Обложка Горин Е.А. Элементарная теория функций: От элементарного анализа к элементарной топологии. Элементы теории множеств. Мера и интеграл. Основы ТФКП
Id: 251778
785 руб.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ:
От элементарного АНАЛИЗА к элементарной ТОПОЛОГИИ. Элементы теории МНОЖЕСТВ. Мера и интеграл. Основы ТФКП
Элементарная теория функций: От элементарного анализа к элементарной топологии. Элементы теории множеств. Мера и интеграл. Основы ТФКП

URSS. 2019. 304 с. ISBN 978-5-9710-6791-7.
  • Твердый переплет
Белая офсетная бумага.

Аннотация

Вниманию читателей предлагается книга по элементарной теории функций, основанная на семестровых курсах лекций для студентов третьего курса математического факультета Московского педагогического государственного университета по теории множеств, теории меры и интеграла и по элементарной теории аналитических функций, а также на курсе Анализа-3 на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова. При чтении лекций автор всегда старался найти ...(Подробнее)прозрачные и короткие доказательства.

Книга может служить пособием для студентов математических специальностей университетов, для преподавателей и тех, кто самостоятельно изучает предмет. Преподаватели найдут в ней некоторые оригинальные доказательства и упражнения.


Содержание

Глава 1. От элементарного анализа к элементарной топологии . . . . . . . . . .. 11

§ 1. Элементы вещественного анализа . . . . . . . . . . . 11

1.1. Строгая теория вещественных чисел и здравый смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Теорема о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Следствие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

§ 2. Метрика, норма, топология . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1. Векторное пространство . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Норма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Свойства метрических пространств . . . . . . . 29

2.5. Топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6. Отделимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7. Согласованность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8. Примеры и комментарии . . . . . . . . . . . . . . 39

2.9. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Глава 2. Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . 45

§ 1. Основные понятия и обозначения . . . . . . . . . . . 45

1.1. Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.2. Устойчивые обозначения . . . . . . . . . . . . . . 53

1.3. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

§ 2. Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1. Простейшие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2. Рациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3. Общие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

§ 3. Несчетность отрезка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1. Несколько доказательств . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

§ 4. Раздельно полиномиальные функции — 1 . . . . . . 71

4.1. Постановка вопроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2. Линейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3. Полиномы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

§ 5. Сравнение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1. Множество частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2. Общий метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3. Сравнимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.4. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

§ 6. Порядки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.1. Понятие порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2. Типы порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

§ 7. Некоторые следствия принципа Хаусдорфа . . . . . 89

7.1. Принцип Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2. О доказательстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.3. Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.4. Мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.5. Базис Хамеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.6. Квадрат множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.7. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

§ 8. Обоснование принципа Хаусдорфа . . . . . . . . . . 99

8.1. Основная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.2. Вывод теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.3. Доказательство леммы . . . . . . . . . . . . . . . . 100

§ 9. Раздельно полиномиальные функции — 2 . . . . . . 103

9.1. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . 103

9.2. Векторные модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.3. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Глава 3. Мера и интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.1. Кому это нужно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.2. Краткое содержание . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

§ 2. Меры на кольцах и полукольцах множеств . . . . . 116

2.1. Кольцо множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.2. σ-кольцо множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.3. Полукольцо стрелок . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.4. Расширение полукольца . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.5. Мера на полукольце . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.6. Счетная аддитивность . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.7. Прямое произведение мер . . . . . . . . . . . . . 127

2.8. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2.9. Результаты Витали . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

§ 3. Лебегово и жорданово продолжение мер . . . . . . . 134

3.1. Задача продолжения и сравнения мер . . . . . 134

3.2. Внешняя мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.3. Совпадения и σ-аддитивность . . . . . . . . . . 142

3.4. σ-аддитивность продолжения . . . . . . . . . . . 145

3.5. Жорданова мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

§ 4. Измеримые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.1. Борелевские множества . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.2. Пространство с мерой . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.3. Измеримость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.4. Теорема Егорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.5. Измеримость борелевских функций . . . . . . . 157

§ 5. Интеграл: определение и основные свойства . . . . 157

5.1. Простые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.2. Простые суммируемые функции . . . . . . . . . 160

5.3. Общие суммируемые функции . . . . . . . . . . 161

§ 6. Интеграл Лебега: предельные переходы . . . . . . . 163

6.1. Теорема Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.2. Теорема Леви и лемма Фату . . . . . . . . . . . . 166

§ 7. Произведение мер и теорема Фубини . . . . . . . . . 170

7.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.2. Произведение мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.3. Предварительные леммы . . . . . . . . . . . . . . 172

7.4. Теорема Фубини о сечениях . . . . . . . . . . . . 173

7.5. Основная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

§ 8. Интеграл Стилтьеса и функции конечной вариации . . . . . . . . . . . . . 177

8.1. История вопроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8.2. Определения и интегрирование по частям . . 179

8.3. Проблема существования . . . . . . . . . . . . . . 181

8.4. Проблема существования (продолжение) . . . . 184

8.5. Проблема существования (продолжение) . . . . 186

8.6. Комплексные функции . . . . . . . . . . . . . . . . 188

§ 9. Теорема единственности для потенциалов . . . . . 191

9.1. Предыстория и цель . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.2. Конкретная проблема . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.3. Редукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.4. Одномерное уравнение(элементарные леммы) . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.5. Предварительная теорема . . . . . . . . . . . . . . 198

9.6. Бесконечность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.7. Шары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.8. Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Глава 4. Основы ТФКП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

§ 1. Исходные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

1.1. Кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

1.2. Интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

§ 2. Дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

2.1. Вещественная и комплексная дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . 209

2.2. Критерии C -дифференцируемости . . . . . . . . 211

§ 3. Первые применения интеграла . . . . . . . . . . . . . 214

3.1. Формула Ньютона—Лейбница . . . . . . . . . . . 214

3.2. Однолистность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

3.3. Теорема Варшавского . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

§ 4. Вокруг леммы Гурса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.1. Формальная подготовка . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.2. Лемма Гурса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

§ 5. Общие формы теорем Коши . . . . . . . . . . . . . . . 229

5.1. Предварительные факты . . . . . . . . . . . . . . 229

5.2. Абстрактная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

5.3. Геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

§ 6. Круговая полоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.1. Простейшая неодносвязность . . . . . . . . . . . 241

6.2. Редукция к звездам . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

§ 7. Основные факты элементарного комплексного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.1. Гладкость аналитических функций . . . . . . . . 244

7.2. Принцип максимума модуля . . . . . . . . . . . . 245

7.3. Теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7.4. Теорема Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . 248

§ 8. Специальные ряды и их применения . . . . . . . . . 252

8.1. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

8.2. Формула Коши—Адамара . . . . . . . . . . . . . . 257

8.3. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

8.4. Простейшая теорема единственности . . . . . . 259

8.5. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.6. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . 265

8.7. Теорема Пикара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

§ 9. Вычеты и их применения . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

9.1. Вычеты: определение и примеры . . . . . . . . . 272

9.2. Теорема Коши о вычетах . . . . . . . . . . . . . . 275

9.3. Примеры вычисления интегралов . . . . . . . . 276

9.4. Некоторые следствия теоремы о вычетах . . . 284

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295


Об авторе
Горин Евгений Алексеевич
Доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области функционального, гармонического и комплексного анализа, а также теории дифференциальных уравнений с частными производными. Автор многочисленных научных статей, активный участник научных конференций и математических школ.

Страницы (пролистать)