое соединяет в себе как философский интерес, так сложные технические детали. Речь идет о споре двух направлений, дающих противоположные ответы на вопрос, возможна ли алгоритмизация мышления. Специфика спора состоит в обращении к интерпретациям теорем Геделя о неполноте. Любопытной особенностью дискуссий является полный разброс в стиле и методах аргументации, и отсутствие желаемой заключительности этой аргументации. Само по себе это неудивительно, поскольку теоремы Геделя о неполноте являются апофеозом сложности не только для философов, и до сих пор являются предметом самых разных интерпретаций помимо описываемой проблематики. Однако удивление вызывает то обстоятельство, что одни и те же математические факты могут трактоваться столь разнообразно. В этом отношении это прекрасный пример возможности философского анализа, с одной стороны, не ограниченного богатством использования философских концепций, и с другой стороны, ограниченного использованием строгих логико-математических конструкций.

Среди источников интереса к исследуемой проблематике следует упомянуть весьма интересные книги известного математика Р. Пенроуза «Новый ум короля» и «Тени разума». В них автор с полемической остротой использовал теоремы Геделя о неполноте для защиты тезиса о неалгоритмичности человеческого мышления. Весьма резкий отклик со стороны многочисленных специалистов в области математической логики и философов не заставил себя долго ждать, и дискуссия развернувшаяся в 1990-е гг., показала, сколь сложна интерпретация результатов математической логики в применении к понятию человеческого мышления. Однако сам спор в той форме, какую он принял в упомянутое время, возник ранее, еще в 1960-е гг., когда Дж. Лукас, профессор из Оксфорда, опубликовал полемическую статью о превосходстве человеческого ума над машиной под «романтическим» названием «Умы, механизмы и Гедель». Вообще-то, сторонников взгляда, которого придерживается Дж. Лукас, было не так уж много. Как язвительно высказался один из философов, Лукас сумел убедить в своей правоте лишь одного человека, а именно, Пенроуза. Помимо малочисленности, эта группа, представляющая направление под названием «менталистов», имела очевидные слабости с точки зрения внешних регалий. Лукас больше упирал на философские детали, не обращаясь к техническим деталям, да и мотивация у него была больше «идеологической», — он рассматривал свою аргументацию как вклад в борьбу против материализма, который был представлен доктриной редукционизма, то есть, доктриной сведения мышления к физическим процессам. Что касается Р. Пенроуза, то несмотря на свои знаменитые труды в области математической физики, в математической логике он был «посторонним», что не преминули отметить многие его критики. Редукционизм в отношении проблемы мышления стал известен под названием «Механизма», а его сторонники, по вполне понятным причинам, — механицистами. Вряд ли можно было бы при такой малочисленности одной из сторон, даже при всей сложности исследуемых проблем, считать спор серьезным, если бы не одно обстоятельство, которое произвело эффект взорванной бомбы. От Хао Вана, известного математика и философа, особо близко общавшегося с К. Геделем в последние годы его жизни, стало известно, что сам Гедель был противником «Механизма», а в 1995 г. при публикации третьего тома рукописей Геделя стало ясно, что Гедель действительно пополнил компанию Лукаса и Пенроуза, в результате чего «менталисты» стали чрезвычайно респектабельной компанией. Т. Тимошко отмечает, что многие исследователи, резко критиковавшие Лукаса и Пенроуза, узнав о позиции Геделя, молчаливо сняли свои возражения .

Таков фон проблемы, которая, конечно же, выходит за рамки конфликта нескольких менталистов с остальным миром. На самом деле, менталистская позиция ныне время от времени проявляется в работах философских логиков, особенно тех, кто вовлечен в философскую интерпретацию математических достижений К. Геделя. Неоднозначность критики механицистами своих противников говорит о том, что проблема весьма сложна. Сам Дж. Лукас говорил, что ему в высшей степени подозрительно то обстоятельство, что все говорят, что он, Лукас, неправ, но никто из критиков не соглашается друг с другом, в чем он собственно неправ. Тем не менее, дело вовсе не в позиции нескольких человек. Дело скорее в том, что аргументация от технических результатов к философским заключениям действительно очень сложна.

Основной интерес, конечно, представляют не прямолинейные вердикты типа «менталисты не правы», или же «механицисты ошибаются». Как и в чистой математике, в философии, использующей аппарат математической логики, часто интерес представляет не сам доказанный результат, сколько используемые при доказательстве методы. Аргументация в споре менталистов и механицистов представляет чрезвычайный интерес, но она является лишь источником исследований, результаты которых многое говорят собственно по поводу возможности алгоритмизации мышления. Именно такого рода исследования является предметом данной книги.

Следует добавить, что проблемы, обсуждаемые в этой книге, разделены достаточно искусственно, так что иногда одни и те же вопросы обсуждаются с разных углов зрения в нескольких главах. Это, например, принципы рефлексии, играющие важнейшую роль в понимании природы математического мышления, или же проблема истинности геделевого предложения, которые обсуждаются практически по ходу всей книги. Вообще, в подобного рода исследованиях, которые не систематизированы и носят крайне дискуссионный характер, практически невозможно избежать повторений при попытках той самой систематизации, которая является одной из целей книги. Далее, одна из сторон описываемой философской дискуссии названа «менталистами». Это не совсем точно в отношении всех сторонников превосходства человеческого ума над машиной: действительно, Р. Пенроуз придерживается научной трактовки в более общей проблеме соотношения ума и машины, но поскольку в данной книге обсуждается лишь проблемы соотношения формализма и человеческого ума, другие стороны антиредукционистской позиции Пенроуза здесь не рассматриваются. По этой причине он зачислен в «менталисты».

Представляется, что сама проблематика алгоритмизация мышления, как она описана выше, состоит из двух больших разделов. Первый связан с интерпретацией теорем о неполноте К. Геделя, а второй — с концепцией механизации мыслительных операций, которая связана в первую очередь с именами А. Тьюринга и А. Черча.

В книге представлены не только собственно проблемы соотношения человеческого ума и машины в отношении математического мышления, но и обсуждение некоторых важнейших категорий и вопросов относительно характера самого математического мышления. Поэтому вполне уместным показалось включение в нее крайне интересных вопросов о сфере применения теорем о неполноте Геделя. Возможно, что проблема обоснованности математического мышления лежит несколько в иной плоскости, чем это традиционно считается подавляющим большинством исследователей.

Эта работа является исследованием в области философской логики, которая становится все менее популярной, поскольку многие считают, что стала слишком «заформализованной» и отдаленной от философских вопросов. Но философия не может состоять из одних лишь прикладных исследований и быть источником готовых ответов на сложные вопросы. В недрах философии должны зреть, по выражению американского философа МакДжинна «замысловатые, чистые и строгие вопросы, работа над которыми представляет огромное удовольствие». Помимо этого, следует помнить, что именно в высшей степени абстрактные и далекие от повседневной жизни философские программы в основаниях математики в первой половине XX века привели в конечном счете к рождению тех дисциплин, которые стали основой фантастического технологического прогресса в вычислительной технике.

Основанная трудность при проведении исследований и написании книги состояла в том, чтобы соединить в целое значительное разнообразие точек зрения на столь сложный предмет как использование теорем Геделя о неполноте в философии. Автор надеется на то, что ему удалось передать атмосферу этой сложности, не поступившись при этом максимой, которая выражена метафорой П. Бенацеррафа о «посылке принцессы Маргарет» . Технические результаты, как бы они ни были важны сами по себе, должны еще убедить философов в том, что эти результаты действительно важны уже для философии.

Многие вопросы, рассмотренные в данной книге, были предметом обсуждения на совместном постоянном семинаре математических логиков и философов, проходившим в 2002–2004 гг. в Институте математики Сибирского отделения. Исследования, нашедшие отражение в этой книге, были поддержаны Российским гуманитарным научным фондом (грант 04–03–00337) и Междисциплинарным интеграционным проектом Сибирского отделения 125

---