Обложка Босс В. Лекции по математике: Дифференциальные уравнения
Id: 249192
599 руб.

Лекции по математике:
Дифференциальные уравнения Т.02. Изд. стереотип.

URSS. 2019. 208 с. ISBN 978-5-9710-6394-0.
Белая офсетная бумага

Аннотация

Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения, вплоть до объяснений "на пальцах". Значительное внимание уделяется мотивации результатов и укрупненному видению. Помимо обычной для дифференциальных уравнений тематики рассматриваются: аттракторы и детерминированный хаос, бифуркации и катастрофы, солитоны. Просто и достаточно полно излагается теория устойчивости. Среди нововведений --- ликбез по аналитической механике, начала теории регулирования,... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие7
Глава 1. Вспомогательный материал8
1.1. Пространство измерений8
1.2. Линейные функции и матрицы10
1.3. Прямоугольные матрицы13
1.4. Квадратичные формы14
1.5. Нормы Rn15
1.6. Функции и пространства16
1.7. Принцип сжимающих отображений17
Часть I Основы теории19
Глава 2. Общая картина и опорные точки20
2.1. Объект изучения20
2.2. Простейшие уравнения и примеры23
2.3. Существование и единственность29
2.4. Продолжимость и зависимость от параметра33
2.5. О структуре и направлениях36
2.6. Движение по градиенту41
2.7. Уравнения с частными производными42
2.8. Об уравнениях первого порядка45
Глава 3. Линейные уравнения50
3.1. Исходные понятия50
3.2. Принципы суперпозиции52
3.3. Уравнения с постоянными коэффициентами55
3.4. Системы уравнений57
3.5. Случай равных корней58
3.6. Неоднородные уравнения62
3.7. Матричная экспонента63
3.8. Теорема Лиувилля67
3.9. Неавтономные системы68
3.10. Фрагмент из обобщенных функций70
3.11. Функция Грина и краевые задачи74
3.12. Операционное исчисление78
Глава 4. Устойчивость81
4.1. Основные понятия81
4.2. Второй метод Ляпунова84
4.3. Неавтономный случай88
4.4. Уравнение в вариациях89
4.5. Обратные теоремы92
4.6. Устойчивость в целом94
4.7. Диссипативные системы96
4.8. Проблема Рауса—Гурвица97
4.9. Линейные неавтономные системы99
Глава 5. Колебания101
5.1. Гармонические сигналы101
5.2. Вынужденные колебания103
5.3. Резонансные явления106
5.4. Связанные системы109
5.5. Автоколебания112
5.6. Нелинейный маятник115
5.7. Волны и солитоны118
Глава 6. Возмущения и бифуркации122
6.1. Примеры и предостережения122
6.2. Бифуркации123
6.3. Катастрофы125
6.4. Структурная устойчивость126
6.5. Парадокс Циглера129
6.6. Методы усреднения130
Глава 7. Аттракторы и хаос135
7.1. Эргодичность и перемешивание135
7.2. Ликвидация противоречий138
7.3. Адиабатические процессы140
7.4. Аттракторы и фракталы143
7.5. Странный аттрактор Лоренца146
7.6. Сложное в простом147
Часть II Дополнения и приложения150
Глава 8. Теория регулирования152
8.1. Практические задачи и примеры152
8.2. Передаточные функции154
8.3. О подводных рифах156
8.4. Частотные методы157
8.5. Задача компенсации159
8.6. Управляемость161
Глава 9. Механика164
9.1. Обобщенные координаты и силы164
9.2. Уравнения Лагранжа168
9.3. Формализм Гамильтона169
9.4. Вариационные принципы171
9.5. Инвариант Пуанкаре—Картана172
9.6. Завершение картины174
Глава 10. Конусные методы177
10.1. Полуупорядоченность178
10.2. Монотонность оператора сдвига178
10.3. Гетеротонные системы182
10.4. Дифференциальные неравенства183
10.5. Супероднородность184
10.6. Примеры186
10.7. Матричный конус187
Глава 11. Коллективное поведение189
11.1. Содержательные примеры189
11.2. Формальная модель190
11.3. Системы с ограниченным взаимодействием193
11.4. Гомогенные системы195
Обозначения197
Литература199
Предметный указатель201

Предисловие к "Лекциям"
Самолеты позволяют летать, но добираться до аэропорта приходится самому.

Для нормального изучения любого математического предмета необходимы по крайней мере четыре ингредиента:

1) живой учитель;

2) обыкновенный подробный учебник;

3) рядовой задачник;

4) учебник, освобожденный от рутины, но дающий общую картину, мотивы, связи, "что зачем".

До четвертого пункта у системы образования руки не доходили. Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев -- при параллельном исполнении функций обыкновенного учебника. Акценты из-за перегрузки менялись, и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.

"Лекции" ставят 4Нй пункт своей главной целью. Сопутствующая идея -- экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20 томов может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью математики, а не с перегрузкой деталями.

Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ "на всех" выглядит наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид, обнаженные конструкции доказательств -- такого сорта книги удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой категории тратят массу сил и времени на освоение математических секторов, лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же ко многим проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая быстро освоить новые области и освежить старые. Для начинающих "короткие дороги" тем более полезны, поскольку облегчают движение любыми другими путями.

В вопросе "на кого рассчитано" -- есть и другой аспект. На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит "на всех". Звучит странно, но речь не идет о регламентации кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.

Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало кто готов уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить всему -- надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой ли, хороший -- покажет время. Но в любом случае, это продукт нового поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, -- но по-другому.


Предисловие
Есть три способа отвечать на вопросы: сказать необходимое, отвечать с приветливостью и наговорить лишнего.
Плутарх

Время меняет ситуацию. Традиционные курсы дифференциальных уравнений стареют, и простого выхода из положения нет. С одной стороны, ясно, что тематику надо расширять, иначе "молодые побеги" -- хаос, аттракторы, солитоны и т.п. -- будут расти сквозь асфальт. С другой стороны, базовые курсы нуждаются в резком сокращении, поскольку для самих дифуров не так много места остается в этой жизни. Дискретная математика начинает теснить, виртуальные проблемы... Не говоря об экспансии юридического и сексуального пространства. В итоге одно противоречит другому -- и стандартных мер недостает.

Единственное средство -- тривиализация дисциплины. Математика, как и человек, -- иногда надувает щеки, наряжается и творит мифы. Поэтому в дифурах немало лишнего, вычурного, случайного -- и одно лишь наведение порядка высвобождает массу свободного места. Затем переосмысливание и переоценка. Потом отказ от второстепенных деталей. Не насовсем, конечно. Но из "основ" многое -- что загромождает -- можно и нужно вынести за скобки. Наконец, пора вспомнить, что успех достигается только играючи, вслед за удовольствием. Кто учится говорить с натугой -- остается немым.

На этом фоне писался данный том, который, как и лекции в целом, адресован "всем", поскольку преподносит некую общую часть. Не простую и не сложную, но дающую представление об основах и позволяющую при необходимости двигаться дальше.


Из интервью с В.Боссом

-- Нельзя ли в двух словах о главной особенности "Лекций"?

-- Диалектика обучения -- во взаимодействии сторон. Понимание -- умение. Суть -- детали. "Лекции" добиваются понимания.

-- Как?

-- Правдами и неправдами (улыбается). Очень важно, например, поместить проблему "целиком в кадр". Чтобы видно было "сразу все".

-- Объяснениями на пальцах?

-- Когда как, только "коротко и ясно". Упрощения, недомолвки. Но главное -- обнажение сути.

-- А что посоветуете, если завтра экзамен, а в голове пусто?

-- Таблетку димедрола.

УРСС "не верит глазам своим"

В.Босс -- автор замечательной книги "Интуиция и математика" (Айрис-Пресс, 2003) -- предложил нам издавать его "Лекции по математике". Пока выходят первые два тома "Анализ" и "Дифференциальные уравнения". Но до этого -- были раздумья. Сразу стало ясно, что "Лекции" очень эффектны, но нетрадиционны. Поэтому мы решили: соберем отклики. Разослали сто экземпляров рукописи, и теперь "не верим глазам своим". Отзывы "зашкаливают".

Это очень хорошие учебники. Из тех, что ругают в стенах ВУЗов, но зачитывают до дыр.

Доцент Ю.Сингин

О загадке книг В.Босса. "Интуиция и математика" читается как детектив. "Лекции" на кафедре шли нарасхват. В чем дело -- не понимаю. Какие-то скрытые пружины.

Аспирант В.Жеглов

"Лекции" В.Босса опасны. Автор просто так отдает то, чего студенты должны добиваться годами. На легких хлебах хороших специалистов не выращивают.

Профессор М.Штольц

Передайте В.Боссу благодарность от студентов Казахстана. Ксероксы в Алма-Ате перегреваются. Книги замечательные.

Студенты Политеха

Все как на ладони. Где Босс раньше был?

Студент Д.Петров

О загадке бестселлеров В.Босса

Книгу В.Босса "Интуиция и математика" я перечитал три раза! Потом еще раз, чтобы разобраться, в чем дело, но скрытых пружин так и не нашел. Конечно, великолепный подбор миниатюр, точный язык, мягкий юмор, располагающая интонация, -- но все это вместе взятое не объясняет результат даже наполовину. Сын моего приятеля -- парню 14 лет -- выучил "Интуицию" почти наизусть. Измучил родителей вопросами, прочел гору дополнительной литературы. Понятно -- особый случай, но показательный! В целом ситуация, безусловно, мягче. Однако отзывы все положительные, а процент восторженных -- удивителен и необъясним.

"Лекции по математике" того же автора -- другое дело. Кое-кто из моих коллег принял их в штыки, поскольку система образования, естественно, противится нововведениям. Лишняя головная боль для преподавателя. Тем не менее, в результате итогового обсуждения -- первые два тома "Лекций" пришли к нам на отзыв -- В.Босс получил высший бал.

Лично мне "Лекции" нравятся даже больше, чем "Интуиция". Ясное и продуманное изложение предмета. Лаконичное до неправдоподобия, но без ущерба для содержания. Вот что по этому поводу пишет сам автор: "Первая часть книги -- сжатый курс матанализа. Чушь более сотни страниц, но "все есть". Некоторые детали, конечно, опускаются, но это не потери, а приобретения. Сбросив десяток лишних килограмм, человек выглядит лучше, живет интереснее. Так и здесь. Многие подробности мешают видеть суть. И освобождение от балласта, как ни странно, позволяет обсуждать принципиальные вопросы, на которые в толстых учебниках не хватает места".

Первый опыт показывает, что студенты -- и сильные, и слабые -- благосклонно принимают "Лекции". В этом еще одна удивительная, хотя и понятная особенность изложения. Короткий и ясный взгляд на предмет, обсуждение мотивов, общая картина, -- нужны всем.

Наконец, я бы не писал в газету, если бы речь шла просто о хороших и даже очень хороших книгах. "Лекции" В.Босса, на мой взгляд, явление неординарное. Дело в том, что информационная лавина сейчас многое меняет. В результате, сложившаяся система образования подходит к критической точке. Конечно, как в доме накапливаются ненужные вещи, так и в образовании со временем укореняется масса атавизмов. Но хуже другое. То, без чего вроде бы нельзя обойтись, перестает помещаться в рамки. Поэтому необходимы новые подходы и принципы. "Лекции" обеспечивают прорыв в этом направлении.

Профессор МФТИ А.П.Афанасьев

Об авторе
Босс В.
Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».

Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.

Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».

За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.

Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.

Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».