Деза Е.И., Котова Л.В. Сборник задач по теории чисел:
112 задач с подробными решениями. Изд. стереотип.

Оглавление

Введение

Данное пособие содержит обширную коллекцию упражнений и задач по всем классическим разделам арифметики и теории чисел.

Пособие написано на основе лекций, читаемых в течение многих лет студентам математического факультета Московского государственного педагогического университета, и охватывает все вопросы, рассматриваемые в курсе теории чисел, предназначенном для будущих учителей математики, предлагая студентам системы упражнений и задач по следующим темам: теорема о делении с остатком, отношение делимости, простые и составные числа, НОД и НОК, алгоритм Евклида, взаимно простые числа, функции [x] и {x}, мультипликативные функции, число и сумма делителей, функция Эйлера, функция Мебиуса, отношение сравнимости, классы вычетов, полная и приведенная системы вычетов, малая теорема Ферма и теорема Эйлера, линейные сравнения и системы сравнений, сравнения и системы сравнений по простому модулю, сравнения по степени простого и по составному модулю, квадратичные вычеты и символ Лежандра, показатели и первообразные корни, индексы, цепные дроби, применения цепных дробей, разные теоретико-числовые задачи.

Изложение каждой из вышеперечисленных тем проведено по единой схеме: основные определения и примеры; свойства рассматриваемых объектов, часть которых доказана, а остальные приведены без доказательства, но со ссылками на соответствующую литературу; примеры решения задач; упражнения, аналогичные рассмотренным выше примерам, решаемые по заданному алгоритму и предназначенные как для работы в аудитории, так и для выполнения домашней работы; задачи для самостоятельного решения, требующие от студентов активного поиска неизвестного им заранее алгоритма решения и зачастую представляющие собой частные случаи хорошо известных в теории чисел теорем.

Раздел "Задачи для организации промежуточного и итогового контроля" содержит цикл заданий для проведения контрольных работ (30 блоков заданий по 25 однотипных заданий в каждом блоке), задачи лабораторной работы по теме "Сравнения по составному модулю" (90 заданий различного уровня сложности, от простейших, для решения которых достаточно лишь умения работать по заданному алгоритму, до творческих, решение которых требует от студента активного применения на практике всех основополагающих положений соответствующей теории), задачи лабораторной работы по теме "Цепные дроби" (25 вариантов по 8 заданий в каждом варианте), наконец, типовые задания для проверки усвоения обязательного минимума содержания дисциплины (30 блоков заданий по 18 однотипных заданий в каждом блоке).

Пособие предназначено для проведения семинарских занятий и организации самостоятельной работы студентов математических факультетов педвузов, для проведения элективных курсов арифметической тематики и активизации учебно-исследовательской деятельности старшеклассников, выбравших естественно-математический профиль обучения, для всех читателей, интересующихся арифметикой и элементарной теорией чисел.

Авторы благодарят за многолетнее плодотворное сотрудничество и совместную работу своих учителей и коллег, без помощи и поддержки которых было бы невозможно создание этой книги: Бухштаба А.А., Нечаева В.И., Митькина Д.А., Воронина С.М., Киселеву Л.В., Топунова В.Л., Степанову Л.Л., Чирского В.Г., Жмулеву А.В., Баулину Ю.Н., Иконникову Т.К., Юрченко А.Л., Александрову Н.В., Гладкову Е.Б.

Об авторах

Деза Елена Ивановна

Доктор педагогических наук (2012), кандидат физико-математических наук (1993). В 1983 г. окончила математический факультет Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина (МГПИ), в 1992 г. — аспирантуру по кафедре теории чисел МГПИ (ныне — Московский педагогический государственный университет, МПГУ), в 2010 г. — докторантуру по кафедре теоретической информатики и дискретной математики МПГУ. С 1988 г. — преподаватель кафедры теории чисел математического факультета МПГУ, с 2006 г. — профессор кафедры теоретической информатики и дискретной математики математического факультета МПГУ. Область научных интересов: теория чисел, дискретная математика, дидактика высшей школы. Автор нескольких монографий, более 10 учебных и учебно-методических пособий, более 150 научных публикаций.

Котова Лидия Владимировна

Окончила математический факультет Московского педагогического государственного университета (МПГУ) в 2000 г., аспирантуру по кафедре теории чисел в 2003 г. С 2000 г. преподает на кафедре теории чисел МПГУ. Область научных интересов — теория чисел, криптография и дидактика высшей школы. Автор (совместно с Е. И. Деза) «Сборника задач по теории чисел» (М.: URSS) и учебных пособий по теории чисел и криптографии. В последние годы активно занимается разработкой методического обеспечения дисциплины «Методы и средства защиты информации» и курсов смежной тематики.