Самарский А.А.Ак★★, Гулин А.В. Устойчивость разностных схем Изд. 2, испр. и доп.

Оглавление

Предисловие ко второму изданию

В настоящем издании, которое выходит в свет более чем через тридцать лет после первого, оставлены без существенных изменений первые четыре главы книги. Вместо главы 5, в значительной мере устаревшей и содержащей не получившие дальнейшего развития идеи, включена в виде приложения обзорная статья, написанная совместно с П.Н.Вабищевичем и опубликованная в 1999 году в журнале "Дифференциальные уравнения". Выражаем искреннюю благодарность всем коллегам и соавторам, вносившим на протяжении многих лет свои замечания по содержанию книги.

Предисловие

Область применения численных методов в настоящее время стремительно расширяется, охватывая основные разделы физики и техники. Для описания большинства физических процессов используются те или иные математические модели, обычно представляющие собой дифференциальные уравнения в частных производных (уравнения математической физики).

Для решения на быстродействующих цифровых вычислительных машинах уравнений математической физики широко применяется метод конечных разностей.

Опыт численного решения сложных задач физики и техники стимулировал постановку ряда теоретических проблем, вызвал потребность глубокого изучения машинно-ориентированных численных методов.

От теории разностных схем естественно требовать, чтобы она была достаточно общей (т.е. не зависела от конкретного вида разностных операторов, а использовала лишь их функциональные свойства и эффективной, т.е. удобной в применении к конкретным разностным схемам.

Проведение численных экспериментов предъявляет к разностным методам ряд жестких требований, таких, например, как достаточная точность, устойчивость схемы, экономичность по числу действий. Поэтому от теории разностных схем требуется формулировка простых правил построения схем заданного качества. Чтобы получить схему требуемого качества, надо задать исходное семейство схем, в котором осуществляется выбор. Прежде всего надо дать определение объекта исследований, т.е. разностной схемы. От этого понятия зависит выбор средств исследования. Мы определяем разностную схему либо как семейство операторных уравнений (что является аналогом стационарных задач математической физики), зависящих от параметра ("шага" сетки), либо как семейство операторно-разностных схем, которые являются разностными по t уравнениями с операторными коэффициентами. Операторно-разностные схемы являются аналогами нестационарных уравнений математической физики. Исходное семейство схем задано, если заданы коэффициенты схемы как операторы, действующие в некотором абстрактном пространстве.

Одним из основных вопросов теории разностных схем является устойчивость. Известно, что разностные схемы, соответствующие корректно поставленным задачам математической физики, могут быть неустойчивыми. Поэтому отыскание классов устойчивых схем является важной теоретической проблемой. Эти классы определены, если выполнены достаточные условия устойчивости.

Данная книга посвящена систематическому изложению теории устойчивости разностных схем. Отправным пунктом излагаемой теории является признание того факта, что устойчивость есть внутренрии является признание того факта, что устойчивость есть внутреннее свойство схемы, не зависящее от таких свойств, как аппроксимация и сходимость. Поэтому устойчивость можно изучать независимо от сходимости.

В основу настоящей книги положена концепция устойчивости, предложенная в работах А.А.Самарского и развитая в последующих работах А.А.Самарского и А.В.Гулина. Аналогичное изложение некоторых принципиальных вопросов теории устойчивости разностных схем имеется также в книге А.А.Самарского.

Основное внимание в книге уделяется изучению устойчивости линейных двухслойных и трехслойных операторно-разностных схем. Полученные необходимые и достаточные условия устойчивости представляют собой линейные операторные неравенства, удобные для проверки в случае разностных схем, порожденных уравнениями в частных производных. Эти условия устойчивости выделяют из исходного семейства классы устойчивых схем. Поиск схем нужного качества можно вести в классе устойчивых схем. Следствием теории устойчивости является метод регуляризации в классе устойчивых схем для отыскания схем заданного качества.

Существенную роль в теории играет каноническая форма записи схем. Отметим, что в этой же форме записываются итерационные схемы для решения операторных уравнений. Это позволяет строить теорию итерационных методов как раздел теории устойчивости операторно-разностных схем.

В книге используются лишь элементарные понятия функционального анализа и линейной алгебры, такие как норма оператора, сопряженный оператор, операторное неравенство и т.п. Так, не используется спектральная теория операторов. Основным инструментом исследования устойчивости является аппарат операторных неравенств и априорных оценок в гильбертовом пространстве.

В книге уделяется большое внимание примерам применения общей теории устойчивости к многочисленным конкретным схемам; эти примеры демонстрируют эффективность теории.

Следует отметить, что изучению устойчивости разностных схем посвящено значительное количество работ, в которых предлагаются различные определения устойчивости, используются различные математические средства и получены многочисленные трудно сопоставимые результаты. Укажем, например, книги В.С.Рябенького и А.Ф.Филиппова, Р.Рихтмайера и К.Мортона, С.К.Годунова и В.С.Рябенького, в которых рассматриваются вопросы устойчивости и приведена соответствующая литература.

Для чтения данной книги желательно знакомство с элементами теории разностных схем (например, в объеме первых двух глав книги А.А.Самарского). Предполагается также, что читатель знаком с постановками типичных задач математической физики, например, в объеме книги А.Н.Тихонова и А.А.Самарского. Необходимые сведения из функционального анализа можно найти в первых главах книг Л.В.Канторовича и Г.П.Акилова и Л.А.Люстерника и В.И.Соболева.

Авторы выражают благодарность И.В.Фрязинову за обсуждение ряда вопросов, связанных с проблематикой этой книги.

Об авторах

Род. в 1919 г. Академик РАН, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР, лауреат Государственной премии Российской Федерации. Заслуженный профессор МГУ им. М. В. Ломоносова. Научный руководитель Института математического моделирования РАН, заведующий кафедрой вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Выдающийся ученый, крупнейший специалист в области вычислительной математики и математической физики, один из основоположников современной методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Опубликовал около 500 научных работ, из них более 20 монографий и учебных пособий, в том числе: "Уравнения математической физики" (М.,1999, 6-е изд., соавт. А. Н. Тихонов), "Теория разностных схем" (М., 1989, 3-е изд.).

Алексей Владимирович Гулин

Род. в 1942 г. Профессор кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова, заслуженный профессор Московского университета. Область научных интересов связана с исследованием численных методов решения задач математической физики, в особенности с теорией устойчивости разностных схем. Автор более 100 научных работ, в том числе учебных пособий (в соавторстве с А. А. Самарским) "Численные методы" (М., 1989) и "Численные методы математической физики" (М., 2003, 2-е изд.).