Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача Изд. стереотип.

2020. 784 с.

Белая офсетная бумага

Твердый переплет
Другой вариант 1399 р. ››

Аннотация

Книга посвящена методам исследования проблем теплопередачи современными численными методами. Описаны основные подходы к аналитическому исследованию математических моделей теплопередачи традиционными средствами прикладной математики. Рассматриваются численные методы приближенного решения стационарных и нестационарных многомерных задач теплопроводности. Большое внимание уделяется задачам с фазовыми превращениями, задачам термоупругости и теплообмена... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие
1	Введение
	1.1.	Математическое моделирование
	1.2.	Применение компьютеров при математическом моделировании
	1.3.	Вычислительный эксперимент
	1.4.	Численное моделирование процессов теплопередачи
2	Математические модели теплофизики
	2.1.	Теплопроводность твердых тел
		2.1.1.	Уравнение теплопроводности
		2.1.2.	Криволинейные ортогональные системы координат
		2.1.3.	Анизотропные среды
		2.1.4.	Гиперболическое уравнение теплопроводности
		2.1.5.	Задачи
	2.2.	Замыкающие соотношения
		2.2.1.	Начальные и краевые условия
		2.2.2.	Условия сопряжения
		2.2.3.	Прямые и обратные задачи для уравнения теплопроводности
		2.2.4.	Задачи оптимизации
		2.2.5.	Задачи
	2.3.	Фазовые превращения
		2.3.1.	Классическая задача Стефана
		2.3.2.	Обобщенная формулировка задачи Стефана
		2.3.3.	Квазистационарная задача Стефана
		2.3.4.	Фазовые переходы в многокомпонентных средах
		2.3.5.	Задачи
	2.4.	Конвективный теплообмен
		2.4.1.	Уравнения Навье–Стокса
		2.4.2.	Двумерные течения
		2.4.3.	Свободная конвекция
		2.4.4.	Другие модели
		2.4.5.	Задачи
	2.5.	Тепловое излучение твердых тел
		2.5.1.	Основные положения теплообмена излучением
		2.5.2.	Граничные задачи теплообмена с учетом излучения
		2.5.3.	Теплообмен между телами
		2.5.4.	Задачи
	2.6.	Термоупругость
		2.6.1.	Основные уравнения термоупругости
		2.6.2.	Специальное представление уравнений Ламе
		2.6.3.	Плоские задачи
		2.6.4.	Тонкие пластины
		2.6.5.	Задачи
	2.7.	Библиография и комментарий
		2.7.1.	Общие замечания
		2.7.2.	Литература
3	Аналитические методы теплопроводности
	3.1.	Безразмерный анализ
		3.1.1.	Общие соображения и модельная задача
		3.1.2.	Обезразмеривание задачи
		3.1.3.	Параметрический анализ задачи
		3.1.4.	Задачи
	3.2.	Аналитические решения линейных задач
		3.2.1.	Метод разделения переменных
		3.2.2.	Метод функций Грина
		3.2.3.	Интегральные преобразования
		3.2.4.	Задачи
	3.3.	Точные решения нелинейных задач
		3.3.1.	Функциональные преобразования нелинейных задач
		3.3.2.	Преобразования независимых переменных
		3.3.3.	Общие преобразования
		3.3.4.	Задачи
	3.4.	Асимптотические методы теплопроводности
		3.4.1.	Регулярный режим теплопроводности
		3.4.2.	Методы возмущений
		3.4.3.	Распространение тепла в тонких телах
		3.4.4.	Теплопроводность композиционных материалов
		3.4.5.	Задачи
	3.5.	Библиография и комментарий
		3.5.1.	Общие замечания
		3.5.2.	Литература
4	Стационарные задачи теплопроводности
	4.1.	Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка
		4.1.1.	Линейное стационарное уравнение теплопроводности
		4.1.2.	Принцип максимума
		4.1.3.	Задачи стационарной теплопроводности в гильбертовом пространстве
		4.1.4.	Априорные оценки в гильбертовых пространствах
		4.1.5.	Задачи
	4.2.	Построение разностных схем
		4.2.1.	Приближенное решение краевых задач
		4.2.2.	Основные понятия теории разностных схем
		4.2.3.	Простейшие разностные операторы
		4.2.4.	Метод непосредственной аппроксимации
		4.2.5.	Консервативные схемы
		4.2.6.	Интегро-интерполяционный метод
		4.2.7.	Разностные схемы метода конечных элементов
		4.2.8.	Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации
		4.2.9.	Задачи
	4.3.	Равномерная сходимость разностных схем
		4.3.1.	Каноническая форма разностного уравнения
		4.3.2.	Принцип максимума
		4.3.3.	Однозначная разрешимость разностных задач
		4.3.4.	Теоремы сравнения
		4.3.5.	Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
		4.3.6.	Третья краевая задача
		4.3.7.	Задачи
	4.4.	Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве
		4.4.1.	Уравнения в конечномерном гильбертовом пространстве
		4.4.2.	Некоторые разностные соотношения
		4.4.3.	Априорные оценки и сходимость разностной задачи Дирихле
		4.4.4.	Неравномерные сетки и разрывные коэффициенты
		4.4.5.	Граничные условия третьего рода
		4.4.6.	Задачи
	4.5.	Прямые методы решения сеточных уравнений
		4.5.1.	Методы решения систем линейных уравнений
		4.5.2.	Метод прогонки
		4.5.3.	Двумерная задача
		4.5.4.	Метод разделения переменных
		4.5.5.	Задачи
	4.6.	Итерационные методы линейной алгебры
		4.6.1.	Основные понятия
		4.6.2.	Метод простой итерации
		4.6.3.	Чебышевский набор итерационных параметров
		4.6.4.	Метод переменных направлений
		4.6.5.	Двухслойные методы вариационного типа
		4.6.6.	Метод сопряженных градиентов
		4.6.7.	Задачи
	4.7.	Итерационные методы решения сеточных уравнений
		4.7.1.	Разностная задача стационарной теплопроводности
		4.7.2.	Двухслойный итерационный метод
		4.7.3.	Диагональный оператор B
		4.7.4.	Треугольные итерационные методы
		4.7.5.	Попеременно-треугольные методы
		4.7.6.	Задачи
	4.8.	Численное решение задач в нерегулярных областях
		4.8.1.	Криволинейные ортогональные координаты
		4.8.2.	Нерегулярные сетки
		4.8.3.	Метод фиктивных областей
		4.8.4.	Методы декомпозиции без наложения подобластей
		4.8.5.	Методы декомпозиции с наложением подобластей
		4.8.6.	Задачи
	4.9.	Нелинейные задачи стационарной теплопроводности
		4.9.1.	Краевая задача для квазилинейного уравнения
		4.9.2.	Разностные схемы
		4.9.3.	Сходимость простейшей разностной схемы
		4.9.4.	Итерационное решение нелинейной сеточной задачи
		4.9.5.	Сходимость итерационных методов
		4.9.6.	Задачи
	4.10.	Библиография и комментарий
		4.10.1.	Общие замечания
		4.10.2.	Литература
5	Нестационарные задачи теплопроводности
	5.1.	Краевые задачи для параболических уравнений второго порядка
		5.1.1.	Линейное нестационарное уравнение теплопроводности
		5.1.2.	Принцип максимума
		5.1.3.	Операторная формулировка задач нестационарной теплопроводности
		5.1.4.	Задачи
	5.2.	Разностные схемы для нестационарных задач
		5.2.1.	Многослойные разностные схемы
		5.2.2.	Каноническая форма двух- и трехслойных разностных схем
		5.2.3.	Устойчивость двухслойных разностных схем
		5.2.4.	Связь устойчивости по правой части с устойчивостью по начальным данным
		5.2.5.	Запись трехслойной схемы в виде двухслойной
		5.2.6.	Сходимость разностных схем для нестационарных задач
		5.2.7.	Задачи
	5.3.	Равномерная сходимость разностных схем для уравнения теплопроводности
		5.3.1.	Разностные схемы для уравнения теплопроводности
		5.3.2.	Погрешность аппроксимации схем с весами
		5.3.3.	Принцип максимума
		5.3.4.	Сходимость разностной схемы
		5.3.5.	Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности
		5.3.6.	Задачи
	5.4.	Теория устойчивости разностных схем
		5.4.1.	Необходимые и достаточные условия устойчивости
		5.4.2.	rho-устойчивость разностных схем
		5.4.3.	Устойчивость по правой части
		5.4.4.	Устойчивость трехслойных разностных схем
		5.4.5.	rho-устойчивость трехслойных схем
		5.4.6.	Устойчивость трехслойных схем по правой части
		5.4.7.	Задачи
	5.5.	Устойчивость и сходимость разностных схем для уравнения теплопроводности
		5.5.1.	Устойчивость двухслойных схем с весами
		5.5.2.	Точность двухслойных разностных схем
		5.5.3.	Трехслойные схемы с весами
		5.5.4.	Задачи
	5.6.	Асимптотическая устойчивость разностных схем для уравнения теплопроводности
		5.6.1.	Асимптотическая устойчивость
		5.6.2.	Двухслойные схемы
		5.6.3.	Трехслойные схемы
		5.6.4.	Задачи
	5.7.	Гиперболическое уравнение теплопроводности
		5.7.1.	Дифференциальная задача
		5.7.2.	Устойчивость схем с весами
		5.7.3.	Симметричные схемы
		5.7.4.	Задачи
	5.8.	Регуляризация разностных схем
		5.8.1.	Принцип регуляризации
		5.8.2.	Регуляризация двухслойных разностных схем
		5.8.3.	Энергетически эквивалентные регуляризаторы
		5.8.4.	Регуляризация трехслойных схем
		5.8.5.	Задачи
	5.9.	Нелинейные нестационарные задачи
		5.9.1.	Квазилинейное уравнение теплопроводности
		5.9.2.	Линеаризованные разностные схемы
		5.9.3.	Нелинейные разностные схемы
		5.9.4.	Итерационная реализация неявных схем
		5.9.5.	Точность разностных схем
		5.9.6.	Задачи
	5.10.	Библиография и комментарий
		5.10.1.	Общие замечания
		5.10.2.	Литература
6	Экономичные разностные схемы нестационарной теплопроводности
	6.1.	Вычислительная реализация неявных схем
		6.1.1.	Сеточная эллиптическая задача
		6.1.2.	Явный итерационный метод
		6.1.3.	Итерационный метод переменных направлений
		6.1.4.	Попеременно-треугольный метод
		6.1.5.	Итерационные методы с эллиптическим оператором B
		6.1.6.	Задачи
	6.2.	Метод переменных направлений
		6.2.1.	Продольно-поперечные разностные схемы для уравнения теплопроводности
		6.2.2.	Устойчивость схемы переменных направлений
		6.2.3.	Точность схем переменных направлений
		6.2.4.	Другие схемы переменных направлений
		6.2.5.	Задачи
	6.3.	Факторизованные разностные схемы для уравнения теплопроводности
		6.3.1.	Факторизованные схемы
		6.3.2.	Устойчивость факторизованных схем
		6.3.3.	Принцип регуляризации для построения факторизованных схем
		6.3.4.	Трехслойные факторизованные схемы
		6.3.5.	Задачи
	6.4.	Аддитивные разностные схемы
		6.4.1.	Аддитивное расщепление оператора теплопроводности
		6.4.2.	Промежуточные задачи
		6.4.3.	Понятие суммарной аппроксимации
		6.4.4.	Аддитивные разностные схемы
		6.4.5.	Априорные оценки для аддитивных разностных схем
		6.4.6.	Задачи
	6.5.	Локально-одномерные разностные схемы
		6.5.1.	Локально-одномерные схемы для уравнения теплопроводности
		6.5.2.	Сходимость локально-одномерной схемы
		6.5.3.	Сходимость в равномерной норме
		6.5.4.	Аддитивно-усредненные разностные схемы
		6.5.5.	Задачи
	6.6.	Библиография и комментарий
		6.6.1.	Общие замечания
		6.6.2.	Литература
7	Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
	7.1.	Методы с выделением границы фазового перехода
		7.1.1.	Модельная однофазная одномерная задача Стефана
		7.1.2.	Ловля фронта в узел пространственной сетки
		7.1.3.	Метод выпрямления фронта
		7.1.4.	Выпрямление фронта в двумерной задаче
		7.1.5.	Общее преобразование независимых переменных
		7.1.6.	Задачи
	7.2.	Методы сквозного счета
		7.2.1.	Двухфазная задача Стефана
		7.2.2.	Разностная схема со сглаженными коэффициентами
		7.2.3.	Экономичные схемы
		7.2.4.	Энтальпийная формулировка задачи Стефана
		7.2.5.	Комбинированные алгоритмы
		7.2.6.	Задачи
	7.3.	Преобразование зависимых переменных
		7.3.1.	Однофазная задача Стефана
		7.3.2.	Преобразование Дюво
		7.3.3.	Метод штрафа
		7.3.4.	Разностные схемы метода штрафа
		7.3.5.	Задачи
	7.4.	Квазистационарная задача Стефана
		7.4.1.	Двумерная модельная задача
		7.4.2.	Алгоритмы сквозного счета
		7.4.3.	Выделение границы фазового перехода
		7.4.4.	Однофазная задача
		7.4.5.	Введение новой неизвестной
		7.4.6.	Обращение переменных
		7.4.7.	Задачи
	7.5.	Моделирование фазовых переходов в бинарных сплавах
		7.5.1.	Двухфазная зона
		7.5.2.	Кристаллизация без перераспределения примеси
		7.5.3.	Термодиффузионная задача Стефана
		7.5.4.	Численное решение термодиффузионной задачи
		7.5.5.	Задачи
	7.6.	Библиография и комментарий
		7.6.1.	Общие замечания
		7.6.2.	Литература
8	Теплообмен излучением
	8.1.	Стационарное излучение выпуклых тел
		8.1.1.	Модельная задача
		8.1.2.	Разностная задача
		8.1.3.	О сходимости разностной схемы
		8.1.4.	Решение сеточных задач
		8.1.5.	Задачи
	8.2.	Нестационарные задачи излучения
		8.2.1.	Двумерная задача для выпуклых тел
		8.2.2.	Разностная схема
		8.2.3.	Экономичные схемы
		8.2.4.	Задачи
	8.3.	Теплообмен излучением при заданных температурах
		8.3.1.	Задача теплообмена с учетом переизлучения
		8.3.2.	Интегральное уравнение теплообмена излучением
		8.3.3.	Дискретная задача
		8.3.4.	Решение системы уравнений
		8.3.5.	Задачи
	8.4.	Теплоперенос излучением и теплопроводностью
		8.4.1.	Согласованная задача теплообмена излучением и теплопроводностью
		8.4.2.	Сеточная задача
		8.4.3.	Итерационные методы решения задачи
		8.4.4.	Нестационарная задача
		8.4.5.	Разностные схемы
		8.4.6.	Задачи
	8.5.	Библиография и комментарий
		8.5.1.	Общие замечания
		8.5.2.	Литература
9	Конвективный теплообмен
	9.1.	Разностные схемы для стационарных задач теплопроводности с конвекцией
		9.1.1.	Уравнение теплопроводности с конвекцией
		9.1.2.	Монотонные разностные схемы для одномерной задачи
		9.1.3.	Принцип регуляризации для построения монотонных разностных схем
		9.1.4.	Монотонные схемы для многомерных задач
		9.1.5.	Одномерная задача с дивергентным оператором
		9.1.6.	Безусловно монотонные схемы
		9.1.7.	Многомерное дивергентное уравнение
		9.1.8.	Задачи
	9.2.	Итерационные методы решения задач теплопроводности с конвекцией
		9.2.1.	Основные свойства разностных операторов конвективного переноса
		9.2.2.	Итерационные методы решения сеточной задачи
		9.2.3.	Метод простой итерации
		9.2.4.	Метод минимальных поправок
		9.2.5.	Выбор оператора B
		9.2.6.	Метод переменных направлений
		9.2.7.	Задачи
	9.3.	Нестационарные задачи конвективного переноса тепла
		9.3.1.	Нестационарные задачи теплопроводности с конвекцией
		9.3.2.	Дифференциально-разностная задача
		9.3.3.	Разностные схемы с весами
		9.3.4.	Явно-неявные схемы
		9.3.5.	Монотонные схемы
		9.3.6.	Схема расщепления по физическим процессам
		9.3.7.	Экономичные схемы для многомерных задач
		9.3.8.	Задачи
	9.4.	Нестационарные задачи естественной конвекции
		9.4.1.	Задача конвекции в естественных переменных
		9.4.2.	Дифференциально-разностная задача
		9.4.3.	Простейшая разностная схема
		9.4.4.	Неявные разностные схемы
		9.4.5.	Схема расщепления
		9.4.6.	Задачи
	9.5.	Задачи конвекции в переменных "функция тока, вихрь скорости, температура"
		9.5.1.	Постановка задачи
		9.5.2.	Одномерная задача для уравнения четвертого порядка
		9.5.3.	Аппроксимация по пространству в задаче конвекции
		9.5.4.	Разностные схемы
		9.5.5.	Безытерационная реализация граничных условий для вихря скорости
		9.5.6.	Устойчивые линеаризованные схемы
		9.5.7.	Задачи
	9.6.	Задачи тепло- и массопереноса с фазовыми превращениями
		9.6.1.	Задача Стефана с учетом движения расплава
		9.6.2.	Методы с выделением границы фазового перехода
		9.6.3.	Методы сквозного счета в естественных переменных
		9.6.4.	Метод фиктивных областей в переменных "функция тока, вихрь скорости"
		9.6.5.	Вычислительная реализация метода фиктивных областей
		9.6.6.	Задачи
	9.7.	Приближение пограничного слоя
		9.7.1.	Течение на начальном участке канала
		9.7.2.	Разностная схема
		9.7.3.	Аналог переменных "функция тока, вихрь скорости"
		9.7.4.	Переменные Мизеса
		9.7.5.	Задачи
	9.8.	Библиография и комментарий
		9.8.1.	Общие замечания
		9.8.2.	Литература
10	Задачи термоупругости
	10.1.	Равновесие нагретого упругого тела
		10.1.1.	Плоская задача
		10.1.2.	Разностная схема
		10.1.3.	Сходимость разностной схемы
		10.1.4.	Регуляризованные итерационные методы
		10.1.5.	Задачи
	10.2.	Динамическая задача термоупругости
		10.2.1.	Нестационарная двумерная задача
		10.2.2.	Дифференциально-разностная задача
		10.2.3.	Разностные схемы с весами
		10.2.4.	Регуляризованные схемы
		10.2.5.	Экономичные схемы
		10.2.6.	Задачи
	10.3.	Термоупругие напряжения в пластинах
		10.3.1.	Равновесие неравномерно нагретой пластины
		10.3.2.	Разностная задача
		10.3.3.	Прямой метод решения сеточной задачи
		10.3.4.	Итерационное уточнение граничного условия
		10.3.5.	Регуляризованные итерационные методы
		10.3.6.	Задачи
	10.4.	Колебания пластин
		10.4.1.	Динамическая задача термоупругости
		10.4.2.	Дифференциально-разностная задача
		10.4.3.	Схемы с весами
		10.4.4.	Регуляризованные схемы
		10.4.5.	Экономичные схемы
		10.4.6.	Задачи
	10.5.	Библиография и комментарий
		10.5.1.	Общие замечания
		10.5.2.	Литература
11	Задачи управления тепловыми процессами
	11.1.	Численные методы решения вариационных задач
		11.1.1.	Вариационная формулировка краевых задач
		11.1.2.	Задачи управления
		11.1.3.	Условия оптимальности
		11.1.4.	Численное решение задач без ограничений
		11.1.5.	Решение задач оптимизации с ограничениями
		11.1.6.	Метод штрафа
		11.1.7.	Задачи
	11.2.	Управление источниками в стационарных задачах теплопроводности
		11.2.1.	Задачи термостатирования
		11.2.2.	Градиент функционала
		11.2.3.	Разностная задача
		11.2.4.	Решение сеточной задачи
		11.2.5.	Градиентный метод
		11.2.6.	Задачи управления с ограничениями
		11.2.7.	Задачи с геометрическими ограничениями
		11.2.8.	Точечное управление
		11.2.9.	Задачи
	11.3.	Управление источниками в нестационарных задачах
		11.3.1.	Нестационарная задача термостатирования
		11.3.2.	Условия оптимальности
		11.3.3.	Разностная задача
		11.3.4.	Итерационный метод
		11.3.5.	Другие задачи управления
		11.3.6.	Задачи
	11.4.	Управление граничными режимами
		11.4.1.	Управление тепловым потоком на границе
		11.4.2.	Разностная задача
		11.4.3.	Управление температурой
		11.4.4.	Граничный контроль
		11.4.5.	Нестационарные задачи
		11.4.6.	Задачи
	11.5.	Задачи оптимального нагрева
		11.5.1.	Задача оптимизации конечного температурного состояния
		11.5.2.	Разностная задача
		11.5.3.	Экономичные схемы
		11.5.4.	Граничное управление
		11.5.5.	Упрощенная оптимизация
		11.5.6.	Задачи
	11.6.	Библиография и комментарий
		11.6.1.	Общие замечания
		11.6.2.	Литература
12	Обратные задачи теплообмена
	12.1.	Приближенное решение обратных задач математической физики
		12.1.1.	Основные классы обратных задач
		12.1.2.	Основные подходы к приближенному решению некорректных задач
		12.1.3.	Выбор параметра регуляризации
		12.1.4.	Вариационные методы решения обратных задач математической физики
		12.1.5.	Возмущенные краевые задачи
		12.1.6.	Задачи
	12.2.	Ретроспективная обратная задача теплообмена
		12.2.1.	Условная корректность
		12.2.2.	Метод квазиобращения
		12.2.3.	Разностные схемы метода квазиобращения
		12.2.4.	Регуляризованные разностные схемы
		12.2.5.	Вариационные методы и нелокальное возмущение начального условия
		12.2.6.	Задачи
	12.3.	Стационарная граничная обратная задача
		12.3.1.	Модельная задача
		12.3.2.	Метод квазиобращения
		12.3.3.	Разностные схемы метода квазиобращения
		12.3.4.	Регуляризованные схемы
		12.3.5.	Нелокальное возмущение начальных условий
		12.3.6.	Задачи
	12.4.	Нестационарная граничная обратная задача
		12.4.1.	Постановка задачи
		12.4.2.	Метод квазиобращения
		12.4.3.	Продолжение по пространственной переменной
		12.4.4.	Задачи
	12.5.	Коэффициентные обратные задачи теплообмена
		12.5.1.	Модельная задача
		12.5.2.	Параметрическая идентификация
		12.5.3.	Пошаговая идентификация
		12.5.4.	Упрощенный итерационный метод
		12.5.5.	Задачи
	12.6.	Библиография и комментарий
		12.6.1.	Общие замечания
		12.6.2.	Литература
13	Примеры численного моделирования теплофизических процессов
	13.1.	Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле
		13.1.1.	Постановка задачи
		13.1.2.	Задача в безразмерных переменных
		13.1.3.	Разностная задача
		13.1.4.	Итерационное решение сеточной задачи
		13.1.5.	Программа
		13.1.6.	Примеры расчетов
		13.1.7.	Задачи
	13.2.	Затвердевание расплава в полости прямоугольной формы
		13.2.1.	Постановка задачи
		13.2.2.	Разностная схема
		13.2.3.	Программа
		13.2.4.	Примеры расчетов
		13.2.5.	Задачи
	13.3.	Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением
		13.3.1.	Постановка задачи
		13.3.2.	Разностная задача
		13.3.3.	Численное решение интегрального уравнения
		13.3.4.	Программа и примеры расчетов
		13.3.5.	Задачи
	13.4.	Конвекция в полости квадратного сечения с боковым подогревом
		13.4.1.	Постановка задачи
		13.4.2.	Задача в переменных "функция тока, вихрь скорости, температура"
		13.4.3.	Разностная схема
		13.4.4.	Решения сеточных эллиптических задач
		13.4.5.	Программа
		13.4.6.	Примеры расчетов
		13.4.7.	Задачи
	13.5.	Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения
		13.5.1.	Плоская задача
		13.5.2.	Разностная схема
		13.5.3.	Итерационный метод
		13.5.4.	Примеры расчетов
		13.5.5.	Задачи
	13.6.	Расчет термостата
		13.6.1.	Постановка задачи
		13.6.2.	Разностная задача
		13.6.3.	Алгоритм решения задачи
		13.6.4.	Примеры расчетов
		13.6.5.	Задачи
	13.7.	Восстановление внешних тепловых нагрузок
		13.7.1.	Постановка задачи
		13.7.2.	Нелокальное возмущение граничных условий
		13.7.3.	Локально одномерная разностная схема
		13.7.4.	Сглаживание входных данных
		13.7.5.	Квазиреальный эксперимент
		13.7.6.	Программа и примеры расчетов
		13.7.7.	Задачи
	13.8.	Библиография и комментарий
		13.8.1.	Общие замечания
		13.8.2.	Литература
Приложение. Математический аппарат теории разностных схем
	Гильбертовы пространства
	Линейные операторы в конечномерном линейном пространстве
	Операторы в конечномерном гильбертовом пространстве
Предметный указатель

Предисловие

Книга посвящена вопросам математического моделирования и вычислительного эксперимента в проблемах теплопередачи. В настоящее время основные достижения в теоретических исследованиях связаны с использованием мощных вычислительных средств (компьютера и численных методов), в то время как традиционные аналитические методы прикладной математики носят вспомогательный характер. Сущность современного уровня прикладных теоретических исследований выражает триада вычислительного эксперимента – "модель–алгоритм–программа". Авторы ставили своей целью на примере широкой и хорошо проработанной области прикладных исследований – теплофизики – дать, по-возможности, цельное изложение современных методов прикладной математики, методологии вычислительного эксперимента.

Предлагаемая книга ориентирована прежде всего на специалистов, как настоящих, так и будущих, по математическому моделированию. Конкретная область прикладных исследований может лежать и далеко от собственно проблем теплопередачи. Проблемы теплопередачи, с одной стороны, имеют очень большое распространение, и их математические модели проработаны достаточно полно. С другой стороны, математические модели теплопередачи столь многообразны, что могут рассматриваться как наиболее характерные модели очень многих классов прикладных исследований.

По своему содержанию книга может рассматриваться как учебное пособие по курсам современного математического моделирования для студентов старших курсов. В зависимости от аудитории, возможна ориентация на теоретические либо на прикладные аспекты численных методов, выделение и углубленное изучение отдельных классов прикладных задач в рамках дополнительных и самостоятельных курсов.

Можно рассчитывать, что материал книги будет полезен и для исследователей, занимающихся проблемами прикладного численного моделирования. Это связано с тем, что в значительной своей части книга содержит материал, который еще не публиковался в монографической и учебной литературе.

Изложение базируется на использовании математического аппарата, который обычно излагается студентам факультетов прикладной математики. Основой математического аппарата служат элементы теории операторов в конечномерных гильбертовых пространствах. Такой математический аппарат, в определенном смысле, является минимальным для сколько-нибудь строгого и последовательного изложения теории численных методов решения задач математической физики.

Авторы рассчитывают на то, что книга будет полезна и при подготовке студентов инженерных специальностей. Поэтому в книге основной упор сделан на алгоритмическую сторону численных методов, именно под этим углом зрения проводится отбор и изложение материала. Цели ориентации на такого массового читателя служит описание результатов некоторых специально выполненных расчетов с приведением демонстрационных программ для компьютера.

Имеется ряд книг по численному моделированию различных проблем теплопередачи, ориентированных на лиц с инженерной подготовкой. В этих книгах инженерный уровень изложения материала достигается за счет рассмотрения лишь простейших, элементарных положений вычислительной математики, которые часто дополняются множественными ссылками на оригинальные работы без какого-либо их анализа. Мы в своей книге стремились к не столь легковесному, а к более адекватному отражению достигнутого уровня развития теории и практики численных методов. На этом несколько более повышенном математическом уровне необходимо вести подготовку специалистов в прикладных областях.

В настоящее время массовыми стали расчеты по численному решению двумерных нестационарных нелинейных задач для уравнений математической физики. Поэтому при выборе базовых, основных математических моделей мы ориентировались именно на хорошо освоенные вычислительной практикой двумерные задачи, хотя и для простейших расчетных областей. Рассматриваемые вычислительные алгоритмы являются основой для оригинальных исследований более сложных задач.

Среди важнейших классов прикладных задач мы выделили задачи управления и обратные задачи теплообмена. Как нам представляется, предлагаемая книга является в настоящее время единственной, в которой представлены с необходимой полнотой все три основные класса задач математической физики – прямые задачи, задачи управления и обратные задачи для уравнений с частными производными.

Теория численных методов приближенного решения задач математической физики развивается в нескольких направлениях. Прежде всего можно отметить конечно-разностные методы и метод конечных элементов. В данной работе в качестве основы выбраны разностные методы. Различие подходов проявляется на этапе построения дискретной задачи – алгебраической системы уравнений. Кроме того, мы в основном рассматриваем задачи в регулярных областях и на регулярных сетках, где различия метода конечных элементов и разностных методов если и есть, то они непринципиальны. Дополнительные соображения в пользу разностных методов связаны с имеющейся вычислительной практикой решения нестационарных нелинейных задач для уравнений с частными производными, в частности, в проблемах тепло- и массопереноса.

Настоящая книга касается различных частей прикладного математического исследования. Введение (глава 1) посвящено общему описанию проблем прикладного математического моделирования, использованию вычислительных средств. В главе 2 дается конспективное описание математических моделей теплофизики, основных типов задач. При отборе материала мы ориентировались на описание процессов тепломассообмена с участием твердой фазы. Поэтому, например, важные прикладные проблемы теплообмена излучением рассматриваются лишь в приближении поверхностного излучения и т.д.

Исследование прикладной проблемы начинается с применения традиционных (аналитических) методов прикладной математики. Особое внимание здесь уделяется вопросам получения решений упрощенных задач. В главе 3 приведены иллюстративные примеры использования аналитических методов при исследовании типичных проблем теплопередачи.

Главы 4–6 по своему содержанию являются центральными и касаются различных аспектов численного решения классических задач теплопроводности разностными методами.

Вопросы численного решения стационарных задач теплопроводности рассматриваются в главе 4. При изложении материала мы начинаем с напоминания некоторых основных результатов теории уравнений с частными производными. В частности, для стационарных уравнений формулируется классический принцип максимума, который имеет естественную теплофизическую интерпретацию. При построении дискретных аналогов мы ориентируемся на то, чтобы разностные уравнения наследовали основные свойства дифференциальной задачи. Рассматриваются вопросы построения разностных схем для стационарных задач, излагаются прямые и итерационные методы для нахождения приближенного решения.

Тот же комплекс вопросов рассмотрен в главе 5 для нестационарных задач. Здесь необходимо обратить особое внимание на общую теорию устойчивости разностных схем. Исследование конкретных схем сводится к проверке необходимых и достаточных условий в виде простейших операторных неравенств. Различные классы экономичных разностных схем (переменных направлений, локально-одномерных и т.д.) рассматриваются в главе 6.

Главы 7–10 касаются вопросов численного моделирования специальных проблем теплообмена. Изложение базируется на использовании ранее разработанных разностных методов решения стационарных и нестационарных задач теплопроводности. Глава 7 посвящена задачам теплопроводности с фазовыми превращениями с участием твердой фазы. Рассматриваются задачи в классической постановке Стефана, затрагиваются вопросы моделирования плавления/кристаллизации бинарных сплавов. Особенности задач теплообмена излучением с поверхности твердого тела исследуются в главе 8. При моделировании процессов теплообмена в невыпуклом теле приходиться учитывать влияние излучения с отдельных участков границы.

Важнейший класс задач теплообмена связан с конвективным переносом тепла (глава 9). Для таких задач строятся общие классы монотонных разностных схем, для которых выполнен принцип максимума. Задачи тепло- и массопереноса рассматриваются в приближении Буссинеска. Обсуждаются вопросы численного решения таких задач на основе естественных переменных "давление, скорость" и переменных "функция тока, вихрь скорости" в приближении пограничного слоя. В главе 10 численные методы применяются для приближенного решения задач термоупругости. В качестве модельных рассмотрены задачи расчета термоупругого состояния твердого тела прямоугольного сечения и тонкой пластины.

Задачи управления тепловыми процессами рассмотрены в главе 11. Дается краткое описание градиентных методов итерационного решения вариационных задач, на основе которых строятся численные методы решения задач управления. Выделены классы задач управления распределенными источниками тепла в стационарной и нестационарной постановках при различных критериях (функционалах) качества. Второй важный прикладной класс составляют задачи управления граничными температурными режимами.

Основные классы обратных задач для уравнения теплопроводности обсуждаются в главе 12. Рассматриваются вопросы приближенного решения задач теплопроводности, когда восстанавливаются начальные условия, граничные режимы или коэффициенты уравнения. Обсуждаются вопросы устойчивого решения на основе возмущений исходных дифференциальных (метод квазиобращения), а также разностных (регуляризация разностных схем) уравнений.

Глава 13 касается вопросов конкретного численного моделирования на основе описываемых ранее методов на примере содержательных модельных двумерных задач теплопередачи. Изложение начинается с постановки задачи и выделения безразмерных определяющих параметров задачи. Дается достаточно подробное описание вычислительного алгоритма и программы на ФОРТРАНе, приводятся примеры выполненных расчетов, а также распечатка самой программы.

В тексте работы за исключением разделов "Библиография и комментарий" фактически отсутствуют ссылки на другие работы. За счет расширения объема работы (как нам представляется, не очень существенного) основной материал излагается полностью. Этим облегчается достижение учебных целей.

В книге не делается даже попытки какого-либо систематического анализа имеющейся литературы по затрагиваемым проблемам. Приведены лишь ссылки на книги, которыми мы пользовались и которые могут служить целям более углубленного изучения отдельных вопросов. Ссылки на оригинальные работы отсутствуют по различным причинам. Выбор из огромного множества отдельных работ в любом случае отражает субъективные взгляды авторов, требует решения вопросов приоритетности тех или иных исследований и т.д. В частности, при подготовке расширенной библиографии для авторов был бы естественен крен в сторону русскоязычной литературы.

Работа над книгой велась в стимулирующей и творческой атмосфере на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова и в Институте математического моделирования Российской академии наук. Мы благодарны коллегам и ученикам за помощь и участие на различных этапах работы над книгой. Особенно признательны авторы М.М.Макарову, который взял на себя труд подготовки всех приведенных в книге программ для компьютера.

Понимая всю сложность работы, неизбежные недоработки, авторы заранее благодарят за критические замечания и предложения по проблематике этой книги.

Предлагаемая книга впервые вышла в свет в 1995 г. Она была опубликована на английском языке издательством Wiley под названием Computational Heat Transfer (vol.1 – Mathematical Modelling, vol.2 – The Finite Difference Methodology). В то время мы не имели никаких финансовых возможностей для ее публикации на русском языке.

А.А.Самарский, П.Н.Вабищевич

Об авторах

Самарский Александр Андреевич

Академик РАН, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР, лауреат Государственной премии Российской Федерации. Заслуженный профессор МГУ имени М. В. Ломоносова. Научный руководитель Института математического моделирования РАН, заведующий кафедрой вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Выдающийся ученый, крупнейший специалист в области вычислительной математики и математической физики, один из основоположников современной методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Опубликовал около 500 научных работ, из них более 20 монографий и учебных пособий, в том числе: «Уравнения математической физики» (М.,1999, 6-е изд., соавт. А. Н. Тихонов), «Теория разностных схем» (М., 1989, 3-е изд.).

Вабищевич Петр Николаевич

Доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области вычислительной математики и математического моделирования. Работает в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова и Северо-Восточном федеральном университете имени М. К. Аммосова (г. Якутск). П. Н. Вабищевич разработал новые эффективные вычислительные алгоритмы для численного решения многомерных задач математической физики, внёс большой вклад в разработку методов численного решения обратных задач математической физики. Созданные им методы применяются при решении прикладных проблем механики сплошной среды, тепло- и массопереноса. Автор более 300 научных работ, в том числе нескольких монографий и учебных пособий, обладатель более 10 патентов РФ.