Глава 1. От элементарного анализа к элементарной топологии . . . . . . . . . .. 11 § 1. Элементы вещественного анализа . . . . . . . . . . . 11 1.1. Строгая теория вещественных чисел и здравый смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Теорема о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Следствие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 § 2. Метрика, норма, топология . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1. Векторное пространство . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Норма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Свойства метрических пространств . . . . . . . 29 2.5. Топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6. Отделимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.7. Согласованность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.8. Примеры и комментарии . . . . . . . . . . . . . . 39 2.9. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Глава 2. Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . 45 § 1. Основные понятия и обозначения . . . . . . . . . . . 45 1.1. Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.2. Устойчивые обозначения . . . . . . . . . . . . . . 53 1.3. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 § 2. Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1. Простейшие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2. Рациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3. Общие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 § 3. Несчетность отрезка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1. Несколько доказательств . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 § 4. Раздельно полиномиальные функции — 1 . . . . . . 71 4.1. Постановка вопроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2. Линейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3. Полиномы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 § 5. Сравнение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1. Множество частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2. Общий метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.3. Сравнимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 § 6. Порядки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.1. Понятие порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.2. Типы порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.4. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.5. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 § 7. Некоторые следствия принципа Хаусдорфа . . . . . 89 7.1. Принцип Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2. О доказательстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.3. Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.4. Мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.5. Базис Хамеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.6. Квадрат множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.7. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 § 8. Обоснование принципа Хаусдорфа . . . . . . . . . . 99 8.1. Основная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.2. Вывод теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.3. Доказательство леммы . . . . . . . . . . . . . . . . 100 § 9. Раздельно полиномиальные функции — 2 . . . . . . 103 9.1. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . 103 9.2. Векторные модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.3. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Глава 3. Мера и интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 § 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1.1. Кому это нужно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1.2. Краткое содержание . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 § 2. Меры на кольцах и полукольцах множеств . . . . . 116 2.1. Кольцо множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.2. σ-кольцо множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.3. Полукольцо стрелок . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.4. Расширение полукольца . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.5. Мера на полукольце . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.6. Счетная аддитивность . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.7. Прямое произведение мер . . . . . . . . . . . . . 127 2.8. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.9. Результаты Витали . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 § 3. Лебегово и жорданово продолжение мер . . . . . . . 134 3.1. Задача продолжения и сравнения мер . . . . . 134 3.2. Внешняя мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.3. Совпадения и σ-аддитивность . . . . . . . . . . 142 3.4. σ-аддитивность продолжения . . . . . . . . . . . 145 3.5. Жорданова мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 § 4. Измеримые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.1. Борелевские множества . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.2. Пространство с мерой . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.3. Измеримость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.4. Теорема Егорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.5. Измеримость борелевских функций . . . . . . . 157 § 5. Интеграл: определение и основные свойства . . . . 157 5.1. Простые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.2. Простые суммируемые функции . . . . . . . . . 160 5.3. Общие суммируемые функции . . . . . . . . . . 161 § 6. Интеграл Лебега: предельные переходы . . . . . . . 163 6.1. Теорема Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.2. Теорема Леви и лемма Фату . . . . . . . . . . . . 166 § 7. Произведение мер и теорема Фубини . . . . . . . . . 170 7.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.2. Произведение мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.3. Предварительные леммы . . . . . . . . . . . . . . 172 7.4. Теорема Фубини о сечениях . . . . . . . . . . . . 173 7.5. Основная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 § 8. Интеграл Стилтьеса и функции конечной вариации . . . . . . . . . . . . . 177 8.1. История вопроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.2. Определения и интегрирование по частям . . 179 8.3. Проблема существования . . . . . . . . . . . . . . 181 8.4. Проблема существования (продолжение) . . . . 184 8.5. Проблема существования (продолжение) . . . . 186 8.6. Комплексные функции . . . . . . . . . . . . . . . . 188 § 9. Теорема единственности для потенциалов . . . . . 191 9.1. Предыстория и цель . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 9.2. Конкретная проблема . . . . . . . . . . . . . . . . 192 9.3. Редукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.4. Одномерное уравнение(элементарные леммы) . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.5. Предварительная теорема . . . . . . . . . . . . . . 198 9.6. Бесконечность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.7. Шары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.8. Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Глава 4. Основы ТФКП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 § 1. Исходные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 1.1. Кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 1.2. Интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 § 2. Дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 2.1. Вещественная и комплексная дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . 209 2.2. Критерии C -дифференцируемости . . . . . . . . 211 § 3. Первые применения интеграла . . . . . . . . . . . . . 214 3.1. Формула Ньютона—Лейбница . . . . . . . . . . . 214 3.2. Однолистность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.3. Теорема Варшавского . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 § 4. Вокруг леммы Гурса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 4.1. Формальная подготовка . . . . . . . . . . . . . . . 220 4.2. Лемма Гурса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 § 5. Общие формы теорем Коши . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.1. Предварительные факты . . . . . . . . . . . . . . 229 5.2. Абстрактная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 5.3. Геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 § 6. Круговая полоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.1. Простейшая неодносвязность . . . . . . . . . . . 241 6.2. Редукция к звездам . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 § 7. Основные факты элементарного комплексного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 7.1. Гладкость аналитических функций . . . . . . . . 244 7.2. Принцип максимума модуля . . . . . . . . . . . . 245 7.3. Теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.4. Теорема Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . 248 § 8. Специальные ряды и их применения . . . . . . . . . 252 8.1. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 8.2. Формула Коши—Адамара . . . . . . . . . . . . . . 257 8.3. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 8.4. Простейшая теорема единственности . . . . . . 259 8.5. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.6. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . 265 8.7. Теорема Пикара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 § 9. Вычеты и их применения . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 9.1. Вычеты: определение и примеры . . . . . . . . . 272 9.2. Теорема Коши о вычетах . . . . . . . . . . . . . . 275 9.3. Примеры вычисления интегралов . . . . . . . . 276 9.4. Некоторые следствия теоремы о вычетах . . . 284 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Горин Евгений Алексеевич Доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области функционального, гармонического и комплексного анализа, а также теории дифференциальных уравнений с частными производными. Автор многочисленных научных статей, активный участник научных конференций и математических школ.
|
2023. 720 с. Твердый переплет. 21.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) 2023. 696 с. Твердый переплет в суперобложке. 119.9 EUR
Опираясь на новейшие исследования, историк Кристофер Кларк предлагает свежий взгляд на Первую мировую войну, сосредотачивая внимание не на полях сражений и кровопролитии, а на сложных событиях и отношениях, которые привели группу благонамеренных лидеров к жестокому конфликту. Кларк прослеживает... (Подробнее) URSS. 2024. 800 с. Мягкая обложка. 37.9 EUR
ВЕРСАЛЬ: ЖЕЛАННЫЙ МИР ИЛИ ПЛАН БУДУЩЕЙ ВОЙНЫ?. 224 стр. (ТВЁРДЫЙ ПЕРЕПЛЁТ) 11 ноября 1918 года в старом вагоне неподалеку от Компьеня было подписано перемирие, которое означало окончание Первой мировой войны. Через полгода, 28 июня 1919 года, был подписан Версальский договор — вердикт, возлагавший... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) URSS. 2024. 248 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
В книге изложены вопросы новой области современной медицины — «Anti-Ageing Medicine» (Медицина антистарения, или Антивозрастная медицина), которая совмещает глубокие фундаментальные исследования в биомедицине и широкие профилактические возможности практической медицины, а также современные общеоздоровительные... (Подробнее) URSS. 2024. 240 с. Твердый переплет. 23.9 EUR
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная крупным биологом и государственным деятелем Н.Н.Воронцовым, посвящена жизни и творчеству выдающегося ученого-математика, обогатившего советскую науку в области теории множеств, кибернетики и программирования — Алексея Андреевича Ляпунова. Книга написана... (Подробнее) 2023. 416 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Вам кажется, что экономика — это очень скучно? Тогда мы идем к вам! Вам даже не понадобится «стоп-слово», чтобы разобраться в заумных формулах — их в книге нет! Все проще, чем кажется. Автор подаст вам экономику под таким дерзким соусом, что вы проглотите ее не жуя! Вы получите необходимые... (Подробнее) |