| Предисловие . . . . 7
|
| Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
|
| Часть I. Линейные системы . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 1. Линейная теория: анализ и синтез . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 1.1. Описание линейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 1.1.1. Пространство состояний . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 1.1.2. Передаточная функция . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 1.1.3. Операторный подход . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 1.1.4. Одномерные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
|
| 1.1.5. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
|
| 1.2. Устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
|
| 1.2.1. Устойчивость матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
|
| 1.2.2. Устойчивость линейных систем . . . . . . . . . . . 54
|
| 1.2.3. Критерии устойчивости полиномов . . . . . . . . . 64
|
| 1.2.4. Частотные критерии устойчивости замкнутых систем . . . . 72
|
| 1.2.5. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
|
| 1.3. Виды управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
|
| 1.3.1. Программное управление. Управляемость . . . . . 83
|
| 1.3.2. Управление по обратной связи . . . . . . . . . . . 90
|
| 1.3.3. Наблюдаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
|
| 1.3.4. Частотные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
|
| 1.3.5. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
|
| 1.4. Стабилизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
|
| 1.4.1. Стабилизация с помощью регуляторов низкого порядка . . . . . . . 101
|
| 1.4.2. Обратная связь по состоянию . . . . . . . . . . . . 107
|
| 1.4.3. Обратная связь по выходу . . . . . . . . . . . . . . 111
|
| 1.4.4. Квадратичная стабилизация . . . . . . . . . . . . . 116
|
| 1.4.5. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
|
| 1.5. Показатели качества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
|
| 1.5.1. Задачи оптимизации управления на конечном интервале . . . . . . . . . . . . . . . . 128
|
| 1.5.2. Линейно-квадратичный регулятор . . . . . . . . . 130
|
| 1.5.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
|
| 2. Линейная теория: внешние возмущения и неопределенность . . . . . 140
|
| 2.1. Внешние возмущения: анализ . . . . . . . . . . . . . . . . 140
|
| 2.1.1. Реакция на типовые возмущения . . . . . . . . . . 140
|
| 2.1.2. Устойчивость при наличии внешних возмущений . 142
|
| 2.1.3. Множества достижимости для устойчивых систем 149
|
| 2.1.4. Переходные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
|
| 2.1.5. Ограниченные внешние возмущения . . . . . . . . 163
|
| 2.1.6. Гармонические и L2-ограниченные возмущения . 174
|
| 2.1.7. Случайные внешние возмущения . . . . . . . . . . 178
|
| 2.1.8. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
|
| 2.2. Внешние возмущения: синтез . . . . . . . . . . . . . . . . 184
|
| 2.2.1. Подавление внешних возмущений . . . . . . . . . . 185
|
| 2.2.2. H∞-оптимизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
|
| 2.2.3. Подавление случайных возмущений . . . . . . . . 199
|
| 2.2.4. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
|
| 2.3. Задачи оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
|
| 2.3.1. Эллипсоидальное оценивание . . . . . . . . . . . . 213
|
| 2.3.2. Фильтр Калмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
|
| 2.3.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
|
| 2.4. Неопределенность и ее виды . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
|
| 2.4.1. Параметрическая неопределенность . . . . . . . . 224
|
| 2.4.2. Частотная неопределенность . . . . . . . . . . . . 228
|
| 2.4.3. (M,Δ)-конфигурация . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
|
| 2.4.4. Нестационарные и нелинейные возмущения . . . . 233
|
| 2.5. Робастная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
|
| 2.5.1. Робастная устойчивость полиномов . . . . . . . . . 234
|
| 2.5.2. Робастная устойчивость матриц . . . . . . . . . . . 243
|
| 2.5.3. Робастная устойчивость при неопределенных передаточных функциях . . . . . . . . . . . . . . . 246
|
| 2.6. Робастная стабилизация и управление . . . . . . . . . . . 254
|
| 2.6.1. Робастная квадратичная стабилизация . . . . . . 254
|
| 2.6.2. Робастный линейно-квадратичный регулятор . . . 261
|
| 2.6.3. H∞-оптимизация: робастный вариант . . . . . . . 264
|
| 2.7. Положительные линейные системы . . . . . . . . . . . . . 266
|
| 2.7.1. Условия положительности и устойчивости . . . . 267
|
| 2.7.2. Внешние возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
|
| 2.7.3. Стабилизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
|
| 2.7.4. Робастность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
|
| Часть II. Нелинейные системы . . . . . . . . . . . 278
|
| 3. Нелинейная теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
|
| 3.1. Особенности динамики нелинейных систем . . . . . . . . 279
|
| 3.1.1. Множественность состояний равновесия . . . . . . 281
|
| 3.1.2. Конечное время переходного процесса . . . . . . . 295
|
| 3.1.3. Существование предельных циклов . . . . . . . . . 296
|
| 3.1.4. Хаотическая динамика . . . . . . . . . . . . . . . . 298
|
| 3.1.5. Наличие кратных гармоник . . . . . . . . . . . . . 302
|
| 3.1.6. Многорежимность поведения . . . . . . . . . . . . 303
|
| 3.2. Устойчивость и стабилизация . . . . . . . . . . . . . . . . 304
|
| 3.2.1. Определение устойчивости . . . . . . . . . . . . . . 305
|
| 3.2.2. Линейные нестационарные системы. Устойчивость 309
|
| 3.2.3. Линейные нестационарные системы.
|
| Параметрический резонанс . . . . . . . . . . . . . 310
|
| 3.2.4. Нелинейные системы. Теоремы об устойчивости . 318
|
| 3.3. Анализ устойчивости по линейному приближению . . . . 335
|
| 3.3.1. Исследование устойчивости стационарных нелинейных систем по линейному приближению . 335
|
| 3.3.2. Нелинейная обратная связь. Абсолютная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
|
| 3.4. Управление нелинейными системами . . . . . . . . . . . . 357
|
| 3.4.1. Метод линеаризации обратной связью . . . . . . . 357
|
| 3.4.2. Метод скользящих режимов . . . . . . . . . . . . . 370
|
| 3.4.3. Метод декомпозиции для стабилизации механических систем . . .378
|
| 3.4.4. Каскадные системы. Синтез управления методом бэкстеппинга . .. . . . . . 385
|
| 3.5. Оптимальное управление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
|
| 3.5.1. Динамическое программирование . . . . . . . . . . 395
|
| 3.5.2. Линейно-квадратичная задача оптимального управления в дискретном времени . . . . . . . . . 401
|
| 3.5.3. Непрерывные системы. Уравнения в частных производных Гамильтона – Якоби – Беллмана . . 407
|
| 3.5.4. Линейно-квадратичная задача оптимального управления в непрерывном времени . . . . . . . . 410
|
| 3.5.5. Принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
|
| 3.6. Дискретные динамические системы . . . . . . . . . . . . . 421
|
| 3.6.1. Асимптотическая устойчивость нелинейных отображений . . . . 422
|
| 3.6.2. Бифуркации и хаотическое поведение в одномерном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
|
| 3.6.3. Странные аттракторы для двумерных систем . . 428
|
| 3.6.4. Фракталы для двумерных систем . . . . . . . . . . 431
|
| Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
|
| А. Элементарные свойства матриц . . . . . . . . . . . . . . . 434
|
| Б. Нормы матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
|
| В. Функции от матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
|
| Г. Линейные матричные неравенства . . . . . . . . . . . . . 449
|
| Д. Лемма Шура и следствия из нее . . . . . . . . . . . . . . 453
|
| Е. Матричное описание эллипсоидов . . . . . . . . . . . . . . 457
|
| Ж. S-процедура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
|
| З. Лемма Питерсена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
|
| И. Уравнение Ляпунова и его свойства . . . . . . . . . . . . 464
|
| К. Две теоремы об управляемости . . . . . . . . . . . . . . . 473
|
| Библиографический комментарий . . . . . . . . . . . . . . . 475
|
| Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
|
| Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 |
Теория автоматического управления (ТАУ) — относительно молодая наука, хотя корни ее можно проследить в далеком прошлом. Она находится в процессе интенсивного развития, при этом существенно меняются взгляды на предмет и аппарат этой дисциплины. Первоначально основным объектом изучения являлись технические системы и процессы регулирования в них; соответственно называлась сама наука — «теория автоматического регулирования». Позднее в центр внимания переместились проблемы оптимизации, нередко стали говорить об «оптимальном управлении». В последнее время круг приложений необычайно расширился, включив управление экономическими, биологическими, экологическими и, главное, информационными системами. Заметно изменился и аппарат теории управления, используемые математические модели и методы. В связи с этим имеющиеся учебники нередко не успевают за этими революционными переменами и быстро устаревают. В литературе на русском языке нехватка современных учебных пособий особенно заметна.
Нам хотелось написать книгу, в какой-то мере восполняющую этот пробел. С одной стороны, она должна содержать аппарат, адекватный современной теории (системы в пространстве состояний, нелинейные системы, робастность, оптимальность, техника линейных матричных неравенств). С другой стороны, мы стараемся сделать его по возможности широко доступным. Поэтому используемый математический аппарат ограничен основными понятиями математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и отчасти теории вероятностей. Необходимые дополнительные математические сведения приведены в приложениях. Мы постарались сделать книгу также по возможности краткой, содержащей лишь базовые задачи и методы. Разумеется, отбор материала является во многом субъективным и отражающим взгляды авторов на «ядро» теории автоматического управления. Чтобы скомпенсировать такое вынужденное ограничение материала, планируется в будущем выпустить второй том, содержащий ряд дополнительных глав теории управления, в том числе и результаты современных исследований.
Мы рассчитываем, что материал, изложенный в книге, может быть положен в основу годового курса для студентов магистратуры математико-инженерных специальностей, уже ознакомившимися с «классической» ТАУ в бакалавриате. Он может быть полезен и для аспирантов с достаточной математической подготовкой для самостоятельного изучения теории управления. Наконец, инженеры и исследователи, которые связаны с реальными задачами управления, могут почерпнуть в книге нужные теоретические сведения.
Учебное пособие состоит из двух частей, относящихся соответственно к линейной и нелинейной теории управления. Первая часть охватывает основные модели линейной теории управления; базовые понятия (устойчивость, обратная связь, техника анализа и синтеза, оптимальность) составляют содержание главы 1. В основу положен язык пространства состояний, хотя и остальные методы описания линейных систем также упомянуты (частотный подход, входо-выходные модели, операторный подход). Вторая глава посвящена тематике, которая неизбежно возникает при проектировании реальных систем управления, — возможной неопределенности в описании систем, влиянию внешних возмущений и начальных уклонений. Приводится соответствующий математический аппарат (робастность, линейные матричные неравенства, квадратичная стабилизация). Изложение в первых двух главах построено следующим образом: сначала описывается математическая модель и основные теоретические результаты, затем анализируются примеры, иллюстрирующие этот материал.
Вторая часть книги (глава 3) относится к нелинейным моделям.
Здесь изложение выглядит несколько иначе. Поскольку нелинейные модели необычайно разнообразны, а возникающие в них эффекты существенно отличаются от линейных, в начале каждого раздела приводятся конкретные примеры, объясняющие специфику данного раздела нелинейной теории, и лишь затем приводятся общие правила и закономерности. В частности, первый же раздел главы 3 описывает поведение, которое возможно лишь в нелинейных системах (многие положения равновесия, предельные циклы, разные виды устойчивости, хаос и т.п.), и примеры, для которых эти эффекты имеют место.
Основной материал главы связан с исследованием устойчивости нелинейных систем с помощью первого и второго метода Ляпунова и с различными методами стабилизации таких систем. Описывается также техника оптимального управления. В заключение рассказывается об эффектах, характерных для дискретных нелинейных систем, — бифуркациях, хаосе, странных аттракторах, фракталах.
Первая часть книги может быть использована для отдельного курса по линейной теории управления; она заметно проще второй части.
В конце книги приведены несколько приложений, содержащих основные математические сведения, не всегда приводимые в стандартных студенческих курсах, которые полезны для понимания материала.
Даны и краткие исторические и библиографические указания по приводимому материалу. Список рекомендуемой литературы по традиции достаточно короток. Здесь приведены в основном классические учебники ХХ века и некоторые монографии на русском языке, а также главные современные зарубежные учебники по теории управления; из них можно почерпнуть более подробные ссылки на новые направления исследований.
В учебное пособие не включены методические материалы, нередко приводимые в современных учебных курсах (контрольные вопросы, основные положения раздела, задачи, упражнения). Их наличие привело бы к заметному увеличению объема книги. Нам кажется, разработка подобных материалов станет возможной после накопления практического опыта работы с учебным пособием.
Работа первых двух авторов была частично поддержана Российским научным фондом, проект № 16-11-10015, и Российским фондом фундаментальных исследований, проект № 18-08-00140.
Мы благодарны нашим коллегам П.С. Щербакову, А.В. Назину,
А.И. Матасову, А.Л. Фрадкову, П.В. Пакшину, Ю.И. Митришкину,
А.А. Южакову, сделавшим много критических замечаний, а также
Я.И. Квинто, взявшей на себя труд по редактированию рукописи. Особая признательность директору Института проблем управления РАН
Д.А. Новикову, инициатору создания этой книги, за его постоянную поддержку и многочисленные советы.
Поляк Борис Теодорович Главный научный сотрудник Института проблем управления РАН, доктор технических наук. Был заместителем главного редактора журнала «Автоматика и телемеханика», членом редколлегий 5 международных журналов. Лауреат премий имени А. А. Андронова и Б. Н. Петрова РАН, почетный член ИФАК (IFAC Fellow), награжден золотой медалью EURO-2012. Работал в университетах США, Франции, Италии, Израиля, Тайваня и других стран. Свыше 20 его учеников — кандидаты и доктора наук. Организовывал ежегодные молодежные школы «Управление, информация и оптимизация». Автор 4 монографий, 220 статей в журналах и свыше 200 докладов на российских и международных конференциях. Основные работы — по теории управления и оптимизации.
Хлебников Михаил Владимирович Доктор физико-математических наук, профессор РАН, лауреат премии имени Б. Н. Петрова Российской академии наук. Заведующий лабораторией «Адаптивных и робастных систем» Института проблем управления имени В. А. Трапезникова РАН. Специалист в области теории автоматического управления, робастного управления, оптимизации.
Рапопорт Лев Борисович Доктор физико-математических наук. Специалист в области оптимизации и теории управления, сотрудник Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН.
