Мельников О.И. Обучение дискретной математике №13. Изд. стереотип.

Оглавление

Введение

Переход в средней школе к обучению алгебре на основе функциональной зависимости в 50-е годы XX века был своевременным и прогрессивным. Он повысил качество знаний учеников, обеспечил более высокий научный уровень преподавания, облегчил студентам переход от школьного к вузовскому обучению. При этом в школе изучались, практически, непрерывные функции, а дискретные были представлены только прогрессиями. В целях борьбы с перегрузкой программы из нее были исключены элементы комбинаторики. Это было связано с двумя причинами. С одной стороны, изучение непрерывных функций можно было унифицировать с помощью производной, сделать единообразным. Так, академик А.Н.Колмогоров писал: "По существу все связи между математикой и ее реальными применениями полностью умещаются в области конечного... Мы предпочитаем непрерывную модель лишь потому, что она проще" [128, с.15]. С другой стороны, в те годы трудно было предсказать значительное усиление роли дискретной математики в решении практических задач и столь интенсивное использование информатики, теоретической базой которой является дискретная математика, в науке, технике, экономике и повседневной жизни.

Однако за последние десятилетия произошли существенные изменения в математике. Большое развитие получили ее дискретные разделы. Это во многом связано с изучением кибернетических систем, получивших весьма широкое распространение, при моделировании которых существенно используется дискретная математика. Конечно, такие системы существовали и ранее, но в последнее время их изучение стало более актуальным в связи с увеличением масштабов производства, расширением экономических связей, созданием межгосударственных объединений.

Исследование кибернетических систем ввиду их масштабности, решение задач, состоящее из анализа огромного числа вариантов и выбора из них лучшего, стало возможным только благодаря вычислительной технике. Но применять ее можно лишь после изучения систем, создания и анализа их моделей, разработки эффективных алгоритмов.

Дискретные математические модели получили широкое распространение в науке, технике, экономике, военном деле и т.д. Как отмечает профессор К.А.Рыбников, после Второй мировой войны "...крупнейшие военные и промышленные организации США, их научно-технические подразделения разворачивают исследования комбинаторного характера или активно им содействуют. А в пятидесятые годы, в их конце, в математической научной литературе произошел настоящий комбинаторный "взрыв"" [231, с.6]. Это связано с тем, что такие модели имеют большое число интерпретаций и многочисленные и разнообразные дискретные задачи, как правило, могут быть описаны немногочисленными комбинаторными моделями. В свою очередь, их исследование и решение прикладных дискретных задач приводило к развитию теоретической математики и существенным продвижениям в ней.

Дискретные математические модели тесно связаны с дискретными способами обработки информации, которые стали преобладающими в кибернетике. Для этого имеется много причин. В частности, дискретный способ хранения информации очень экономный, что позволяет использовать небольшое число необходимых для этого элементов. Информация, которая обрабатывается или передается в дискретном виде, устойчива относительно помех. Поэтому в кибернетике распространены дискретные управляющие системы, параметры которых задаются как дискретные величины. Даже в тех случаях, когда состояние элементов системы определяется непрерывными функциями, для анализа выбираются мгновенные состояния, а для преобразований – мгновенные значения.

Еще одной причиной распространения дискретных математических моделей является интенсивное развитие вычислительной техники, поскольку только она может обеспечить их изучение в связи с большим объемом вычислительной работы, необходимой для этого. Кроме того, ЭВМ, основанные на принципах дискретной математики, оказались лучше приспособленными для решения прикладных задач, чем аналоговые ЭВМ, основанные на принципах непрерывного преобразования информации. Цифровые ЭВМ развивались быстрее и интенсивнее аналоговых и в настоящее время преобладают.

Дискретные модели стали использоваться не только в естественных, но и в гуманитарных науках, например, в социологии и лингвистике. Это привело к появлению в программах факультетов нематематического профиля дискретных математических дисциплин. Кроме того, широкое распространение ЭВМ вызвало изучение программирования и информатики, непосредственно связанной с дискретной математикой, практически во всех учебных заведениях. Использование для исследования сложных объектов и ситуаций моделей дискретной математики требует глубокого ознакомления с методикой их построения, изучения методов дискретной математики и способов ее применения для решения практических задач студентами естественных, технических и экономических специальностей. При этом необходимо обучение студентов умениям создания эффективных алгоритмов исследования моделей, оценивания их качества и скорости, сравнения алгоритмов с ранее существующими. Кроме того, большое значение приобретает умение будущих специалистов исследовать построенные модели на компьютерах с помощью пакетов прикладных программ.

Поэтому становится важным раннее пропедевтическое ознакомление с началами дискретной математики, начиная с дошкольных заведений и школы. Специалисты (З.И.Слепкань, Дж.Брунер и др.) отмечают, что чем сложнее, абстрактнее понятие, тем более необходимо для детей предварительное знакомство с ним на интуитивном уровне. Так, известный педагог и психолог Дж.Брунер пишет: "Когда основные понятия представлены в формализованном виде как уравнения или точные словесные определения, они являются недоступными ребенку, если он не усвоил их сначала интуитивно".

Дискретная математика предоставляет большие возможности для первоначального знакомства с понятиями "модель" и "алгоритм". При построении моделей ученик совершает непосредственный переход от изучаемых объектов к их моделям, исследование которых позволяет определить свойства объектов и оптимальное воздействие на них. Все это помогает избежать такого формализма в обучении математике, при котором ученик не видит связи заученных формул с реальной жизнью.

Особенно большое значение дискретная математика приобретает с началом изучения информатики. Она является теоретической основой этой дисциплины. Обработка информации с помощью компьютера требует разработки и использования различных алгоритмов. Академик А.А.Дородницын пишет: "Без алгоритмов предмета информатики не существует". После окончания школы ученик должен интуитивно понимать сущность алгоритма и требования, предъявляемые к нему: дискретность, детерминированность, конечность. Школьная математика дает возможности для разработки алгоритмов различной трудности с дальнейшим их программированием на уроках информатики.

Решение задач дискретной математики на начальном уровне ее изучения не требует глубоких теоретических знаний, а нуждается только в сообразительности, поэтому их можно широко использовать для ускорения математического развития школьников. Часто такие задачи легко представить в занимательной, игровой форме, что способствует повышению интереса детей к обучению. Кроме того, дискретную математику можно использовать для решения методических задач в математическом образовании. Например, с ее помощью возможно знакомство школьников с математической индукцией, тяжелыми для них понятиями "необходимые и достаточные условия" и т.д.

Известно, что дети в своем развитии постепенно переходят от конкретного мышления к абстрактному. Дискретная математика позволяет ускорить этот переход и формирование абстрактного мышления учеников. При этом ученик в неявном виде будет знакомиться с общелогическими приемами: индукцией, дедукцией, анализом, синтезом, сравнением, умозаключением и т.д.

В настоящее время у стран СНГ, оказавшихся в стороне от компьютерного прогресса, появилась возможность попасть на магистральный путь развития. Так, профессор Р.Ф.Абдеев пишет: "Сейчас для этого открывается благоприятная возможность: из-за значительного роста мощностей ЭВМ намечается кардинальная замена программного обеспечения. Требуются принципиально новые идеи, новая математика, свежие алгоритмы – у отечественных компьютерщиков появляется шанс найти место в крупнейшей мировой индустрии средств производства" [1, с.75]. Но это может произойти лишь в том случае, если будущих специалистов начнут готовить уже в средней школе. Однако недооценка дискретной математики в школе приводит к тому, что ее выпускник приходит в вуз, не имея никаких навыков мышления, ориентированного на восприятие дискретных объектов, что затрудняет ему овладение различными дискретными математическими курсами, связанными с кибернетикой и информатикой.

Увеличение значения дискретной математики в технике и экономике, новые требования к обучению информатике в школах и вузах должны изменить и отношение к преподаванию дискретной математики. Но в школе происходит постоянное увеличение объема знаний, предлагаемых для усвоения ученикам. К сожалению, часто это увеличение происходит за счет сокращения часов, отводимых на фундаментальные знания, в том числе и на математику. Профессор Г.П.Щедровицкий отмечает, что "...сознание разрыва между требованиями общества к человеку и уровнем его интеллектуальной подготовки проявлялось последние 45 лет в непрерывном увеличении и расширении программы школьного образования. В нее добавлялись все новые и новые разделы, содержащие "последние достижения наук"... Уже нынешняя учебная программа предполагает усвоение учащимися огромной массы материала и связана с перегрузкой школьников учебными занятиями... В этих условиях дидакты и методисты идут большей частью по пути сокращения теоретической части учебных предметов. Выбрасываются абстрактные понятия и принципы, но, как показывает опыт, это ведет к резкому ухудшению качества обучения и лавинообразному нарастанию все новых и новых трудностей" [289, с.20].

Отрицательно отзывается о состоянии школьной математики академик В.И.Арнольд. Он пишет: "Запланированная Министерством образования "гуманизация" и "гуманитаризация" предусматривает существенное уменьшение числа часов на математику с использованием высвободившихся часов на такие предметы, как макраме и коневодство... К сожалению, сейчас уровень математической грамотности страны в целом начал катастрофически падать".

В начальных классах средней школы изучение дискретной математики фактически ограничено изучением арифметики. В старших классах существующие программы по математике для средней общеобразовательной школы элементам дискретной математики уделяют незначительное внимание. Так, в программах по математике есть операции над натуральными числами и их делимость в 5-м классе [с.29–30]221, прогрессии в 10-м классе [221, с.37], элементы комбинаторики, вероятности и статистики в 12-м классе [170, с.19], а в классах с углубленным изучением математики множества и операции над ними в 8-м классе [221, с.108], элементы логики в 9-м классе [221, с.111], метод математической индукции в 10-м классе [221, с.113]. Вопросы математического моделирования упоминаются в программах только в связи с решением текстовых задач.

некоторые вопросы дискретной математики рассматриваются в программах по информатике для классов с ее углубленным изучением. Например, в альтернативные программы для 10–11-х классов включены элементы целочисленной арифметики, теории графов и комбинаторики [с.36, 44, 46]113. Алгоритмы на графах включают, например, такие разделы, как поиск в глубину и ширину, топологическая сортировка, нахождение кратчайших путей, определение максимального потока, построение кратчайшегоостовного дерева.

Предлагаемые Министерством образования факультативы по выбору  также содержат весьма мало дискретной математики. Факультатив "За страницами учебников" для 5–6-го классов среди 9 разделов содержит два, связанных с дискретной математикой: "Из науки о числах" (задачи целочисленной арифметики) и "Комбинации и размещения". (Число часов на разделы не указано.) Этот факультатив в 7-м классе содержит разделы: "Системы счисления" (8 часов) и "Простые и составные числа" (14 часов) [с.36–37]216. В факультативе с таким же названием в 8-м классе из 68 часов в год на элементы математической логики и комбинаторные задачи выделяется 18 часов, в 9-м на элементы комбинаторики и теории вероятностей – 16 часов. Программы факультативов "Углубление основного курса" для 7–11-х классов составлены различными авторами. Ю.А.Михайловский выделяет в 9-м классе 10 часов на метод математической индукции и элементы комбинаторики, Г.Н.Солтан – в 9-м классе 8 часов на метод полной индукции, И.И.Воронович, О.В.Мельников и О.И.Тавгень – в 8-м классе 18 часов на изучение близких к дискретной математике элементов делимости многочленов, В.Г.Будников вопросов дискретной математики вообще не касается [с.11–19]223. Выбор предлагаемых тем в факультативах узок, на их изучение отводится незначительное число часов.

В условиях постоянного сокращения времени, отводимого на изучение математики в школе, трудно, но необходимо говорить об увеличении часов на изучение дискретной математики. Мало места уделяется дискретной математике в разрабатываемых новых программах. Так, в проекте "Концепции математического образования в двенадцатилетней школе Республики Беларусь" из разделов дискретной математики говорится лишь о "включении в содержание комбинаторных и вероятностных понятий и задач". Но о необходимости изучения теории вероятностей известный революционер П.П.Лавров сказал еще в 1858 году, а начатая сто лет назад профессором П.А.Некрасовым борьба за включение этого раздела в школьную программу увенчалась успехом. В те далекие годы о появлении вычислительных машин никто и не подозревал. В проекте даже отсутствует понятие "алгоритм". Алгоритм, являясь одним из основных понятий как непрерывной, так и дискретной математики, в то же время связывает непрерывную математику с дискретной, поскольку задавая последовательность действий, он дискретизирует любой непрерывный процесс. Конечно, понятие "алгоритм" есть в информатике, и оно играет там важную роль, однако отказаться от него как от базового при обучении математике было бы ошибкой.

Примерно такое же положение и в России. В проекте "Концепции структуры и содержания общего среднего образования (в 12-летней школе)" в качестве одного из основных блоков выделен "Анализ данных". В области дискретной математики в нем предполагается только "подготовка в области комбинаторики с целью создания аппарата для решения вероятностных задач и логического развития учащихся" [137, с.16]. Для этого находится даже сомнительное обоснование. Отмечая роль дискретной математики при создании моделей в гуманитарных науках, авторы проекта безосновательно утверждают: "В естественных науках главную роль играют в настоящее время количественные описания реальных процессов и соответственные количественные модели, для исследования которых необходимы традиционные разделы математики, наряду с началами математического анализа и элементами теории вероятностей и математической статистики" [137, с.18]. Даже если это верно, то в проекте не учитываются потребности будущих гуманитариев в дискретной математике, которая здесь же признана. Такой подход вызывает несогласие специалистов. Так, в работе  указывается на преувеличение роли вероятностных методов и предлагается "восстановить в программе по математике (в базовом комплексе) такие разделы, как "Принцип математической индукции", "Элементы комбинаторики" и ввести раздел "Элементы линейного программирования"" [200, с.4].

Фактическое отсутствие дискретной математики в школьной программе приводит к тому, что у учащихся плохо формируется математическое мышление, связанное с восприятием дискретных объектов. Косвенным подтверждением этого факта является то, что легкая дискретная задача: "В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии", которая очень просто решается с помощью графов, отнесена в учебнике алгебры для 8-го класса под редакцией С.А.Теляковского [2, с.137] к задачам повышенной сложности. В школьных учебниках задачи на сообразительность, задачи, которые требуют нестандартного подхода, являются, особенно в младших классах, редкими гостями. А ведь это самое благоприятное время для развития сообразительности.

Следует отметить, что программа по математике старшей школы (9–11-е классы) в США содержит большой раздел дискретной математики, включающий элементы теории графов и алгоритмов, элементы линейного программирования [278, с.76]. Для получения сертификата учителя необходима сдача тестов, содержащих вопросы и задачи по дискретной математике [279, с.76].

необходима перестройка обучения дискретной математики и в высшей школе. Требования к подготовке молодых специалистов, высказываемые руководителями предприятий, приводят к тому, что технические и экономические вузы постепенно начинают знакомить студентов с дискретными математическими моделями, встречающимися в соответствующих отраслях, и методами их исследования, при остающейся недооценке теоретических дисциплин дискретной математики в целом.

На педагогических факультетах положение хуже. Специалисты говорят о недостаточном обучении дискретной математике будущих учителей. Так, академик В.Л.Матросов утверждает: "В наше время – время бурного развития дискретной математики выпускник математического факультета педагогического института не владеет ее основными понятиями. Существующие курсы по информатике и вычислительной технике не меняют сути дела, поскольку посвящены более технической стороне вопроса, чем основополагающим понятиям... К сожалению, в настоящее время вопросы теории сложности оказались вне обязательных программ педвузов. Вместе с тем эти вопросы чрезвычайно важны для усвоения понятия эффективных алгоритмов и методов их построения" [с.1–2]171. Оценивая алгоритмическую подготовку студентов, доцент В.А.Шлык пишет: "В математическом образовании перемен почти не видно. В общих курсах алгоритмические вопросы затрагиваются примерно в той же мере, как 20 лет назад. Сложностные аспекты алгоритмов обычно вовсе игнорируются. Области прикладной математики в программе обучения существуют как бы отдельно в дополнении к основному курсу или вовсе отсутствуют. Господствующая точка зрения, видимо, такова: в первую очередь необходимо обеспечить классическую математическую подготовку, остальное приложится. Стыковка математики и информатики практически не происходит" [283, с.122]. Недостаточная подготовка по дискретной математике на педагогических факультетах приводит к замкнутому кругу: будущие учителя в школах вряд ли квалифицированно научат своих воспитанников тому, что плохо знают сами.

Из-за отсутствия в дискретной математике понятий "непрерывность" и "производная" становится более сложной унификация обучения, зато это дает возможность для развития сообразительности обучаемых, их логического и математического мышления. Дискретную математику можно широко использовать и для воспитания личности обучаемого.

Число работ, посвященных методике изложения отдельных тем дискретной математики, достаточно велико (М.П.Барболин, Л.Ю.Березина, С.И.Васильев, В.Ф.Волгина, Б.В.Гнеденко,Т.В.Малкова, В.М.Монахов, А.И.Павловский, А.Е.Пупцев,К.Я.Хабибуллин, А.А.Харланов и др.). В то же время практически отсутствуют работы теоретического, методологического характера. Лишь некоторые составляющие проблемы, связанные с содержанием обучения дискретной математике в школе, были рассмотрены в работах А.Я.Блоха, Н.Я.Виленкина, В.А.Вышенского, Л.А.Калужнина, Ж.Папи, А.А.Столяра, Р.К.Таварткиладзе, В.А.Успенского, С.Хоупа, а с содержанием обучения в вузе – в работах А.Д.Мышкиса и Б.О.Солоноуца, В.Г.Скатецкого, А.А.Столяра.

Создание системы обучения дискретной математике позволит интенсивнее развивать математические и логические способности учеников, повышать их интеллект, облегчит школьникам освоение компьютера и использование его для решения практических задач, улучшит подготовку к обучению в высшей школе.

Рецензии

В последнее время значительно увеличилось использование дискретных математических моделей при решении различных производственных, экономических, научных задач. Это вызвано, в первую очередь, широким распространением кибернетических систем, языком описания которых является дискретная математика. Требования практики привели к тому, что в программах вузов стали появляться дискретные математические дисциплины, студентов начали обучать методике построения и исследования математических моделей при решении реальных практических задач.

Вместе с тем обучение дискретной математике в средней школе остается прежним. Происходит ее недооценка. Вследствие этого выпускники школы приходят в вузы недостаточно подготовленными к восприятию дискретных математических дисциплин, что затрудняет их обучение.

Возникает большое количество вопросов, связанных с обучением дискретной математике в средней и высшей школах. Ответу на часть из них и посвящена рецензируемая работа.

Автор рассматривает историю развития математики с точки зрения взаимодействия непрерывной и дискретной математики, показывает единство этих частей математики в рамках одной науки, их тесную взаимосвязь, использование методов каждой из них в другой.

Одна из глав книги посвящена концептуальным основам непрерывного обучения дискретной математике, начиная с дошкольных учебных заведений и оканчивая последипломным обучением. Предложена модель определения содержания обучения дискретной математике и на ее основе разработано содержание на разных этапах обучения.

Большое значение имеют главы книги, связанные с практической реализацией теоретических положений монографии. Так, одна из глав книги посвящена методологическим основам обучения построению и анализу математических моделей, а вторая – обучению построения оценок комбинаторных алгоритмов.

В большой главе рассматриваются вопросы применения теории графов при обучении математике в школе. Показаны возможности использования графов в качестве универсального языка при построении моделей, задания отношений и соответствий, описания алгоритмов, решения методических задач обучения, доказано значение графов для ускорения логического и математического развития обучаемых.

Все главы книги иллюстрированы большим числом интересных примеров.

В XX веке появились новые разделы математики, которые получили общее название "Дискретная математика". В дискретной математике определяющим является отсутствие возможности бесконечно малого приращения аргумента, что выхывает невозможность введения и использования производной.

Элементы дискретной математики встречались на протяжении всего развития математики, но в последние десятилетия она стала развиваться семимильными шагами. Это было вызвано широким распространением кибернетических систем, языком описания которых является дискретная математика. Кроме того, она является теоретической основой информатики.

Все это вызвало изменение обучения в вузах, однако в средней школе, в силу разных причин, происходит недооценка дискретной математики.

Рассматриваемая монография как раз и посвящена важным вопросам обучения дискретной математике. Прежде всего автор показывает единство математики как науки, тесную связь ее непрерывных и дискретных составляющих.

Предложенная автором концепция обучения позволяет выделить его составляющие, этапы и действия при обучении. Построенная модель определения содержания обучения позволяет определять его на каждом из этапов.

Большой интерес представляет глава, посвященная методологическим аспектам обучения построению и исследованию математических моделей Моделирование постепенно занимает достойное место при подготовке специалистов для решения производственных задач в технических и экономических вузах, поэтому использование теоретических основ обучения позволят улучшить качество подготовки выпускников. Обучение построению оценок алгоритмов дает возможность определить место выбранного алгоритма среди других алгоритмов.

Разработанная методика обучения теории графов в школе, насыщенная интересными приемами и примерами, позволит учителям npoводить факультативы по этой дисциплине начиная с 5 класса.

Об авторе

Профессор механико-математического факультета Белорусского государственного университета, доктор педагогических наук, кандидат физико- математических наук.

Научные интересы: теория графов, обучение дискретной математике в высшей и средней школе. Автор и соавтор книг: "Лекции по теории графов" (М., 1990); "Exercises in graph theory" (Dordrecht, 1998); "Незнайка в стране графов" (Минск, 2000; М.: URSS, 2006); "Информатика. Методы алгоритмизации" (Минск, 2000); "Занимательные задачи по теории графов" (Минск, 2001); "Математика для экономистов на базе "Mathcad"" (СПб., 2003). Лауреат Государственной премии Республики Беларусь.