|
Оглавление
Предисловие
Появление в свет настоящей книжки вызвано желанием несколько восполнить пробел в нашей литературе по теории алгебраических функций. Это обширное направление, которое во второй половине прошлого века владело умами весьма многих, притом лучших, математиков, затем одно время как будто было забыто, теперь снова возрождается в модернизированном виде, и связано с новыми интересными проблемами. У нас и раньше были специалисты, посвятившие себя теории алгебраических функций, как, например, Долбня (интегрирование абелевых интегралов в конечном виде), Покровский (теория гиперэллиптических функций); у нас был довольно обстоятельный учебник Тихомандрицкого и краткий курс Ермакова, правда, не свободный от ошибок. Однако в последнее время теория и ее способ изложения настолько изменили свое лицо, что перечисленные книги надо считать устаревшими. Впрочем, мы должны сделать существенную оговорку: в сущности, теория алгебраических функций не имеет единого лица. Ее представители делятся на три довольно резко отграниченные группы или направления, имеющие характер почти сект: функциональную, геометрическую и арифметическую, в которых и метод выводов, и терминология совершенно различны. Я буду придерживаться, главным образом, арифметического направления; арифметическое изложение теории отличается исключительной красотой и законченностью. Однако не следует закрывать глаз на то, что большинство результатов было получено представителями двух других направлений, причем некоторые из результатов функционального направления по существу не могут быть получены методами других направлений. С другой стороны, современные исследования не ограничиваются случаем, когда числовое поле коэффициентов рассматриваемых алгебраических функций алгебраически замкнуто; это делает методы арифметического направления незаменимыми при постановке современных проблем теории алгебраических функций. Эта особенность теории алгебраических функций создает при ее изложении специфические трудности. Чтобы познакомить читателя, по возможности, со всем богатством результатов этой теории, я, следуя примеру Гензеля и Ландсберга, отказываюсь от проведения арифметических методов во всей их чистоте, изложив в главах VI–VIII основы теории римановых поверхностей и связанных с ними результатов. В первых же главах книги я ближе придерживаюсь "классического" изложения Дедекинда и Вебера, чем современного "абстрактного" изложения, проведенного Ф.К.Шмидтом, имея в виду читателей неалгебраистов. Современные же результаты я сосредоточил в особых параграфах: 15-м, 21-м и 27-м, а также в главе X. Глава I посвящена общей теории полей и неалгебраистом может быть пропущена без ущерба для понимания дальнейшего. В главах II–V изложена арифметическая теория алгебраических функций с основными приложениями. Последние даны в несколько большем объеме, чем у Гензеля и Ландсберга, исключая геометрические приложения, которых у меня почти не дано. При этом чистота арифметического метода у меня сохранена в гораздо большей мере, чем у Гензеля и Ландсберга. Главы VI–VIII посвящены методам и результатам функционального направления и требуют предварительных сведений из теории аналитических функций. Поскольку их изложение не является основной задачей книги, я ограничился конспективным изложением. К этому меня также принуждал жесткий лимит в объеме книги. Главы IX и X содержат обзор дальнейших результатов и направлений теории, классических и современных. Здесь тоже лимит в объеме не дал мне возможности развить материал так, как я этого бы желал. Пришлось ограничиться формулировкой результатов и ссылками на литературу. В конце я поместил "Систематический путеводитель по литературе ", который имеет задачей ориентировать в существующих книгах и журнальных статьях читателя, желающего подробнее познакомиться с теорией алгебраических функций. Далее приложен "алфавитный указатель литературы", ссылки на который в тексте помещены в скобочках. Льщу себя надеждой, что книга окажется полезной для осуществления факультативных курсов и семинаров для студентов, для подготовки аспирантов, а также как справочник при работе над диссертациями. В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую признательность А.И.Узкову за исключительно внимательный просмотр рукописи и за ряд ценных критических указаний. Н.Чеботарев
Казань. Август 1945 г. Об авторе
Николай Григорьевич Чеботарев (1894–1947)
Видный российский математик, член-корреспондент АН СССР (1929). В 1916 г. окончил Киевский университет. С 1927 г. – профессор Казанского университета. Лауреат Государственной премии СССР (1948), награжден орденом Ленина и другими орденами и медалями. Добился создания при Казанском университете Научно-исследовательского института математики и механики (1934), который и возглавлял с 1935 по 1947 гг. Впоследствии институту было присвоено его имя. Н.Г.Чеботареву принадлежит решение проблемы Фробениуса о бесконечности множества простых чисел, принадлежащих классам подстановок группы Галуа. Он также добился высоких результатов в области проблемы резольвент (эта проблема связана с решением алгебраических уравнений). Широкую известность получили его работы в области теории Галуа, групп Ли, теории диофантовых приближений, теории целых аналитических функций. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||