Бохер М. Введение в высшую алгебру.
Пер. с нем. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие автора.

"...Как показывает заглавие, книга эта должна быть рассматриваема не как систематическое руководство (kompendium), но как введение в высшую алгебру, и потому в ней была сделана попытка положить достаточно широкое основание для того, чтобы читатель оказался в состоянии с пониманием продолжить дальнейшее изучение; это представлялось более полезным, чем трактовать какие-либо главы вполне исчерпывающим образом. Вряд ли необходимо оправдывать пропуск даже столь важных частей, как теория Галуа, и систематическое изучение инвариантов; так как выбор был необходим, то для изложения был предпочтен тот материал, который оказывается особенно важным в геометрии и в анализе так же, как и в алгебре, причем было обращено особое внимание на связь алгебраической теории и геометрии. Но при этом надлежит заметить, что прежде всего трактуются вопросы алгебраического характера, а не аналитическая геометрия, так что геометрические исследования носят по преимуществу отрывочный и несколько случайный характер.

У изучающего не предполагается никаких алгебраических сведений, кроме знакомства с элементарной алгеброй включительно до квадратных уравнений, и также лишь такое знакомство с теорией определителей и методом математической индукции, которые могут быть легко приобретены начинающим в течение недели или двух. Книга эта, однако, не предполагает совершенно неопытного читателя, адресуясь скорее к студентам, которые занимались в течение двух или трех лет аналитической геометрией и диференциальным исчислением, причем основательное знакомство с элементарной аналитической геометрией является необходимым.

Упражнения в конце каждого отдельного параграфа составляют существенную часть книги, ибо они дают читателю возможность не только самому подумать об изложенном, но и во многих случаях содействуют ознакомлению его с основными идеями соприкасающихся теорий; так, например, с сильвестровым законом "of Nullity" (упражнение 8, § 25), с ортогональными преобразованиями (упражнение к § 52 и к § 60) и с теорией инвариантов бинарной биквадратичной формы (упражнение к § 90).

При первом чтении глав I–VII могут быть частью или совсем опущены § 10, 11, 18, 19, 20, 25, 27, 34, 35. Затем читатель мог бы приняться за изучение или квадратичных форм (главы VIII–XIII), или, если он предпочитает, непосредственно перейти к более общим вопросам глав XIV–XIX.

Главы об элементарных делителях (XX–XXII) представляют собою наиболее специальную часть этой книги. Читатель, желающий приступить к ее изучению без чтения остальной части книги, мог бы ограничиться содержанием § 19 (опуская теорему 1), 21–25, 36, 42, 43.

Из предисловий к разным изданиям

В книге такого рода не представляется возможным давать обширные библиографические указания, равно как и перечисление тех источников, которые были использованы при ее обработке. Однако работы двух математиков, Кронекера и Фробениуса, оказали столь решительное влияние на самый характер книги, что их имена должны быть упомянуты здесь.

Автор считает своим долгом выразить благодарность своему коллеге проф. Осгуду за его указания и критические замечания, относящиеся к главам XIV–XVI.

Книга эта является результатом лекций, читанных автором в последнее десятилетие в Гарвардском университете.

Предлагаемое немецкое издание книги проф. Бохера по существу является дословным переводом; недостает только некоторых примечаний, которые являются специфическими для американской книги, для немецкого же читателя представляют меньший интерес. К этому переводу автор присоединил некоторые упражнения, которых недоставало в оригинале. Нумерация теорем сохранена та же, что и в оригинале, так что обоими изданиями можно пользоваться параллельно.

Одной из основных особенностей развития математики в последнее время является проникновение алгебраических понятий, методов и идей в самые различные области математической науки. Один из первых примеров такой алгебраизации математических дисциплин дает нам проективная геометрия; несколько сгущая краски, можно сказать, что геометрия проективных аксиом соединения и алгебра наиболее общих алгебраических тел имеют один и тот же реальный субстрат своих построений.

В анализе блестящим примером проникновения алгебраических идей является теория интегральных уравнений и начавшийся с нее линейный функциональный анализ, общим понятием линейного оператора захватывающий все более и более широкие области математики и ее приложений.

Чтобы не умножать примеров, упомяну еще только о топологии, в последние годы перестраивающейся и во многих своих отделах уже перестроившейся на основе систематической алгебраизации своих основных понятий и приемов исследования.

При этом приходится отметить одно – наряду с общими идеями современной алгебры, нашедшими свое выражение в основных определениях теории групп, колец и идеалов, основной двигательной пружиной в процессе алгебраизации математики является так называемая линейная алгебра, т.е. алгебра линейных преобразований, матриц, абелевых групп с операторами. Закон дистрибутивности – вот логическая основа, которой держится эта часть математики и которая, составляя основной логический элемент понятия линейного оператора, завоевывает все большие и большие области исследования.

Значение как общей, так и специально линейной алгебры в современной математике до сих пор, – можно это прямо сказать, не получило отражения ни в нашем университетском преподавании, ни в изданной у нас до сих пор математической литературе. В Московском университете читаются разнообразные математические курсы, но тем не менее, можно кончить университет по специальности математики и не иметь возможности почерпнуть из пройденных курсов знания того, что называется элементарными делителями матрицы!

Одним из первых шагов к восполнению этого пробела является книга Бохера (Вoсhег), в значительной своей части посвященная линейной алгебре. Выбор книги Бохера для перевода нельзя не признать очень удачным – она является одним из лучших в мировой литературе введений в эту часть алгебры.

Материал выбран с большим вкусом, в книге нет ничего, что могло бы быть опущено, а это большое и довольно редкое достоинство. Доказательства безукоризненно строги и вместе с тем изящны, – я нигде не встречал, например, столь простого доказательства известной теоремы Лапласа о детерминантах, как то, которое дано в книге Бохера. Рассуждения оживлены многочисленными геометрическими иллюстрациями (в этом отношении можно было бы пойти, впрочем, кое-где еще дальше, например в общей теории линейных уравнений).

Однако, оценивая по достоинству все положительное, что есть в книге Бохера, надо, с другой стороны, иметь в виду, что книга написана до переживаемого нами сейчас расцвета идей общей алгебры, поэтому полной перспективы на современное положение разбираемых вопросов читатель Бохера не получит. В этом смысле ему можно порекомендовать, прочтя книгу Бохера приступить к изучению Алгебры фан-дер-Вардена (van der Waerden), во втором томе которой содержится сжатая, но превосходная трактовка основных вопросов линейной алгебры с более широкой точки зрения. Далее, можно пожалеть об отсутствии у Бохера теории абелевых групп с конечным числом образующих, которая по существу своему занимается тем же, что и теория целочисленных матриц и вполне относится к элементарному курсу линейной алгебры.

Но как бы то ни было, книга Бохера есть и остается одним из самых Лучших, если не лучшим введением в свой предмет.

Об авторе

Бохер Максим

Известный американский математик, член Национальной академии наук США. Родился в Бостоне, штат Массачусетс. Высшее образование получил в Гарвардском университете, который окончил в 1888 г. Также учился в Геттингене (Германия), где посещал лекции Феликса Клейна и других немецких математиков. В 1891 г. защитил в Геттингене докторскую диссертацию. В том же году вернулся в США и получил работу в Гарвардском университете, где в 1894 г. стал доцентом, а в 1904 г. — профессором. В 1909–1910 гг. М. Бохер был президентом Американского математического общества.

Основные работы М. Бохера были посвящены теории дифференциальных и алгебраических уравнений, геометрии. Им написано более сотни трудов по этим разделам математики, а также несколько учебников и учебных пособий. В число последних входит «Введение в высшую алгебру» (1907), переведенное на многие языки мира. В 1923 г. Американским математическим обществом была учреждена премия имени М. Бохера, которая присуждалась каждые пять лет за наиболее значительные работы в области математического анализа, опубликованные в североамериканских журналах или написанные членами общества. В число лауреатов премии вошли выдающиеся ученые Норберт Винер и Джон фон Нейман.