Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения:
Задачи и примеры с подробными решениями. Изд. стереотип.

2020. 256 с.

Серия: Вся высшая математика в задачах

Типографская бумага

Мягкая обложка
Другой вариант 469 р. ››
Твердый переплет 2 варианта от 599 р. ››

Аннотация

В предлагаемом сборнике задач особое внимание уделено тем вопросам, которые недостаточно подробно освещены в имеющихся пособиях и которые, как показывает опыт, слабо усваиваются студентами.

Детально разобраны метод изоклин для уравнений первого и второго порядков, задачи нахождения ортогональных траекторий, линейная зависимость и независимость систем функций.

В задачник включено большое число задач на решение линейных уравнений с постоянными... (Подробнее)

Оглавление

1	Дифференциальные уравнения первого порядка
	1.	Основные понятия и определения
	2.	Метод изоклин
	3.	Метод последовательных приближений
	4.	Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним
	5.	Уравнения однородные и приводящиеся к ним
		1.	Однородные уравнения
		2.	Уравнения, приводящиеся к однородным
	6.	Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
		1.	Линейные уравнения первого порядка
		2.	Уравнение Бернулли
	7.	Уравнения в полных дифференциалах.\ Интегрирующий множитель
		1.	Уравнения в полных дифференциалах
		2.	Интегрирующий множитель
	8.	Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
		1.	Уравнения первого порядка n-й степени относительно y'
		2.	Уравнения вида f(y,y')=0 и f(x,y') = 0
		3.	Уравнения Лагранжа и Клеро
	9.	Уравнение Риккати
	10.	Составление дифференциальных уравнений семейств линий. Задачи на траектории
		1.	Составление дифференциальных уравнений семейств линий
		2.	Задачи на траектории
	11.	Особые решения дифференциальных уравнений
	12.	Разные задачи
2	Дифференциальные уравнения высших порядков
	13.	Основные понятия и определения
	14.	Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
	15.	Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
		1.	Линейная независимость функций. Определитель Вронского. Определитель Грама
		2.	Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
		3.	Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
		4.	Уравнения Эйлера
		5.	Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Метод Лагранжа
		6.	Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений
		7.	Разные задачи
	16.	Метод изоклин для дифференциальных уравнений второго порядка
	17.	Краевые задачи
	18.	Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов
		1.	Разложение решения в степенной ряд
		2.	Разложение решения в обобщенный степенной ряд. Уравнение Бесселя
		3.	Нахождение периодических решений линейных дифференциальных уравнений
		4.	Асимптотическое интегрирование
		5.	Приложения к интегрированию дифференциальных уравнений
3	Системы дифференциальных уравнений
	19.	Основные понятия и определения
	20.	Метод исключения (сведение системы\ дифференциальных уравнений к одному уравнению)
	21.	Нахождение интегрируемых комбинаций. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений
		1.	Нахождение интегрируемых комбинаций
		2.	Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений
	22.	Интегрирование однородных линейных систем с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера
	23.	Методы интегрирования неоднородных линейных систем с постоянными коэффициентами
		1.	Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
		2.	Метод неопределенных коэффициентов (метод подбора)
		3.	Построение интегрируемых комбинаций (метод Даламбера)
	24.	Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений и систем
		1.	Общие сведения о преобразовании Лапласа
		2.	Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
		3.	Решение систем линейных дифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами
4	Теория устойчивости
	25.	Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения
	26.	Простейшие типы точек покоя
	27.	Метод функций Ляпунова
	28.	Устойчивость по первому приближению
	29.	Устойчивость решений дифференциальных уравнений по отношению к изменению правых частей уравнений
	30.	Критерий Рауса–Гурвица
	31.	Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова)
	32.	Уравнения с малым параметром при производной
Ответы
Приложение 1
	Некоторые формулы из дифференциальной геометрии
Приложение 2
	Основные оригиналы и их изображения

Предисловие

Третье издание книги существенно переработано и дополнено. Многие задачи заменены новыми; некоторые задачи, имеющие громоздкие решения, изъяты из сборника; добавлено свыше 50 примеров, разобранных в тексте; устранены замеченные опечатки и неточности в формулировках. Наиболее существенные дополнения относятся к следующим вопросам: 1) решение систем дифференциальных уравнений; 2) исследование устойчивости решений по Ляпунову; 3) использование метода суперпозиции при решении линейных дифференциальных уравнений n-порядка; 4) асимптотическое интегрирование.

Для удобства пользования книгой иногда употребляется специальный знак (треугольник), означающий, что решение примера или формулировка замечания окончены.

При подготовке этой книги большую помощь как рецензенты рукописи нам оказали проф. Б.А.Богатов и доц. А.И.Шум (Калининский политехнический институт) и сотрудники кафедры высшей математики МИЭТ (заведующий кафедрой проф. А.В.Ефимов). Выражаем им нашу искреннюю благодарность. Мы признательны Н.Н.Зарубиной за большой труд по изготовлению рисунков.

Хотя задачник выходит и третьим изданием, мы сознаем, что он не свободен от недостатков. Все замечания и пожелания по его улучшению будут приняты нами с благодарностью.

Авторы

Опечатки

Стр. 52: Вторая строка сверху: написано (6), следует читать (4).

Стр. 11-я строка снизу. Написано y''=2C1+6C2x+12C3x3+..., надо последнее слагаемое 12С3х2 (икс в квадрате, а не в кубе).

Об авторах

Краснов Михаил Леонтьевич

Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Московского энергетического института (МЭИ). Был членом Редакционного совета МЭИ, работал в Совете по математическому образованию при Министерстве высшего образования СССР.

В область научных интересов М. Л. Краснова входили дифференциальные уравнения. Им были написаны научные статьи, посвященные уравнениям в частных производных и некоторым прикладным задачам. Вместе с А. И. Киселевым и Г. И. Макаренко он придумал и осуществил простую и в то же время гениальную идею — учить будущих инженеров сложным разделам высшей математики на рассмотрении подробных решений тщательно подобранных типовых примеров при минимальном изложении теории. В результате более чем тридцатилетней совместной работы ими были написаны ставшие классическими учебные пособия ("Векторный анализ", "Вариационное исчисление" и другие). Все эти книги многократно выходили в издательстве URSS, а также были переведены и изданы на испанском, португальском, английском, французском, японском, польском и других языках.

Киселев Александр Иванович

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1951 г. В 1951–1962 гг. работал в Институте физических проблем АН СССР. В 1962–1996 гг. — доцент кафедры высшей математики Московского энергетического института. Область научных интересов: теория функций.

Макаренко Григорий Иванович

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1951 г. В 1951–1960 гг. работал на кафедре высшей математики Московского энергетического института. В 1960–1978 гг. — старший научный сотрудник Объединенного института ядерных исследований в Дубне. В 1978–1989 гг. — профессор кафедры математики Московского государственного института путей сообщения. Область научных интересов: дифференциальные уравнения.

Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями. Изд. стереотип.

Аннотация

Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения:
Задачи и примеры с подробными решениями. Изд. стереотип.